吉林延边州敦化市实验中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 高一下学期期末数学试卷，涵盖复数、向量、概率、立体几何、解三角形、统计等核心知识，以脑机接口实验、测量塔高、数学建模竞赛等真实情境设计问题，突出数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、向量共线、古典概型、立体几何线面关系|基础概念辨析，如向量基底判断、线面平行条件| |多选|3/18|统计数据特征、解三角形性质、正方体动态轨迹|结合正方体动点轨迹，考查空间观念与推理能力| |填空|3/15|样本均值、球与棱台体积、解三角形实际应用|铁球熔化铸棱台，体现数学建模与运算能力| |解答|5/77|分层抽样与概率、立体几何翻折证明、解三角形角平分线、统计图表与概率计算、翻折后线面角及存在性问题|统计题结合数学建模竞赛数据，考查数据意识；立体几何题涉及翻折与外接球，培养空间想象与逻辑推理|

2025-2026学年度高一下学期期末考试数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A D B D B A ABD ACD ABD 1．D 【详解】复数， 所以z的虚部为. 2．C 【分析】根据向量共线的倍数关系，即可求解. 【详解】由可得存在实数使得， 故，因此， 解得，，， 故选：C 3．A 【分析】利用概率加法公式求出，再结合互斥、对立、独立事件的定义逐一判断选项即可. 【详解】根据概率加法公式，对任意事件有， 将代入上式，得. 因为，所以事件互斥，故选项A正确； ，所以事件不独立，故选项B错误； 因为，所以事件不对立，故选项C错误；因此选项D错误. 4．D 【分析】根据线面之间的位置关系判定即可. 【详解】 对于A项，可能相交，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故A错误； 对于B项，有的可能，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故B错误； 对于C项，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故C错误； 对于D项，因为，又，所以，故D正确； 故选：D 5．B 【详解】中边长为的边所对的角最大，设其为， 由余弦定理得， 因为，所以． 6．D 【分析】由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断选项A；利用向量平行的坐标表示判断选项BC；根据投影向量定义求向量在上的投影向量判断选项D． 【详解】与方向相同的单位向量是，A选项错误； 当时，向量，，，，不能作为平面内的一组基底，B选项错误； 当时，，与的夹角为，C选项错误； 当时，，，则在上的投影向量为，D选项正确. 故选：D. 7．B 【分析】若是的中点，根据已知得，则，结合向量数量积的几何意义求数量积. 【详解】设是的中点，由，则， 所以，又， 则. 故选：B    8．A 【详解】如图: 记，在平面上的射影为点，则在上，连接． 由平面，，可得. 又是线段的中垂线，所以在上，即，因为三棱锥外接球的表面积为，所以该球的半径为. 又，所以； 因为为的中点，为的中点，所以为的重心. 所以，，. 所以三棱锥的体积． 9．ABD 【详解】将样本数据从小到大排序：5，6，6，6，7，7，7，8，8，10， 选项A，极差=最大值-最小值，，所以A正确； 选项B， 样本均值，用样本均值估计总体均值，所以B正确； 选项C，百分位数位置：，因为为整数，所以分位数是第9项和第10项数据的平均值，即分位数是，所以C错误； 选项D，样本方差，所以D正确． 10．ACD 【分析】根据题意，利用正弦定理和正弦函数、余弦函数的单调性，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 对于A，若，由正弦定理得，则，所以A正确； 对于B，因为，所以，则，所以或，即或，故B错误； 对于C，由余弦定理，得， 当且仅当时取等号，因此面积的最大值为，C正确； 对于D，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围是，所以D正确. 11．ABD 【分析】对于A，过做一个平面，使得该平面与平面平行，该平面与正方体左侧面的交线段即为动点的轨迹；对于B，或其补角为异面直线与的夹角，在三角形中求角即可；对于C，由A知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，进而体积为定值；对于D，取的中点，连接，则四边形为为正方体的截面，计算边长即可求面积. 【详解】对于A，如图： 分别取的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，且平面，平面， 所以平面，同理可得：平面， 且平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，故A正确； 对于C，由A可知的轨迹为线段，平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积是定值，不会随点的运动而变化，故C错误； 对于B，如图： 连接，，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角为异面直线与的夹角， 因为为正方体，，都为面对角线，所以， 所以为等边三角形，所以，故B正确； 对于D，如图： 中点H连接，由，所以， 又，所以为二面角的平面角， 易求得， 又，， 由余弦定理可得，故D正确． 故选：ABD. 12．19 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为. 故答案为：19. 13．/ 【分析】根据铁球与正四棱台铁锭的体积相等列方程，即可求得铁锭的高. 【详解】依题意，正四棱台形状的铁锭的体积等于铁球的体积， 设正四棱台形状的铁锭的高为，则得， 解得. 14． 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 15．（1）由已知，甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶1，.........................................2分 由于采用分层抽样的方法从中抽取6名同学， 因此应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人.......................................................4分 （2）（i）从抽出的6名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 ，，，，，，，，，，，，，，，共15种.......................................................8分 （ii）由（i），不妨设抽出的6名同学中，来自甲年级的是，，，来自乙年级的是，，来自丙年级的是，.......................................................9分 则从抽出的6名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为，，，，共4种........................................................11分 所以，事件发生的概率为........................................................13分 16．(1)连接，交于点，连接， 由条件可知为中点，又是的中点， 所以，.......................................................3分 又平面，平面， 所以平面.......................................................6分 (2)因为平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面，.......................................................10分 又平面， 所以，.......................................................11分 又，是的中点． 则，.......................................................12分 且平面， 所以平面，.......................................................14分 又平面.......................................................15分 所以平面平面.， 17．（1）已知，由余弦定理可得，..................................1分 因为，代入得，所以，.........................................3分 所以，所以，.......................................................5分 因为，.......................................................6分 所以．.......................................................7分 （2）因为，，由余弦定理得， 即，.......................................................9分 又因为，所以，.......................................................10分 由面积公式.......................................................11分 可得，.......................................................13分， 所以，可得．.......................................................15分 18．