精品解析：湖南常德市临澧县第一中学2026届高三下学期6月仿真模拟数学试卷

临澧一中2026届高三数学仿真模拟试卷 时量：120分钟总分：150分 2026.06.03 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. Ü D. Ü 【答案】C 【解析】 【详解】或，，所以，所以A错误； 或，，所以Ü，所以，所以B错误，C正确； 由Ü，且集合中包含小于0的元素，而集合中没有小于0的元素可知D错误. 2. 已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助平面向量共线定理结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若与共线，当时，存在实数，使得， 整理得， 若与不共线，则且，矛盾，故与共线； 当，有，此时与共线； 故“与共线”是“与共线”的充分条件； 若与共线，则存在实数，使得， 则，，故与共线， 故“与共线”是“与共线”的必要条件； 综上可得：“与共线”是“与共线”的充要条件. 3. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】可知，则含的项为， 即. 4. 已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1013 B. 1014 C. 502 D. 503 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，又，故， ． 5. 如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理及排列数公式计算求解. 【详解】由题意可得顶点标注只能为或，其余情况不满足题意. 若顶点标注，则标注在中点处，此时有， 若顶点标注，则只能标注在之间的边的中点，此时有种， 所以不同的标注方法有种. 6. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】将，看成两点间距离的平方，将问题转化成两圆上点的距离求解. 【详解】将， 设， 由，， 得点在以为圆心，为半径的圆上， 点在以为圆心，为半径的圆上， 两圆心距，两圆内含， 所以，， 则. 7. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用同构比较大小. 【详解】由于，所以， 设，则，所以在上单调递增， 那么，所以，， ，设，， 所以，在上单调递减，， 即, 由于，那么, ， 综上，. 【点睛】本题考查利用导数比较大小，解题关键在于利用同构式发现，进而得出，是难题. 8. 设定义在上的函数和，记导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知得出的图象关于对称和是偶函数，得到它的周期性，然后通过的值计算出相应的值，判断各选项． 【详解】由得． 又，所以，即①， 所以关于对称，因是上的函数，则， 又因为是上的奇函数，所以， 所以， 故由①和②可得，故有， 从而，即是周期为4的周期函数. 对于A，因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由得， 所以， 所以，故C正确； 对于D，，但无信息可确定其值为0，故D错误． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对A，由题知，方程的两根为，则，正确； 对B，若，则， 若，则，错误； 对CD，由韦达定理可知，，，C错误，D正确. 10. 在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：利用圆锥轴截面的等边三角形求出底面半径与高，结合为中点，通过相似三角形得到截面圆半径，再用圆的面积公式计算.选项B：在轴截面中确定椭圆长轴的两个端点和，通过勾股定理或余弦定理计算线段的长度，即为椭圆的长轴长.选项C：建立平面直角坐标系，设抛物线标准方程，代入已知点的坐标求出参数，从而得到焦点到准线的距离.选项D：在与平面垂直的截面内建立坐标系，设双曲线标准方程，代入已知点的坐标求出参数，再计算离心率. 【详解】对于A，底面半径为，圆锥高．为的中点， 所以截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作于点， 则，， 所以椭圆的长轴长，故B正确； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为， 以为原点，为轴，在平面中建立平面直角坐标系如图， 则，，所以， 设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，故C正确； 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内， 建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等， 且在轴上，则，双曲线与底面圆的一个交点为， 设双曲线方程为，则， 将代入双曲线方程得，解得，所以， 故双曲线的离心率为，故D错误． 11. 已知正四面体的棱长为，点平面，且，点在之间或在内．记为与（平行时两平面间的距离，则（ ） A. 该四面体外接球的表面积为 B. 的最小值为 C. 若，且，则直线与所成的角为 D. 若依次排列且两两平行，满足，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，将正四面体放入如图所示的正方体，设正方体的棱长为， 所以，所以， 该四面体外接球即为正方体的外接球，所以， 所以该四面体外接球的表面积为，故A正确； 对于B，因为，不妨设为平面，为平面， 所以，故B错误； 对于C，设直线与所成的角为，则， 因为，所以，则直线与所成的角为，故C正确； 对于D，若依次排列且两两平行，满足， 在上取点，使得，如图， 连接交于点，连接交于点，分别过点作 ，连接， 则平面为平面，为平面，易知平面，均垂直底面， 以为坐标原点，将平面放入如图所示的平面直角坐标系， 则， 所以直线的方程为：，化简为：， 同理直线的方程为：， 所以两直线间的距离即为， ，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，由观测数据的散点图可知，与的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程为．已知，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】先通过对数变换将非线性回归转化为线性回归，求出变换后变量的样本中心点，再根据回归直线过样本中心点列出方程，解出回归系数. 【详解】由可得，由可得 ， 由回归方程必过样本中心点，即过点，所以，解得． 故答案为：. 13. 已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 【答案】（答案不唯一，形如皆可） 【解析】 【分析】由题意可得，可得或，计算即可得解. 【详解】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故，则可为等，只需满足即可. 14. 已知数列的前项和为，，是公差为的等差数列，则的通项公式__________；令，则数列的前项和__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据等差数列通项公式得到与的关系，再结合推导通项；再对按奇偶分组后合并，用错位相减法求和. 【详解】根据题意由等差数列通项公式得 ，因此. 当时，，解得. 当时，， 又得 ,整理得， 即，因此为常数列， ，即； 验证时，满足上式，故. 代入得 ， 将前项按奇偶分组求和 合并得 ； 令 ①， 两边同乘得 ； ①②得 ， ， 代入得 ， 整理得， 因此 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明：在中，由余弦定理，得 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式化简可得，结合余弦定理化简，从而解得，结合正弦定理即可求解； （2）根据利用余弦定理化简可得，结合三角函数的图像与性质即可求解. 【小问1详解】 由，得，整理，得. 在中，由余弦定理，得. 把代入上式，得， 因为，所以. 在中，由正弦定理，得 【小问2详解】 略 16. 已知函数存在两个极值点. （1）求的取值范围； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点的定义可知，即有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围； （2）由（1）可知，由此化简为，令，利用导数可求得，即为所求的最小值. 【小问1详解】 由题意知：定义域为，； 令，则有两个不等正根， ，解得：，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知：，是的两根，则； ； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ， 即的最小值为. 17. 小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块为可充电电池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了2块可充电电池备用，他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用． （1）记第次使用后一次性电池剩余的块数为，求的数学期望； （2）记第次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为． （i）求； （ii）分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大． 【答案】（1） （2）（i）（ii）第3次 【解析】 【分析】（1）根据的可能取值求出对应的概率，再由数学期望公式计算； （2）（i）记事件，，，分析在不同抽取次数下各事件发生的情况，分别考虑时一次性电池恰好使用完毕的概率，利用全概率公式求出的表达式，借助于等比数列求和公式计算即得；（ii）在（i）求得的基础上，利用作差比较法判断其增减性即得结果. 【小问1详解】 的可能取值为0，1，2， 所以， ， 所以； 【小问2详解】 （i）记事件：第一次取到一次性电池，事件：取到可充电电池，事件：第二次取到一次性电池， 由条件，假设第次抽取时，事件发生，概率，第次抽取时，事件发生，概率， 在事件前面每次发生事件的概率为，后面每次发生事件的概率为，则有 抽取次数 1 2 ．．． ．．． 事件 ．．． ．．． 所以 即 （ii）令， 即，所以， 所以第3次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大． 【点睛】关键点点睛：在求解的表达式时，关键在于弄清在时一次性电池恰好使用完毕的概率，再求和. 18. 一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱中，椭圆的长轴长为4，短轴长为是椭圆上关于对称的两点，是椭圆上关于对称的两点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与底面所成角的正弦值； （3）求四面体的内切球半径的最小值． 【答案】（1）证明：记椭圆所在平面为，由椭圆柱定义可知，. 因为，所以 因为平面， 所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆柱的平移性质得到线面垂直关系，结合的条件，推导线线垂直，再根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）先确定点在底面上的射影，建立平面直角坐标系写出椭圆方程，设直线方程并联立椭圆，结合已知条件求解点的坐标，再根据线面角的定义计算正弦值； （3）先通过等体积法建立四面体体积与内切球半径的关系式，表达出内切球半径的表达式，再利用基本不等式求的最小值，同时验证、与坐标轴垂直的特殊情况，确定最终最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设在下底面射影分别为， 则． 如图，在平面直角坐标系中， 椭圆的方程为， 设，若与坐标轴不垂直，设直线的方程为， 联立直线与椭圆方程，得， 所以， 同理，可得． 由得，，解得， 所以 所以， 所以． 设直线与底面所成角为，则， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为四面体的体积 ， 设四面体的内切球半径为，则 所以 当且仅当，即时，等号成立. 若与坐标轴垂直，不妨设为长轴，为短轴，即， 此时内切球半径． 所以四面体的内切球半径最小值为. 19. 已知点到的距离与到定直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）记的左、右焦点分别为，，左顶点为，点和如下构造：在第二象限任取上一点，直线交于另一点，直线交于另一点． ①记直线的斜率为，证明：； ②设点关于直线的对称点为，探究：是否存在定圆，使得点始终在上？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：（i）设直线， 联立，消得. 设交点， 则. 点，所以. 当直线过时，，代入得； 当直线过时，，代入得； 两式相除得， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以其前项和为， 因为，所以，即得证. （ii）存在定圆，方程为. 【解析】 【分析】（1）求出点到的距离和点到定直线的距离表达式，进而化简计算即可. （2）（i）将直线与双曲线联立，结合韦达定理可得到是首项为，公比为的等比数列，进而求出其前项和得证； （ii）先求出直线恒过定点，结合对称性可求出结果. 【小问1详解】 设，则点到的距离为， 点到定直线的距离为，由于点到的距离与到定直线的距离之比为2 所以，两边平方得， 化简得. 【小问2详解】 （i）略. （ii）存在定圆，方程为，理由如下： 设直线，由（i）得， 又，，所以， 即， 解得，即直线恒过定点. 设，由对称性质得，消去整理得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2026届高三数学仿真模拟试卷 时量：120分钟总分：150分 2026.06.03 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. Ü D. Ü 2. 已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 8 4. 已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1013 B. 1014 C. 502 D. 503 5. 如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 6. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 9 C. 16 D. 25 7. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上的函数和，记导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 10. 在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 11. 已知正四面体的棱长为，点平面，且，点在之间或在内．记为与（平行时两平面间的距离，则（ ） A. 该四面体外接球的表面积为 B. 的最小值为 C. 若，且，则直线与所成的角为 D. 若依次排列且两两平行，满足，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，由观测数据的散点图可知，与的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程为．已知，，则________． 13. 已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 14. 已知数列的前项和为，，是公差为的等差数列，则的通项公式__________；令，则数列的前项和__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 16. 已知函数存在两个极值点. （1）求的取值范围； （2）求的最小值. 17. 小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块为可充电电池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了2块可充电电池备用，他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用． （1）记第次使用后一次性电池剩余的块数为，求的数学期望； （2）记第次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为． （i）求； （ii）分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大． 18. 一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱中，椭圆的长轴长为4，短轴长为是椭圆上关于对称的两点，是椭圆上关于对称的两点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与底面所成角的正弦值； （3）求四面体的内切球半径的最小值． 19. 已知点到的距离与到定直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）记的左、右焦点分别为，，左顶点为，点和如下构造：在第二象限任取上一点，直线交于另一点，直线交于另一点． ①记直线的斜率为，证明：； ②设点关于直线的对称点为，探究：是否存在定圆，使得点始终在上？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $