四川达州市外国语学校2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题

**基本信息** 四川省达州市外国语学校2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题，分A、B卷（100+50分），覆盖四边形性质、一元二次方程、函数等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，考查学生数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|平行四边形性质、轴对称与中心对称、一元二次方程定义|如第1题考查四边形共通性质，夯实基础| |填空题|10题40分|因式分解、黄金分割、菱形动点最值|如第13题结合菱形动点与中位线求最值，体现几何直观| |解答题|8题78分|方程求解、几何证明、军事演习行程问题、新定义“全整根方程”|如B卷25题定义“全整根方程”及“关爱码”，培养抽象能力与推理意识|

四川省达州市外国语学校2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列方程中一定是一元二次方程的是（　　） A．x2＝0 B．x2﹣2y+1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D． 4．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 6．如图，直线y＝﹣3x与直线y＝ax+4相交于点A（m，3），则不等式﹣3x＜ax+4的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．x＞﹣1 D．x＜3 7．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 8．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式：4a2﹣b2＝　　 ． 10．若有意义，则x的取值范围是________． 11．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝　　 ． 12．大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是 　　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边CD，BC上的动点，连接AM，MN，P，Q分别为AM，MN的中点，连接PQ．若∠B＝45°，AB＝4，则PQ的最小值为 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）解方程：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3； （2）x2﹣4x+1＝0． 15．（8分）先化简：，再从﹣3，﹣1，0，3中选择一个合适的a值代入求值． 16．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 17．（10分）如图，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，CD是边BE的中线，过点D作AD∥BE，连接AE交BD于点F，交CD于M，点M恰为CD中点． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若FM＝1，且∠DEF＝30°，求S△BDE的面积． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线l2与直线l1，x轴分别交于点． （1）求直线l2的解析式式； （2）若D，E分别是直线l2和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，AB为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 　　 ． 20．若关于x的分式方程1有增根，则m的值为 　　 ． 21．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E．设小正方形的边长为1，则BE的长为______ ． 22．如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 　　 ． 23．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇A距离该小岛40千米，舰艇B距离该小岛60千米，于是舰艇B加速前进，速度是舰艇A的2倍，结果舰艇B提前10分钟到达，顺利完成了登岛任务． （1）求舰艇A，B的速度； （2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月（30天），已知舰艇A，B的巡航费用分别为50万元/天，40万元/天． ①求巡航总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式； ②若舰艇B巡航天数不能超过舰艇A的2倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？ 25．（10分）阅读下列材料：我们把b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即Δ＝b2﹣4ac如果Δ的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数． 例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x＝1，x2不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即Q（a，b，c）；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝2时，该全整根方程的“关爱码”是 　　 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，则m的值为 　　 ． （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值（直接写出答案）． 26．（12分）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 答案 四川省达州市外国语学校2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分 【解答】解：A、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误； B、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确； C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误； D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误． 故选：B． 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误； 故选：C． 3．下列方程中一定是一元二次方程的是（　　） A．x2＝0 B．x2﹣2y+1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D． 【解答】解：A、x2＝0，是一元二次方程，故A符合题意； B、x2﹣2y+1＝0，是二元二次方程，故B不符合题意； C、ax2+bx+c＝0（a≠0），是一元二次方程，故C不符合题意； D、5x2+6＝0，是分式方程，故D不符合题意； 故选：A． 4．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据“一个多边形的内角和是它外角和的2倍”得： （n﹣2）×180°＝2×360°， 解得：n＝6， 即这个多边形是六边形． 故选：C． 5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠DAE＝∠BAC， A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； C、添加，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； D、添加，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确； 故选：D． 6．如图，直线y＝﹣3x与直线y＝ax+4相交于点A（m，3），则不等式﹣3x＜ax+4的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．x＞﹣1 D．x＜3 【解答】解：∵直线y＝﹣3x与直线y＝ax+4相交于点A（m，3）， ∴3＝﹣3m， ∴m＝﹣1， ∴A（﹣1，3）， 由图象可知，当x＞﹣1时，函数y＝﹣3x的图象在y＝ax+4的下方， 则不等式﹣3x＜ax+4的解集为x＞﹣1． 故选：C． 7．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 【解答】解：∵四边形COED是矩形， ∴CE＝OD， ∵点D的坐标是（1，3）， ∴OD， ∴CE， 故选：C． 8．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6． ∴∠AFB＝∠FBC． ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC． ∴∠AFB＝∠ABF． ∴AF＝AB＝6． 同理可得DE＝DC＝6． ∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式：4a2﹣b2＝　（2a+b）（ 2a﹣b ）　 ． 【解答】解：4a 2─b2＝（2a）2﹣b2＝（2a+b）（ 2a﹣b ）， 故答案为：（2a+b）（ 2a﹣b ）． 10．若有意义，则x的取值范围是x≥0且x≠3　 ． 【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣3≠0， 解得x≥0且x≠3． 故答案为：x≥0且x≠3． 11．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝　3　 ． 【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝1， ∴x1+x2﹣x1x2＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 12．大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是 　　 ． 【解答】解：由题知， 因为点P是AB的黄金分割点，且AP＞PB， 所以， 又因为AP＝8cm， 所以ABcm． 故答案为：（）cm． 13．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边CD，BC上的动点，连接AM，MN，P，Q分别为AM，MN的中点，连接PQ．若∠B＝45°，AB＝4，则PQ的最小值为 　　 ． 【解答】解：连接AN， ∵P，Q分别为AM，MN的中点， ∴PQ是△MAN的中位线， ∴PQAN， 当AN⊥BC时，AN最小，此时PQ最小， ∵∠B＝45°， ∴此时△ABN是等腰直角三角形， ∴ANAB4＝2， ∴AN的最小值是2， ∴PQ的最小值为2． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）解方程：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3； （2）x2﹣4x+1＝0． 【解答】解：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3， x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝3； （2）x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2． 15．（8分）先化简：，再从﹣3，﹣1，0，3中选择一个合适的a值代入求值． 【解答】解：原式 • ， ∵（a+3）（a﹣3）≠0，a（a﹣3）≠0， ∴a≠±3，0， 当a＝﹣1时，原式＝﹣1． 16．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0有两个实数根， ∴b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）＝﹣8m+24≥0， 解得：m≤3， 即m的取值范围是m≤3； （2）∵方程的两个根为x1、x2， ∴x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣5， ∴x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝[2（m﹣1）]2﹣3（m2﹣5）＝m2﹣8m+19， ∵x1x2+12， ∴m2﹣8m+19＝12，即m2﹣8m+7＝0， 解得m＝1或m＝7， ∵m≤3， ∴m＝1， 故m的值为1． 17．（10分）如图，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，CD是边BE的中线，过点D作AD∥BE，连接AE交BD于点F，交CD于M，点M恰为CD中点． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若FM＝1，且∠DEF＝30°，求S△BDE的面积． 【解答】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠DAM＝∠CEM，∠ADM＝∠ECM， ∵点M为CD中点， ∴DM＝CM， ∴△ADM≌△ECM（AAS）， ∴AD＝CE，AM＝EM， ∵CD是边BE的中线， ∴BC＝CE， ∴AD＝BC， 又∵AD∥BE， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD是边BE的中线，∠BDE＝90°， ∴， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，S△ABD＝S△BCD， ∵BC＝CE，则S△BCD＝S△ECD， ∴，S菱形ABCD＝2S△BCD＝S△BDE， ∵AD∥BE， ∴∠DAF＝∠BEF，∠ADF＝∠EBF， ∴△ADF∽△EBF， ∴， ∴BF＝2DF，EF＝2AF， 设DF＝x，则BF＝2x， ∴BD＝DF+BF＝3x， ∵∠DEF＝30°，∠BDE＝90°， ∴EF＝2DF＝2x， ∴EM＝EF﹣FM＝2x﹣1，， ∴AM＝EM＝2x﹣1， ∴AF＝AM﹣FM＝2x﹣1﹣1＝2x﹣2， ∴EF＝2AF＝4x﹣4， ∴4x﹣4＝2x 解得：x＝2， ∴，BD＝6， ∴． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线l2与直线l1，x轴分别交于点． （1）求直线l2的解析式式； （2）若D，E分别是直线l2和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，AB为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∵直线l2与直线l1，x轴分别交于点A（，），C（3，0）， ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣x+3； （2）存在以A，B，D，E为顶点，AB为一边的四边形是平行四边形，理由如下： ∵与x轴交于点B， ∴B（﹣2，0）， 设D（t，﹣t+3），E（0，m）， ①当AD为平行四边形的对角线时， ∵A（，），B（﹣2，0）， ∴， 解得， ∴D（，）； ②当AE为平行四边形的对角线时， ∵A（，），B（﹣2，0）， ∴， 解得， ∴D（，）； 综上所述，点D的坐标为（，）或（，）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 　2　 ． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+k＝0中得4﹣6+k＝0， 解得：k＝2． 解法二：设另一个因式为（x+p），则有x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x+p）＝x2+（﹣2+p）x﹣2p， ∴， 解得． 故答案为：2． 20．若关于x的分式方程1有增根，则m的值为 　﹣6　 ． 【解答】解：1， 2x﹣（x﹣3）＝﹣m， 解得：x＝﹣m﹣3， ∵分式方程有增根， ∴x＝3， 把x＝3代入x＝﹣m﹣3中， 3＝﹣m﹣3， 解得：m＝﹣6， 故答案为：﹣6． 21．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E．设小正方形的边长为1，则BE的长为 x　 ． 【解答】解：BD， ∵AB∥DC， ∴△ABE∽△CDE， ∴， 设BE＝x，则DEx， ∴， 解得：x． 故答案为：． 22．如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 　2.5　 ． 【解答】解：如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG， ∵△ABC和△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG， ∴∠BDE＝∠FEG， 在△BED和△GFE中， ， ∴△BED≌△GFE（SAS）， ∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG， ∵FC平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠ECF＝30°， ∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG， ∴∠GFC＝∠GCF＝30°， ∴FG＝CG＝BE， ∵AB＝BC，BD＝EG， ∴AD＝BE+CG＝2BE＝5， ∴BE＝2.5． 故答案为：2.5． 23．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　7　 ． 【解答】解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线于G点， 由旋转的性质可知CD＝ED， ∵∠EDG+∠CDG＝∠CDG+∠FDC＝90°， ∴∠EDG＝∠FDC，又∠DFC＝∠G＝90°， ∴△CDF≌△EDG， ∴CF＝EG， ∵S△ADEAD×EG＝6，AD＝4， ∴EG＝3，则CF＝EG＝3， 依题意得四边形ABFD为矩形， ∴BF＝AD＝4， ∴BC＝BF+CF＝4+3＝7， 故答案为：7． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇A距离该小岛40千米，舰艇B距离该小岛60千米，于是舰艇B加速前进，速度是舰艇A的2倍，结果舰艇B提前10分钟到达，顺利完成了登岛任务． （1）求舰艇A，B的速度； （2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月（30天），已知舰艇A，B的巡航费用分别为50万元/天，40万元/天． ①求巡航总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式； ②若舰艇B巡航天数不能超过舰艇A的2倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？ 【解答】解：（1）设舰艇A的速度的速度为x千米/小时，则舰艇B的速度的速度为2x千米/小时， 根据题意得：， 解得x＝60， 经检验，x＝60是原方程的根， 此时2x＝120， 答：舰艇A的速度的速度为60千米/小时，则舰艇B的速度的速度为120千米/小时； （2）①根据题意得：W＝50a+40（30﹣a）＝10a+1200， ∴总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式为W＝10a+1200； ②∵30﹣a≤2a， 解得a≥10， 在W＝10a+1200中， ∵10＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当a＝10时，W最小，最小值为1300， 答：舰艇A应巡航10天，巡航的费用最少． 25．（10分）阅读下列材料：我们把b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即Δ＝b2﹣4ac如果Δ的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数． 例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x＝1，x2不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即Q（a，b，c）；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝2时，该全整根方程的“关爱码”是 　　 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，则m的值为 　﹣1或3　 ． （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值（直接写出答案）． 【解答】解：（1）①当 m＝2 时，方程为 x2﹣3x+2＝0， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得m1＝﹣1，m2＝3 则当m＝﹣1或3时，若该全整根方程的“关爱码”是﹣1， 故答案为：﹣1或3； （2）∵x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0， ∴b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×1×（m2﹣4m﹣5）＝4m+29， ∵4＜m＜15， ∴45＜4m+29＜89， 其中完全平方数有49、64和81， 当4m+29＝49 时，m＝5， 当4m+29＝64时， （不合题意）， 当4m+29＝81时，m＝13， 当m＝5时，原方程为x2﹣7x＝0， 则， 当m＝13时，原方程为x2﹣23x+112＝0， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； （3）方程 x2+（1﹣m）x+m+4＝0 的“关爱码”， 方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0的“关爱码， 由题意得：， ∴（m+n）（m﹣n﹣2）＝0， ∴m+n＝0 或 m﹣n＝2， ∵m，n均为正整数， ∴m+n＝0不合题意， ∴m﹣n＝2． 26．（12分）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点， ∴，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∴， ∵∠EBF＝∠C＝90°， ∴△BCD∽△FBE； （2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形． ∵E是AB中点， ∴AE＝BE， ∵AM∥BC， ∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE， ∴△AME≌△BFE（AAS）， ∴AM＝BF， ∵AD＝2CF，CF＝DH， ∴AH＝DH＝CF， ∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC， ∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°， ∴△MFH≌△BDC（SAS）， ∴∠AMF＝∠CBD， 又∵∠AMF＝∠BFG， ∴∠CBD＝∠BFG， ∴BG＝FG； 方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH， ∵E是AB中点，H是BD中点， ∴EHAD，EH∥AD， ∵AD＝2CF， ∴EH＝CF， ∵AD∥BC， ∴EH∥CF， ∴四边形EHCF是平行四边形， ∴EF∥CH， ∴∠HCB＝∠GFB， ∵∠BCD＝90°，H是BD中点， ∴CHBD＝BH， ∴∠HCB＝∠HBC， ∴∠GFB＝∠HBC， ∴BG＝FG； （3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形， ∴CF＝DM， ∵AD＝2CF， ∴AM＝DM＝CF， 设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF， ∴AFa， ∵AG＝FG，BG＝FG， ∴AG＝BG， ∵E是AB中点， ∴FE垂直平分AB， ∴BF＝AFa， ∵H是BD中点， ∴EH是△ABD中位线， ∴EHAD＝a，EH∥AD∥BC， ∴△EGH∽△FGB， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $