专题11多边形与圆的初步认识精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦多边形与圆的初步认识，系统梳理多边形定义、对角线规律（n边形总条数n(n-3)/2）、正多边形双条件判定，圆的圆心半径概念、周长面积公式及圆心角计算，结合网格图形割补法，构建从生活直观到理性定义的学习支架，为后续几何系统学习奠基。 资料以“必背”标注核心概念、“重点辨析”突破易混点（如菱形非正多边形）、“易错点”警示典型错误（如对角线忘除以2），分题型设计解题思路。通过生活实例培养几何直观（数学眼光），规律探究提升推理意识（数学思维），课中助教师突出重点，课后学生可借易错点与题型训练查漏补缺，强化应用能力。

专题11多边形与圆的初步认识精讲学案 核心立意 本节课从生活里的平面图形入手，完成从直观辨认到理性定义的过渡。既要准确掌握多边形、正多边形、圆、圆心角等概念，又要熟练运用多边形对角线的数量规律、割补法求网格图形面积、圆的周长与面积公式。本课承载着几何概念辨析、规律探究、图形计算三重功能，是学生建立几何直观、规范几何表达的关键一课，也为后续多边形、圆的系统学习做好铺垫。 多边形的定义【必背】 ① 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连围成的封闭图形，叫作多边形。 ② 无特殊说明时，本书中的多边形都是凸多边形，即多边形整体落在任意一条边所在直线的同一侧。 ③ 一个 n 边形有 n个顶点、n条边、n 个内角。 ④ 书写多边形名称时，顶点字母必须按顺时针或逆时针的顺序排列。 多边形的对角线【必背 · 高频考点】 ① 对角线：连接多边形两个不相邻顶点的线段。 ② 从一个顶点出发，可以画出 n-3 条对角线。 ③ 从一个顶点引出的对角线，可以把 n 边形分成 {n-2 个三角形。 ④ n 边形对角线的总条数：。 多边形的周长【必背】 ① 多边形的周长等于所有边长之和。 ② 各边长相等的多边形：周长 = 边长 边数。 网格中多边形的面积【必背 · 能力考点】 ① 分割法：将多边形拆分为矩形、正方形、直角三角形等规则图形，分别计算面积后求和。 ② 补全法：用包围图形的大矩形面积，减去周围空白部分的面积。 ③ 皮克公式为拓展方法，教材不作统一要求。 正多边形【必背 · 概念辨析】 ① 正多边形必须同时满足两个条件：各边相等，各内角相等。 ② 只满足其中一个条件，不能判定为正多边形。 圆的基本概念【必背】 ① 在平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的封闭曲线叫作圆。 ② 圆心：固定的端点，确定圆的位置。 ③ 半径：旋转的线段，确定圆的大小。 ④ 直径：经过圆心的线段；直径与半径的关系：d=2r。 ⑤ 以点 O 为圆心的圆记作 O。 圆的周长与面积【必背 · 高频考点】 ① 周长公式：C=2 r=d。 ② 面积公式：S=r2。 ③ 是无限不循环小数，计算时常取近似值 3.14。 圆心角【必背 · 简单运算】 ① 圆心角：顶点在圆心，两条边为半径的角。 ② 整圆的圆心角为 360。 ③ 把圆平均分成 n 等份，每份对应的圆心角：。 重点辨析 ① 多边形由线段围成；圆是曲线图形，圆不是多边形。 ② 对角线是线段，不是直线，也不是射线。 ③ 菱形各边相等，但内角不全相等；矩形各内角相等，但边长不全相等。二者都不是正四边形。 ④ 直径是线段；过圆心的直线没有两个端点，不是直径。 ⑤ 圆心角的顶点必须在圆心；顶点在圆周上的角不是圆心角。 1. 求对角线总条数时，忘记除以 2，错写成 n(n-3)。 2. 混淆圆的周长、面积公式，误将面积写为 S=2r。 3. 使用分割法、补全法计算网格面积时，出现重复计算或遗漏区域。 4. 仅依据边长相等，就判定一个多边形是正多边形。 5. 把圆等分求圆心角时，误用 180 代替 360。 6. 书写多边形名称时，顶点字母没有沿着边界依次排列。 题型 考察方向 难度 题型一 多边形的概念与分类 ★ 题型二 正多边形概念辨析 ★ 题型三 多边形截角后的边数问题 ★★★ 题型四 多边形的周长 ★★ 题型五 网格中多边形面积比较 ★★ 题型六 多边形对角线的条数问题 ★★ 题型七 对角线分成的三角形个数问题 ★★ 题型八 圆的基本概念辨析 ★ 题型九 圆的周长和面积问题 ★★ 题型十 圆心角概念辨析及简单运算 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高★★★★★压轴 题型一：多边形的概念与分类 解题思路：①检查各边是否都是线段。②确认线段首尾顺次相接。③确认图形封闭。④排除边线自相交的图形。⑤数出边数，确定是几边形。⑥依据内角区分凸多边形、凹多边形。 1．如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键．根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个四边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； C、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 3．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 题型二：正多边形概念辨析 解题思路：①检查所有边长是否相等。②检查所有内角是否相等。③必须同时满足上面两个条件。④只要有一条边或一个角不相等，就不是正多边形。⑤逐项判断选项。 4．下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 根据正多边形的定义，各边相等，各角相等的多边形，逐一判断即可求解． 【详解】解：根据正多边形的定义，选项D是正五边形， 只有选项D符合题意． 故选：D． 5．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 6．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 题型三：多边形截角后的边数问题 解题思路：①识别三种截法：不经过顶点、经过1个顶点、经过2个顶点。②不经过顶点：边数 +1。③经过1个顶点：边数不变。④经过2个顶点：边数 -1。⑤写出全部可能结果，不要漏解。 7．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 8．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 9．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 10．如图，四边形中去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 题型四：多边形的周长 解题思路：①找出每条边的长度。②可用平移法把折线转化为规则边长。③把所有边长相加。④检查有无漏加或重复相加。⑤算出周长。 11．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 12．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 13．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为_____． 【答案】20，22，26，28 【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长； 【详解】解：①如图周长=20； ②如图周长=22； ③如图周长=26； ④如图周长=28； ⑤如图周长=22； ∴四边形的周长为：20，22，26，28； 故答案为：20，22，26，28． 【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键． 题型五：网格中多边形面积比较 解题思路：①选用割补法或皮克公式。②割补法：把图形拆成若干规则图形。③皮克公式：面积=内部格点数+边界格点数2-1。④分别算出每个图形的面积。⑤比较面积大小。 14．如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有_______个 【答案】6 【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位． 【详解】解：符合条件的点C如图， 可知共有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况． 15．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 16．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 题型六：多边形对角线的条数问题 解题思路：①确定边数 n。②从一个顶点可引 (n-3) 条对角线。③对角线总条数：。④已知边数，代入公式计算。⑤已知对角线条数，列方程求 n。 17．已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 18．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将此边形分成个三角形． 【详解】解：从边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成个三角形， 由题意可得，则． 19．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 20．边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线条数的计算公式，根据即可求解过边形的一个顶点可以作条对角线，得到过个顶点可以作条对角线，但每条对角线重复一次， 由此可得为的一半，即可求解，掌握多边形的对角线计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线， ∴过个顶点可以作条对角线， 但每条对角线重复一次， ∴边形所有对角线的条数有条， 故选：． 题型七：对角线分成的三角形个数问题 解题思路：①确定边数 n。②看清是否从同一个顶点引对角线。③从同一个顶点引对角线，可得到 n-2 个三角形。④区分“从一个顶点引对角线”和“画出全部对角线”两种问法。⑤按要求作答。 21．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． 22．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 23．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式． 找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… 过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， ∴， 解得， 故选：A． 题型八：圆的基本概念辨析 解题思路：①回忆圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的定义。②直径一定是弦，弦不一定是直径。③半圆一定是弧，弧不一定是半圆。④逐一核对选项描述。⑤选出正确答案。 24．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 25．下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 26．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是②③． 对于①：正方形也是轴对称图形，但不会用于当作车轮，故排除； 对于④：该描述为垂径定理的内容，与题干信息无关联，故排除； 故答案为：C． 题型九：圆的周长和面积问题 解题思路：①找出半径 r 或直径 d。②已知直径，用 r=求半径。③周长：C=2r=d。④面积：S=r2。⑤看清求的是整圆还是部分图形。⑥代入计算。 27．一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是_________ 平方米． 【答案】 【分析】先根据圆的周长公式求出圆形花坛的半径，再将半径代入圆的面积公式计算得到花坛的面积． 【详解】解：取，根据圆的周长公式，计算圆形花坛的半径： 米， 再根据圆的面积公式，计算圆形花坛的面积： 平方米． 28．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 29．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 30．在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算矩形面积，再分别求出两种剪法下剪出圆的总面积，进而得到剩余面积和，计算的取值范围即可． 【详解】矩形面积为； 方式：剪出个最大圆，圆的最大直径等于矩形的宽，可得半径，圆的面积为， ； 方式：剪出个等大的最大圆，两圆并排沿长摆放，可得单个圆最大直径为，半径，两个圆的总面积为， ； ， ， ， ，即， ，即， ， ， ，即， A选项符合题意． 题型十：圆心角概念辨析及简单运算 解题思路：①检查角的顶点是否在圆心。②检查角的两边是否都是半径。③两点同时满足才是圆心角。④整圆的圆心角是 60。⑤等分圆时，用 360份数求每个圆心角。⑥利用角度和差计算。 31．如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 32．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________． 【答案】 【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小． 【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作， 当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径， 圆心角所对的弧长比半径大， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断． 33．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 解答题 1．比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确． 【答案】外弧半径中间弧半径内弧半径 验证如下：如图， 【详解】略 2．火车机车上主动轮的直径为1.2，如果主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？（精确到0.1） 【答案】约 【分析】先根据圆的周长公式求出主动轮转一圈火车前进的距离. 再计算1小时内主动轮转的总距离. 最后换算单位即可得到火车每小时行驶的路程． 【详解】解：已知主动轮直径为，每分钟转400圈． 主动轮的周长：，1时等于60分钟， 1小时主动轮转的圈数为：（圈）， 火车1小时行驶的距离为： ， 换算单位得， 答：火车每小时约行千米． 3．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】 如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】略 4．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 5．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11多边形与圆的初步认识精讲学案 核心立意 本节课从生活里的平面图形入手，完成从直观辨认到理性定义的过渡。既要准确掌握多边形、正多边形、圆、圆心角等概念，又要熟练运用多边形对角线的数量规律、割补法求网格图形面积、圆的周长与面积公式。本课承载着几何概念辨析、规律探究、图形计算三重功能，是学生建立几何直观、规范几何表达的关键一课，也为后续多边形、圆的系统学习做好铺垫。 多边形的定义【必背】 ① 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连围成的封闭图形，叫作多边形。 ② 无特殊说明时，本书中的多边形都是凸多边形，即多边形整体落在任意一条边所在直线的同一侧。 ③ 一个 n 边形有 n个顶点、n条边、n 个内角。 ④ 书写多边形名称时，顶点字母必须按顺时针或逆时针的顺序排列。 多边形的对角线【必背 · 高频考点】 ① 对角线：连接多边形两个不相邻顶点的线段。 ② 从一个顶点出发，可以画出 n-3 条对角线。 ③ 从一个顶点引出的对角线，可以把 n 边形分成 {n-2 个三角形。 ④ n 边形对角线的总条数：。 多边形的周长【必背】 ① 多边形的周长等于所有边长之和。 ② 各边长相等的多边形：周长 = 边长 边数。 网格中多边形的面积【必背 · 能力考点】 ① 分割法：将多边形拆分为矩形、正方形、直角三角形等规则图形，分别计算面积后求和。 ② 补全法：用包围图形的大矩形面积，减去周围空白部分的面积。 ③ 皮克公式为拓展方法，教材不作统一要求。 正多边形【必背 · 概念辨析】 ① 正多边形必须同时满足两个条件：各边相等，各内角相等。 ② 只满足其中一个条件，不能判定为正多边形。 圆的基本概念【必背】 ① 在平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的封闭曲线叫作圆。 ② 圆心：固定的端点，确定圆的位置。 ③ 半径：旋转的线段，确定圆的大小。 ④ 直径：经过圆心的线段；直径与半径的关系：d=2r。 ⑤ 以点 O 为圆心的圆记作 O。 圆的周长与面积【必背 · 高频考点】 ① 周长公式：C=2 r=d。 ② 面积公式：S=r2。 ③ 是无限不循环小数，计算时常取近似值 3.14。 圆心角【必背 · 简单运算】 ① 圆心角：顶点在圆心，两条边为半径的角。 ② 整圆的圆心角为 360。 ③ 把圆平均分成 n 等份，每份对应的圆心角：。 重点辨析 ① 多边形由线段围成；圆是曲线图形，圆不是多边形。 ② 对角线是线段，不是直线，也不是射线。 ③ 菱形各边相等，但内角不全相等；矩形各内角相等，但边长不全相等。二者都不是正四边形。 ④ 直径是线段；过圆心的直线没有两个端点，不是直径。 ⑤ 圆心角的顶点必须在圆心；顶点在圆周上的角不是圆心角。 1. 求对角线总条数时，忘记除以 2，错写成 n(n-3)。 2. 混淆圆的周长、面积公式，误将面积写为 S=2r。 3. 使用分割法、补全法计算网格面积时，出现重复计算或遗漏区域。 4. 仅依据边长相等，就判定一个多边形是正多边形。 5. 把圆等分求圆心角时，误用 180 代替 360。 6. 书写多边形名称时，顶点字母没有沿着边界依次排列。 题型 考察方向 难度 题型一 多边形的概念与分类 ★ 题型二 正多边形概念辨析 ★ 题型三 多边形截角后的边数问题 ★★★ 题型四 多边形的周长 ★★ 题型五 网格中多边形面积比较 ★★ 题型六 多边形对角线的条数问题 ★★ 题型七 对角线分成的三角形个数问题 ★★ 题型八 圆的基本概念辨析 ★ 题型九 圆的周长和面积问题 ★★ 题型十 圆心角概念辨析及简单运算 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高★★★★★压轴 题型一：多边形的概念与分类 解题思路：①检查各边是否都是线段。②确认线段首尾顺次相接。③确认图形封闭。④排除边线自相交的图形。⑤数出边数，确定是几边形。⑥依据内角区分凸多边形、凹多边形。 1．如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C．D． 2．下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 3．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：正多边形概念辨析 解题思路：①检查所有边长是否相等。②检查所有内角是否相等。③必须同时满足上面两个条件。④只要有一条边或一个角不相等，就不是正多边形。⑤逐项判断选项。 4．下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C．D． 5．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 6．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 题型三：多边形截角后的边数问题 解题思路：①识别三种截法：不经过顶点、经过1个顶点、经过2个顶点。②不经过顶点：边数 +1。③经过1个顶点：边数不变。④经过2个顶点：边数 -1。⑤写出全部可能结果，不要漏解。 7．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 8．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 10．如图，四边形中去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 题型四：多边形的周长 解题思路：①找出每条边的长度。②可用平移法把折线转化为规则边长。③把所有边长相加。④检查有无漏加或重复相加。⑤算出周长。 11．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 12．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 13．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为_____． 题型五：网格中多边形面积比较 解题思路：①选用割补法或皮克公式。②割补法：把图形拆成若干规则图形。③皮克公式：面积=内部格点数+边界格点数2-1。④分别算出每个图形的面积。⑤比较面积大小。 14．如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有_______个 15．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 16．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 题型六：多边形对角线的条数问题 解题思路：①确定边数 n。②从一个顶点可引 (n-3) 条对角线。③对角线总条数：。④已知边数，代入公式计算。⑤已知对角线条数，列方程求 n。 17．已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 18．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 19．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 20．边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 题型七：对角线分成的三角形个数问题 解题思路：①确定边数 n。②看清是否从同一个顶点引对角线。③从同一个顶点引对角线，可得到 n-2 个三角形。④区分“从一个顶点引对角线”和“画出全部对角线”两种问法。⑤按要求作答。 21．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 22．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 23．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 题型八：圆的基本概念辨析 解题思路：①回忆圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的定义。②直径一定是弦，弦不一定是直径。③半圆一定是弧，弧不一定是半圆。④逐一核对选项描述。⑤选出正确答案。 24．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 25．下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 26．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型九：圆的周长和面积问题 解题思路：①找出半径 r 或直径 d。②已知直径，用 r=求半径。③周长：C=2r=d。④面积：S=r2。⑤看清求的是整圆还是部分图形。⑥代入计算。 27．一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是_________ 平方米． 28．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 29．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 30．在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型十：圆心角概念辨析及简单运算 解题思路：①检查角的顶点是否在圆心。②检查角的两边是否都是半径。③两点同时满足才是圆心角。④整圆的圆心角是 60。⑤等分圆时，用 360份数求每个圆心角。⑥利用角度和差计算。 31．如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 32．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________． 33．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 解答题 1．比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确． 2．火车机车上主动轮的直径为1.2，如果主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？（精确到0.1） 3．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 4．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 5．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 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