（1）由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以，.......................................................1分 又，解得，.......................................................2分 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则，.......................................................3分 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理；.......................................................5分 估计本次竞赛平均分为分....................................7分 （2）由图可知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， 故，.......................................................9分 ，.......................................................11分 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得，.......................................................12分 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故，........................................14分 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则.......................................................16分 ........................................................17分 19．(1)∵在平行四边形中，， ，．.......................................................1分 设，则，，， ，即．.......................................................2分 平面，平面，，...................................................3分 平面．..................................................4分 平面， ．.......................................................5分 又平面，平面，，.......................................................6分 平面． （2）过作，垂足为， 由（1）知平面，且平面， ∴平面平面． ∵平面平面，平面，， 平面，即为直线与平面所成角．.......................................................8分 设，则，， 中，，解得．.......................................................10分 ........................................................11分 （3）方法一： 存在，.......................................................12分 当时，平面． 连接并延长交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ．.......................................................14分 取中点，连接，由于是中点，是中点， 是的中位线，是的中位线． ． 为靠近的四等分点．.......................................................16分 为靠近的四等分点，即．.......................................................17分 方法二： 存在，.......................................................12分 当时，平面． 过作，交于点，连接， 平面，平面， 平面． 又平面，平面，平面，， ∴平面平面．.......................................................14分 ∵平面平面，平面平面， ． 为中点，为中点，即靠近的四等分点．.......................................................16分 为靠近的四等分点，即．.......................................................17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 敦化市实验中学校2025~2026学年度高一下学期期末考试 数　学　试　题 考生注意: 出题教师:数学组。审题人:常晶。 第Ⅰ卷(选择题) 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数,则z的虚部为 A. B. C. D. 2. 向量,若,则 A. B. C. D. 3. 对于古典概率模型中的事件A,B,若,则A,B之间的关系一定为 A.互斥事件 B.独立事件 C.对立事件 D.以上选项均不正确 4. 已知是空间两个不同的平面,m,n是空间两条不同的直线,则下列命题为真命题的是 A.若,则 B.若,则 C.若,且,则 D.若,且,则 5. 已知的三条边长为1,5,,则最大的内角的大小为 A. B. C. D. 6. 已知平面向量,,则下列说法正确的是 A.与方向相同的单位向量的坐标为 B.当时,,可作为平面内的一组基底 C.若与的夹角为钝角,则 D.若,则在上的投影向量为 7. 已知P是所在平面内一点,满足,若,,则 A.-12 B.12 C.-18 D.18 8. 如图，在正方形ABCD中，为BC的中点，将沿直线AC折起至处，使得点在平面ABC上的射影在直线AE上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为 A. B.1 C. D. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度,某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验,实验评分部分满分10分,随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分(单位:分)如下:5,6,6,6,7,7,7,8,8,10,下列说法正确的是 A.该样本的极差为5分 B.用样本均值估计总体均值,其值约为7分 C.该样本的90%分位数为8分 D.用样本方差估计总体方差,其值约为1.8 10. 在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列说法正确的是 A.若,则 B.若,则为等腰三角形 C.,则面积的最大值是 D.若,且有两解,则b的取值范围是 11. 如图,在棱长为2的正方体中,M为的中点,F为侧面正方形内一动点(包括边界),且满足平面,则 A.动点F的轨迹是一条线段 B.直线AB1与BC1的夹角为60° C.三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D.二面角的平面角的余弦值为 第ⅠⅠ卷(非选择题) 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若样本数据的均值为10,则样本数据的均值为__________. 13. 将一个半径为2的铁球熔化后,浇铸成一个正四棱台形状的铁锭,若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2,则它的高为________. 14. 如图,为了测量河对岸的塔高AB,某测量队选取与塔底B在同一水平面内且相距20米的两个测量基点C与D.现测得,在点C,D处测得塔顶A的仰角分别为45°,60°,若河宽至少12米,则塔高AB=________米. 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为120,80,40.现采用分层抽样的方法从中抽取6名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的6名同学分别用A,B,C,D,E,F表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作： (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M为事件“抽取的2名同学不在同一年级”,求事件M发生的概率. 16.(15分) 如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,平面平面ABCD,PA=AB,E是PB的中点. (1)证明:PD//平面ACE; (2)证明:平面平面ACE. 17.(15分) 在△中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知 (1)求角A的大小; (2)若b+c=4,D是BC上的点,AD平分,求AD的长. 18.(17分) 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”,为了解本次测试竞赛情况,年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后,分为五组:，,其中第1组频数是第2组频数的一半,请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题： (1)若根据这次成绩,年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛,请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; (2)已知落在的平均成绩是56,标准差是4,落在的平均成绩为65,标准差是2,求两组成绩的总平均数和总方差; (3)在下一轮比赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是,甲、乙两人都回答正确的概率是,乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 19.(17分) 如图,平行四边形ABCD中,AB=AC且ABAC,将△ABC沿AC翻折至,使得,E是的中点,P是DE的中点. (1)求证:CD平面; (2)求直线AC与平面ECD所成角的正弦值; (3)线段上是否存在点M,使得PM//平面ACD？若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由. 数学试题 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $