河北省邢台市部分高中2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

2026-2027年度高二数学上学期开学考试题 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.若z(2-i)=5,则z=() A.1 B.√5 C.10 D.5 2.数据2,2,3,5,5,7,8,10,12的第三四分位数为() A.7 B.7.5 C.8 D.9 3. 阿基米德（公元前287年-公元前212年)是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后 的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、 下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为() B.3 c. 4.若直线1的一个方向向量为ā=(2,5,7)，平面的一个法向量为i=1,1,-1),则() A.l/1o或lca B.l⊥a C.Ica D.l与u斜交 5.若{ā，b,c}构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是() A. B.(a+B,a-B,c)C. a+b.c-a,b+c D {a+28,-2a.4+ 6.己知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是() A. 8π 3 B.8π C.16π D.32π 7.己知A,B是互斥事件，C与AUB是对立事件，若P(A)=02,P(B)=0.4,则P(C)=() A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 8.已知正方体ABCD-AB,C1D边长为2，E,F分别是棱BC,CC的中点，动点P在正方形BCCB (包括边界)内运动，则PA∥平面AEF的一个充分非必要条件是() D B P D B A.P为C1 B.P为BC1的中点 C.P的轨迹长度为√2 D.P为BB,的中点 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知，z2都是复数，下列选项中正确的有() A.若552=0，则3=0或53=0 B.若a=五，则名+3是实数 C.1+3=1+2 D.若51-2>0，则51>2 10.如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AW上，且 AP=3Pm,0N=号0M,设0A=a,OB=b,OC=c,则下列等式成立的是 A0m五-c B.AN-38 +3c-a M B cA丽6--ā D.0p4a+5+d 11.正方体ABCD-AB,C1D的棱长为1，M,N为线段BC,CC1上的动点，过点A,M,N的平面截 该正方体的截面记为S,则下列命题正确的是() A.当BM=0且0<CN<1时，S为等腰梯形 B.当M,N分别为BC,CC的中点时，几何体AAN的休积为立 C.当M为BC中点且0≤CN≤1时，S为五边形 D.当M为BC中点且CW=时，S与CD的交点为R,满足CR=】 4 6 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知向量a=(1,1),万=(2,3)，则a在五方向上的投影向量的坐标为 13.在平行六面体ABCD-ABC1D中，AB=1,AD=2,AA=3,且AB与AD的夹角为60°，AB 与A4的夹角为90°，A4与AD的夹角为120°，则体对角线AC的长度为 14.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知心2+b=3C2,则cosC的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中à=(1,2). (1)若b=(t,1),且a/b,求b: (2)若c=2,且(a+c)1(a-2c),求c与a所成夹角的余弦值. 16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-ABC1D中，底面ABCD是边长为2的正方形，A4=2, ∠BCG=∠cC-骨0为BD的中点， D B (1)证明：BD/平面C,BD: (2)证明：BD⊥平面OCC; 17.(15分)己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinB=2sinC,b=(2cosA+1)c. (1)求A: (2)若D为线段AC的中点，△ABC的面积为2√3，求线段BD的长. 18.(17分)某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百 分制)分成[40,50)、[50,60)、·、[90,100]六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问 题： 频率组距 0.025 0.020 0.010 0.005 0405060708090100分数 (I)求频率分布直方图中a的值，并估计众数： (2)已知落在区间[60,70)的样本平均分是63，方差是5：落在区间[70,80)的样本平均分是78，方差 是4，求两组样本成绩合并后的平均分x和方差s2. 19.(17分)如图，平面四边形PBCD中，点A是线段PD上一点，AB⊥PD,且PD=4,CD=√2， ∠ADC=45°，沿着AB将三角形PAB折叠得到四棱锥P-ABCD,折叠后∠PAD=120°. A (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD; (2)若AP=AD,求平面PCD与平面ABCD夹角的正切值.2026-2027年度高二数学上学期开学考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 10 答案 B C A A B B D ABC BD 题号 11 答案 AB 1015 12 1313 【详解】向量ā在b方向上的投影向量的坐标为： a-b.6_1x2+1x3 22+32 (2,3)=23) -割 13.10 14. 【球解1因为6-女，所以mC-+C二- 2ab 2ab ab' 又3c2=a2+B≥2 ab-abs3c, ab之C=3,当a=b时取等号，故cosC的最小值为3 15052-35 2 10 【详解10)a6,符11210,1回5=钊所以闪--=9。 (2)由(a+c)1(a-2c),得(a+c)(a-2c)=0,即ld-a.c-2d=0, 又因为d=P+22=√5，d=2,所以5-ac-8=0,解得ac=-3, 则c与a所成夹角的余弦值为 a.c-335 dG√5x2-10 16.(1)证明：平行六面体ABCD-AB,CD中，BB/IDD,BB=DD, 所以四边形BB,DD为平行四边形，所以BD//B,D 又BDT平面CBD,BDC平面C1BD,所以B,D//平面CBD 答案第1页 (2)证明：因为底面ABCD是正方形，O为BD的中点，所以BD⊥OC. 在DcC和6BcC巾，D0=BC,BCG=∠DcC-号CG-CG, 所以△DCC≡△BCC1,所以DC1=BC, 又O为BD的中点，所以BD⊥OC 又OC,OCc平面OCC1,OC∩OC1=O,所以BD⊥平面OCC 17.【详解】(1)因为b=(2cosA+1)c,由正弦定理得sinB=(2cosA+1)sinC. 又sinB=2sinC,sinC≠0，则2cosA+1=2,cosA= 21 又A∈(0，)，所以A= 3 (2)由(1)知A=3, 则由余弦定理cos4=+c2-Q-1 2bc 2 即b2+c2-a2=bc. 又sinB=2sinC,由正弦定理b=2c, 则(2c)2+c2-a2=(2c)c,所以a=√3c. 所以b2=c2+a2,即△ABC是直角三角形. 则a1c的面积S=ac=c2=2W5,所以c=2 所以BD=AC=b=c=2. 2 18.【详解】(1)由题意可得10×(0.01+0.01+0.02+a+0.025+0.005)=1,解得a=0.03. 很据频率分布直方图可知众数为70,80)的中点值0十80=75 (2)成绩在[60,70)内的人数为100×(0.020x10)=20, 成绩在[70,80)内的人数分别为100×(0.03×10)=30， 所以x=63×20+78x30-72. 20+30 (共2页) 设学生成绩在区间[60,70)内的数据记为x1、x2、、x20,学生成绩在[70,80)内的数据记为片、y2、 …、y30 所以=动2x-2-2,-] 动2x-63-68-72r+26y-8+78-72 =a2x-+20(8-m-2y--0(08-2 =（20×5+20×92+30×4+30×6)=58.4. 50 19.【答案】(1)在四边形PBCD中，因为AB⊥PD,所以折叠后有AB⊥PA,AB⊥AD 又PAOAD=A,ADC平面PAD,PAC平面PAD,所以AB⊥平面PAD. 又ABC平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD. (2)由题意AD=AP=2,又∠PAD=120°，故∠PDA=30°， 过点A作AE⊥AD交PD于E,则AE=2V ,连接AC,EC, 3 因为平面PAD⊥平面ABCD,面PAD⊥面ABCD=AD,AEC平面PAD, 且AE⊥AD,所以AE⊥平面ABCD, 因为CDc平面ABCD,所以AE⊥CD,同理AE⊥AC, 因为AD=2,CD=√2，∠ADC=45°，所以由余弦定理得 CA=AD2+CD2-2AD.CDCOSZADC=2 答案第2页 所以CD⊥CA, 因为CA∩AE=A,CAC平面AEC,AEG平面AEC,所以CD⊥平面AEC. 因为ECC平面AEC,所以CD⊥EC,所以∠ECA为二面角P-CD-A的平面角. 23 所以在Rt△B1C中，am∠BCA=S-3-6. ΓCA√23 所以平面PCD与平面ABCD夹角的正切值为V6 (共2页)