26.4实际问题与二次函数 第1课时教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦“实际问题与二次函数”核心知识点，通过复习二次函数开口方向、顶点坐标及最值公式，衔接一次函数应用经验，以跳水运动、篱笆围菜园实例搭建从理论到实际应用的学习支架。 以生活化情境驱动教学，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过建立函数模型、分析自变量取值范围培养数学思维，特色作业创编情境强化数学语言表达。助力学生提升建模能力，为教师提供分层教学范例。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第1课时  一、教材分析 本节课《实际问题与二次函数》安排在二次函数图象、性质、二次函数与一元二次方程之后，是二次函数单元的知识落脚点与应用升华点，在整个初中函数体系中占据核心地位. 从学段地位来看，学生此前学习一次函数解决实际问题，本节是学生首次利用二次函数处理最值类实际问题，既是对二次函数图象、顶点最值公式的巩固内化，也为高中几何最值、经济优化类函数问题铺垫思维模型，衔接初高中数学应用思想. 本节课教学逻辑层层递进：首先由跳水高度实例，引出二次函数求解运动类最值，讲解顶点法求实际最大值；再依托篱笆围菜园的几何模型，讲解几何面积最值求解，同时强调实际问题中自变量的取值范围约束；最后配套课堂练习，分层巩固运动、几何两类典型实际模型. 整体遵循“理论回顾→具象实例建模→公式求解最值→限定自变量范围→当堂练习内化”的闭环逻辑，由具象物理运动过渡到静态几何问题，由纯数学计算落地到现实约束条件，逐步引导学生建立“实际情景→抽象函数模型→利用函数性质解题→回归实际检验结果”的标准化建模解题思路，落实数学建模核心素养.   二、学情分析 已有基础：知识层面：学生已经熟练掌握二次函数解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标与最值计算公式，掌握二次函数图象画法，能够辨别二次函数增减区间；也具备一次函数解决简单实际问题的经验，理解自变量取值要贴合现实场景.能力层面：拥有基础的列式、代数计算能力，能够完成整式运算、代入求值，具备初步的数形结合意识. 存在困难：一是建模困难，学生难以从文字描述的运动、篱笆围建等生活场景里剥离数量关系，准确列出二次函数解析式；二是极易忽略实际问题的自变量取值范围，只会套用顶点公式，不会结合现实取舍最值；三是区分不开几何、物理两类不同实际问题的建模逻辑，容易出现公式套用混乱、计算失误的问题；四是不会结合函数图象解释实际运动变化过程，数形转化不够流畅. 认知特点：初中阶段学生以具象思维为主，抽象建模能力薄弱，对生活化、可视化的例题接受度更高，单纯的公式推演易产生倦怠.学生好奇心强，对跳水、抛球等运动类情景兴趣浓厚，适合依托真实情境驱动探究学习；同时学生已经具备一定的合作探究、错题自纠能力，可借助例题拆解、分层练习逐步化解难点，循序渐进完成从“会算函数”到“会用函数”的思维升级.   三、教学目标 1.学会针对运动、几何场景建立二次函数模型，熟练运用顶点公式求解实际问题中的函数最值. 2.准确从实际情境提取数量关系列出函数解析式，结合现实限定自变量范围，在取值区间内合理求取最值. 3.经历建模、求解、检验完整解题流程，提升数形结合、数学建模与数据分析能力. 4.体会二次函数在生活、运动场景的实用价值，养成严谨运算、结合实际核验结果的数学素养.   四、教学重难点 重点：学会针对运动、几何场景建立二次函数模型，熟练运用顶点公式求解实际问题中的函数最值. 难点：准确从实际情境提取数量关系列出函数解析式，结合现实限定自变量范围，在取值区间内合理求取最值.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：二次函数y=ax2+bx+c 开口方向由什么决定？二次函数的顶点坐标是什么？ 答：a>0，开口向上，a<0，开口向下；顶点坐标：(，) 问题2：二次函数y=ax2+bx+c 何时有最大值或最小值？ 答：a>0，当x=时，函数值有最小值，y最小值=. a<0，当x= 时，函数值有最大值，y最大值= . 师生活动：教师提问两个基础问题，学生集体口述作答，教师板书标准公式，针对开口方向、最值规律进行简单追问辨析，巩固记忆. 设计意图：快速回顾二次函数核心基础公式，为本节课实际问题求最值铺垫理论依据，搭建旧知与新知的桥梁，降低例题理解难度. · 探究新知 活动一：探究利用二次函数解决运动中的最值问题 问题3：在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 师生活动：教师出示跳水运动例题，引导学生识别二次函数模型；学生独立套用公式计算最值，结合函数图象口述运动全过程，师生共同归纳运动类最值解题要点. 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 解：对于二次函数 h=4.9t2+2.8t+11， 当 t=≈0.3时，h有最大值， =11.4， 因此，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m. 问题4：函数h=4.9t2+2.8t+11的图象直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 答：运动员的重心先逐渐上升，在0.3秒的时候到达了最高点11.4米处，然后逐步下降，快到2秒时运动员入水，重心高度降为0. 总结：运动问题中的最高点问题： 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点有最低(高)点，也就是说，当x=时，二次函数有最小(大)值. 注意：实际问题绘制函数图象，只需画出自变量取值范围内的抛物线段，不需要画出完整抛物线. 设计意图：依托真实运动情境，让学生掌握用顶点公式求解实际最值，结合图象理解变量变化，明确实际图象仅取有效区间，完成理论知识向运动应用题的落地转化. 活动二：探究利用二次函数解决几何图形的最值问题 问题5：如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园. 如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 师生活动：教师出示靠墙建菜园的几何问题，学生自主设变量、列函数式并计算最值；师生共同讨论自变量取值限制，梳理出实际最值问题的通用解题步骤. 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为(202x)m，矩形菜园的面积 S=x(202x)， 即 S=2x2+20x (0<x<10). 当x==5时， S有最大值=50. 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 m2. 问题6：在这个问题中，自变量 x 可以取任意实数吗？为什么？ 在实际问题中，函数自变量的取值范围应使问题有现实意义. 答：菜园两条边长长度必须大于0，因此列出不等式组求解出自变量范围，即. 解不等式组得：0<x<10. ∴自变量的取值范围是0<x<10. 总结：解决实际最值问题的一般步骤： 1.分析变量关系，建立二次函数模型； 2.根据实际意义，确定自变量的取值范围； 3.利用顶点公式或函数单调性求最值； 4.解释最值的实际意义，同时判断顶点横坐标是否落在自变量区间内，区分顶点最值、区间端点最值两种情况. 设计意图：借助生活围栏情境，让学生掌握几何最值求解方法，理解自变量受现实条件约束，建立完整解题流程，区分理论顶点与实际定义域的关系. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道例题，先引导学生独立审题列式，确定自变量取值范围；学生自主演算求解，之后小组交流顶点与区间的位置关系，教师针对例1顶点不在区间内的易错点进行板书点拨，再带领学生对比例2两种解题思路. 例1 如果问题2中墙的长度为 8 m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为(202x)m，矩形菜园的面积 S=x(202x)=2x2+20x 根据题意，得 ，解得 6≤x<10 ∵=5<6，且2<0 ∴当6≤x<10时，S随x的增大而减小. ∴当x=6，202x=8时，S取得最大值48. 答：当垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为8m时，菜园的面积最大，最大面积是48m2. 例2 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米． (1)求y关于x的函数关系式； (2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ (3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 解：(1)y=x(16x)=x2+16x(0<x<16)； (2)当y=60时，x2+16x=60，解得x1=10，x2=6. 所以当x=10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米； (3)当y=70时，x2+16x=70，整理得：x216x+70=0， 由于Δ=256280=24＜0， 因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场． 还有其他方法吗？ 方法二： (3)y=x2+16x=(x8)2+64， 当x=8时，y有最大值64， 即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米， 所以不能围成70平方米的养鸡场． 设计意图：通过带墙长限制的围栏例题，突破“顶点不一定可取”的重难点，训练学生先判断自变量区间再求最值的习惯；借助一题多解，巩固顶点公式、判别式两种方法，提升学生灵活解题能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m)与小球的运动时间 t (单位：s)的关系近似为h=30t5t2 (0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 解：由函数h=30t5t2 (0≤t≤6)可知，=3 ∵0<3<6，且5<0，∴当t=3时，h有最大值=45. 答：小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m. 2.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)． (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 解：(1)M(12，0)，P(6，6)． (2)设这条抛物线的函数关系式为y=a(x6)2+6， 因为抛物线过O(0，0)，所以a(06)2+6=0， 解得，a= ， 所以这条抛物线的函数关系式为：y=(x6)2+6，即y＝x2+2x. (3)设OB=m米， 则点A的坐标为(m，m2+2m)， 所以AB=DC= m2+2m. 由抛物线轴对称性质，可得OB=CM=m， 所以BC=122m，即AD=122m， 所以l=AB＋AD＋DC =m2+2m+122mm2+2m =m2+2m+12=(m3)2+15. 所以当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米． 师生活动：教师出示练习题，学生独立完成小球抛射问题，上台展示解题过程；隧道题先引导学生读图获取坐标信息，小组合作搭建线段和的函数模型，教师巡视点拨坐标转化线段长度的难点，师生共同订正结果. 设计意图：小球问题巩固顶点在取值区间内求最值的基础题型；隧道脚手架一题融合抛物线图象、线段建模与最值求解，提升学生数形结合、从几何情境转化二次函数问题的综合能力. 【限时训练】 1.已知矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与之间的函数解析式及 其自变量的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.已知一个直角三角形的两直角边长之和为，则该直角三角形的最大面积为(     ) A. B. C . D. 【答案】B  3.如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度运动，同时点从点出发，沿向点以的速度运动当点运动到点时，点，同时停止运动在运动过程中，四边形的面积最小为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  4.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的函数关系如图所示给出下列结论：小球在空中经过的路程是小球被抛出后，速度越来越快小球被抛出时速度为当时，其中，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  5.一名男生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是，铅球运行路线如图所示。 求铅球推出的水平距离 通过计算说明铅球行进高度能否达到？ 【答案】解：当时，， 解之得，不合题意，舍去， 所以铅球推出的水平距离为是米． ， 当时，取最大值，   所以铅球行进高度不能达到，最高能达到．  师生活动：学生独立完成五道课堂小测题，完成后同桌互对答案；教师针对易错题、区间最值易错点集中讲解订正，梳理答题误区，引导学生复盘解题方法. 设计意图：全面检测本节课二次函数实际建模、区间最值、运动几何应用的掌握情况，查漏补缺，夯实课堂所学知识，强化学生规范解题的能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题的步骤是什么？ 3.在利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题时有哪些注意事项？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：区间内的顶点最值小探秘 任务：创编 2 个生活情境：1 个围栏矩形面积情境、1 个投篮高度情境，根据题目完整完成解题与最值分析；要求情境符合生活实际，完整规范书写全部演算过程，并完成后续思考探究. 探究：1.实际问题里，为什么必须确定自变量的取值范围？ 2.实际求最值存在两种情形：最值在“顶点处取得”，或最值在“自变量取值范围的端点处取得”.请结合两道题的实际情境，分别说明两种情况各自的适用场景. 学科网（北京）股份有限公司 $