第1章 推理与证明 单元卷 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学“推理与证明”单元复习，以定义、命题、推理方法为核心，通过几何情境与逻辑训练，发展抽象能力、推理意识和几何直观，适配单元知识巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义辨析、命题真假、公理化思想|如第4题考查《几何原本》作者，渗透数学文化| |填空题|6/18|命题改写、反证法假设、折叠问题|第13题反证法假设训练逻辑思维| |解答题|8/72|反证法证明、平行线拐点模型、“8字形”综合|22题“M型”“铅笔型”模型探究，培养推理能力与创新意识|

第1章 推理与证明（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【答案】D 【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确． 2．下列语句是命题的是（   ） A．延长线段到C B．用量角器画 C．三角形的内角和是 D．任意数的平方都不小于0吗？ 【答案】C 【详解】解：A、延长线段到，没有做出判断，不是命题； B、用量角器画，没有做出判断，不是命题； C、三角形的内角和是，做出了判断，是命题； D、任意数的平方都不小于0吗？没有做出判断，不是命题； 3．下列命题中真命题的个数是（  ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原选项错误，是假命题，不符合题意； ②对顶角相等，选项正确，是真命题，符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原选项错误，是假命题，不符合题意； ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原选项错误，是假命题，不符合题意； ⑤在 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项正确，是真命题，符合题意． 综上所述，真命题的个数是2个． 4．数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 【答案】B 【详解】解：《几何原本》的作者是：欧几里得， 5．对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A．，则，，不能说明，故A不符合题意； B．，则，，可以说明，故B符合题意． C．，则，，不能说明，故C不符合题意； D．，则，，不能说明，故D不符合题意． 6．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 7．如图，下列能判定的条件的个数（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：（1）不能判定； （2）， ， 不能判定； （3）， ； （4）， ． 综上，能判定的条件是（3）、（4），共个． 8．在下列条件：①；②；③；④中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【详解】解：①不能确定△ABC为直角三角形，故①不符合题意； ②∵，， ∴，，， ∴△ABC为直角三角形，故②符合题意； ③设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴△ABC是直角三角形，故③符合题意； ④设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴△ABC不是直角三角形，故④符合题意； 综上，正确的有②③共2个． 9、用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（   ） A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【详解】解：命题：“如果，那么”． 若假设b与c相交于点P， ，即过直线外一点，有两条直线和与直线平行， 则与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾， 10．如图，、是△ABC的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 、是△ABC的外角角平分线 （） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果同位角相等，那么两直线平行 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”的条件是：“同位角相等”，结论为：“两直线平行”， ∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同位角相等，那么两直线平行”， 故答案为：如果同位角相等，那么两直线平行． 12．图所示，用直尺和三角尺作直线，这种作法的依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【详解】解：如图， ， 由画法可得：，则，这种作法的依据是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 13．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设 ． A．直角三角形的每个锐角都小于 B．直角三角形有一个锐角大于 C．直角三角形的每个锐角都大于 D．直角三角形有一个锐角小于 【答案】直角三角形的每个锐角都小于 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于． 故答案为：直角三角形的每个锐角都小于 14．如图，将△ABC纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °． 【答案】68 【详解】解：由折叠的性质得，，， 根据对顶角相等，， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：68． 15．在△ABC中，，，点D在边上，连接．若△ACD为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【解析】解：分两种情况： 如图①，当时，． ， ． 如图②，当时， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 16．将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴此时有， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 若，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 若，则， ∵， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； 【答案】见详解 【详解】解：（1）如果，那么和互余；题设是，结论是和互余． （2）如果两个角互补，那么这两个角是针角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角． 18、写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 【答案】见详解 【详解】（1）解：原命题：如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； 逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形；是真命题； （2）解：原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角有公共顶点且相等； 逆命题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角； 是假命题． 反例如下：如图：，且共顶点O，但这两个角不是对顶角； 19、在△ABC中，．求证：．（用反证法证明） 【答案】见详解 【详解】解：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与三角形内角和定理等于相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 20、如图，在△ABC中，D为上一点，，． (1)判断△ABC的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)△ABC是直角三角形 (2) 【详解】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 21、如图，已知△ABC，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 【答案】见详解 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ． 22、综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】 如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【详解】解：（1）如图1，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3， ∵分别是的角平分线， ∴， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4），理由： 如图4，过C作，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 23、如图①，在△ABC中，平分，且与△ABC的外角的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若，求的度数； （2）若，则 ． 【猜想证明】 （3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变化，理由见详解，结论 （4），理由见详解 【详解】解：（1）∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， （3）不变化，理由如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 即 （4），理由如下： 如图，延长交于点A， 则 ∴， 由（3）可得， ∴． 24、（1）如图1的图形是同学们所熟悉的“8字形”，则____；图2中有_____个“8字形”； （2）如图3，的平分线相交于点P，连接，若平分，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，的平分线相交于点的平分线相交于点，是的，直接写出的度数． 【答案】（1）；6；（2），理由见详解，（3）， 【详解】（1）∵， 而， ∴ 图2中以E为交点的“8字形”有1个，以F为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有4个，共6个； 故答案为：；6； （2）， 理由：∵分别平分和， ， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴； （3）如图； 由（1）的“8字形”得： ， ∵， ∴， ∴， ∵是的， ∴， 解得， 即． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 推理与证明（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 2．下列语句是命题的是（   ） A．延长线段到C B．用量角器画 C．三角形的内角和是 D．任意数的平方都不小于0吗？ 3．下列命题中真命题的个数是（  ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 5．对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 7．如图，下列能判定的条件的个数（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．在下列条件：①；②；③；④中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9、用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（   ） A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同位角相等，两直线平行 10．如图，、是△ABC的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 12．图所示，用直尺和三角尺作直线，这种作法的依据是 ． 13．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设 ． A．直角三角形的每个锐角都小于 B．直角三角形有一个锐角大于 C．直角三角形的每个锐角都大于 D．直角三角形有一个锐角小于 14．如图，将△ABC纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °． 15．在△ABC中，，，点D在边上，连接．若△ACD为直角三角形，则的度数为 ． 16．将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； 18、写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 19、 在△ABC中，．求证：．（用反证法证明） 20、如图，在△ABC中，D为上一点，，． (1)判断△ABC的形状； (2)判断是否与垂直． 21、如图，已知△ABC，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 22、综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】 如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 23、如图①，在△ABC中，平分，且与△ABC的外角的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若，求的度数； （2）若，则 ． 【猜想证明】 （3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 24、（1）如图1的图形是同学们所熟悉的“8字形”，则____；图2中有_____个“8字形”； （2）如图3，的平分线相交于点P，连接，若平分，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，的平分线相交于点的平分线相交于点，是的，直接写出的度数． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $