专题07代数式精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦代数式核心知识点，系统梳理从算术思维到代数思维的过渡，涵盖用字母表示数、代数式定义与书写规范、列代数式、单项式多项式整式概念及关系，为整式加减和一元一次方程学习搭建基础支架。 资料以“必背要点+重点辨析+分层题型”设计，通过关键词分析和运算顺序训练培养抽象能力，借助规律探究题提升推理意识，规范书写与实际意义描述强化模型意识，课中助力教师精准授课，课后帮助学生查漏补缺。

专题07代数式精讲学案 核心立意： 本节是从算术思维过渡到代数思维的起点。会用字母表示数、运算律、公式和变化规律；掌握代数式的概念与书写标准；能将数量关系、图形规律转化为代数式；理解单项式、多项式、整式的定义；会确定单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数；理清各类式子的包含关系，规避概念陷阱，为整式加减、一元一次方程的学习做好铺垫。 代数式的定义【必背】 ⓵ 用加、减、乘、除、乘方把数和字母连接而成的式子，叫作代数式。 ⓶ 单独一个数或一个字母，也是代数式。 ⓷ 代数式不含等号、不等号。等式、不等式不是代数式。 ⓸ 同一个问题中，同一个字母只能表示同一个量；不同的量要用不同的字母。 代数式的书写规范【必背，硬性扣分点】 ⓵ 数字与字母相乘，数字在前，省略乘号。 例：3a 3a，不可写为 a3。 ⓶ 字母相乘，省略乘号；相同字母相乘写成幂的形式。 例：a aa2。 ⓷ 数字与数字相乘，乘号不能省略。 ⓸ 除法写成分数形式，不使用除号。 例：a2 。 ⓹ 带分数与字母相乘，先化为假分数。 例：1aa。 ⓺ 含加减的代数式后面带单位时，整体加括号。 例：(2a+3)}米，不可写为 2a+3 米。 ⓻ 系数为 1 或 -1 时，省略数字 1。 例：1aa，-1a-a。 列代数式【必背，核心能力】 ⓵ 可用字母表示运算律、公式、数量关系、图形与数列规律。 ⓶ 抓住关键词：和、差、积、商、倍、分、平方、立方。 ⓷ 注意运算顺序：区分 a-b 与 b-a；区分 (a+b)2（和的平方）与 a2+b2（平方的和）。 ⓸ 区分描述：增加到为原数的 n 倍；增加了为原数的 (n+1) 倍。 ⓹ 观察图形、数列的变化模式，写出通用代数式。 单项式【必背】 ⓵ 数与字母的积组成的代数式，叫作单项式。单独一个数、一个字母也是单项式。 ⓶ 单项式不含加减运算；分母中不能含有字母。 ⓷ 系数：单项式的数字因数。是常数，不是字母；带分数系数要化为假分数；系数 1 省略 1。 ⓸ 次数：所有字母的指数之和。非零常数的次数为 0；数字 0 是单项式，无确定次数。 多项式【必背】 ⓵ 几个单项式的和，叫作多项式。 ⓶ 项：多项式中的每个单项式；项要包含前面的正负号。 ⓷ 常数项：不含字母的项。 ⓸ 次数：取次数最高项的次数，不要累加各项的次数。 整式【必背】 ⓵ 单项式和多项式统称整式。 ⓶ 分母含有字母的代数式不是整式。 ⓷ 包含关系： 代数式 重点辨析 ⓵ 是整式；不是整式。 ⓶ -a 的系数是 -1；2r 的系数是2，次数是 1；不参与次数计算。 ⓷ 多项式 x2-2x+5 的项是 x2,-2x, 5，负号是项的一部分。 ⓸ 含等号、不等号的式子不是代数式，自然不是整式。 1. 把等式、不等式当成代数式。 2. 书写出错：数字写在字母后面、使用除号、带分数直接乘字母、带单位不加括号。 3. 相同字母相乘不写成幂的形式。 4. 同一个字母在一题中表示不同的量。 5. 把分母含字母的式子当作整式。 6. 找系数时漏掉负号，忽略系数1。 7. 将当作字母，计算次数。 8. 混淆 0 和非零常数的次数规定。 9. 找多项式的项时，丢掉前面的正负号。 10. 把多项式各项次数相加，当作多项式的次数。 11. 混淆“和的平方”与“平方的和”，漏写括号。 12. 分不清“增加了”“增加到”，列错代数式。 13. 探究规律时，找不准变化关系，代数式书写错误。 题型 考察方向 难度 题型一 用字母表示数 ★ 题型二 列代数式 ★★ 题型三 用代数式表示数、图形的规律 ★★★★ 题型四 代数式的概念 ★★ 题型五 代数式书写方法 ★★★★ 题型六 代数式表示的实际意义 ★★★ 题型七 已知字母的值，求代数式的值 ★★ 题型八 已知式子的值，求代数式的值 ★★★★ 题型九 程序流程图与代数式求值 ★★★ 题型十 单项式的判断 ★★ 题型十一 单项式的系数、次数 ★★★★ 题型十二 单项式规律题 ★★★★★ 题型十三 多项式的判断 ★★ 题型十四 多项式的项、项数或次数 ★★★★ 题型十五 整式的判断 ★★★★★ 题型十六 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 ★★★ 题型十七 整式的判断 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★易错★★★★★压轴 题型一：用字母表示数 解题思路：① 找出题目中的未知量，用一个字母表示。② 圈出“多、少、倍、一半”等关键词，分清谁是基准量。③ 依据数量关系写出式子。④ 注意：同一道题中，一个字母只能表示一个量。 1．用表示的数一定是（   ） A．负数 B．正数或负数 C．0或负数 D．以上全不对 【答案】D 【分析】本题主要考查用字母可以表示数，既可以是正数，也可以是负数和0，带有负号的数不一定就是负数． 【详解】解：A、当为非正数时，则表示的数是非负数，故此选项不符合题意； B、当时，，即此时表示的数既不是负数，也不是正数，故此选项不符合题意； C、当时，，即此时表示正数，故此选项不符合题意； 综上所述，表示的数可以是负数，正数或0． 故选D． 2．下列几组量中，不成反比例的是(  ) A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数 【答案】B 【分析】本题考查了反比例的辨析，根据工作效率工作时间工作总量，可对选项A进行判断；根据被减数差减数，可对选项B进行判断；根据平行四边形的底高面积，可对选项C进行判断；根据一批煤的总吨数每月烧的吨数烧的月数，可对选项D进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于选项A，∵工作效率工作时间工作总量， ∴当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例，故选项A不符合题意； 对于选项B，∵被减数差减数， ∴当减数一定时，被减数和差不成比例，故选项B符合题意； 对于选项C，∵平行四边形的底高面积， ∴当面积一定时，平行四边形的底和高成反比例；故选项C不符合题意； 对于选项D，∵一批煤的总吨数每月烧的吨数烧的月数， ∴食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数成反比例，故选项D不符合题意． 故选：B． 3．小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 【答案】A 【分析】设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，则，化简可得，据此即可得出答案． 【详解】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：， 整理得：， 即小明心里想的那个两位数是78， 故选：A． 【点睛】本题考查了用字母表示数，正确列出等式是解题关键． 题型二：列代数式 解题思路：① 圈出和、差、积、商、倍、分、增加、减少等关键词。② 不要直接按文字顺序列式，判断是否需要先算加减。③ 需要优先计算加减时，一定要加括号。④ 对照书写规范检查格式。⑤ 代入一个简单数字验证，检验式子是否符合题意。 4．比 的 倍小 的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倍为，比小的数为． 5．小花家造房子，买进水泥m吨，预计每天用0.8吨，用了n天，余下多少吨．算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用买进水泥的数量减去用掉的数量即为余下的数量． 【详解】解：已用水泥吨数为吨，余下水泥吨数为吨． 6．有一根弹簧原长10cm，挂重物后，它的长度会增加，请根据下面表格中的一些数据填空： 所挂重物质量 1 2 3 … n 弹簧伸长量 0.5 1.0 1.5 … 弹簧总长度 10.5 11 11.5 … 【答案】 弹簧伸长量为，弹簧总长度为 【分析】根据已知数据找伸长量和所挂重物质量的规律，再结合原长计算总长度． 【详解】解：观察表格已知数据，挂 重物时，伸长量为 ， 即， 挂 重物时，总长度为 ，可得伸长量为， 挂 g重物时，伸长量为 ，即， 由此可得规律：挂 重物时，弹簧伸长量为， ∵弹簧总长度 = 弹簧原长 + 弹簧伸长量， ∴弹簧总长度为． 7．有一块长为，宽为的长方形铝片，四个角上各剪去一个边长为的相同的正方形后，折成一个无盖的盒子，则此盒子的容积的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列代数式，解题关键是确定折成无盖长方体盒子后，盒子的长、宽、高，再利用长方体容积公式推导表达式． 【详解】解：∵原长方形铝片长为，四个角各剪去一个边长为的正方形， ∴折成盒子后，盒子的长为，同理可得盒子的宽为，盒子的高为， ∵长方体容积公式为， ∴，故选D． 题型三：用代数式表示数、图形的规律 解题思路：① 算出前 3–4 组结果，标记序号 n=1,2,3,4。② 计算相邻两项的差：差不变，多为一次规律；差依次变化，多为二次规律。③ 图形题：数出每组图形的数量，转化成数字序列。④ 尝试写出含有 n 的代数式。⑤ 将 n=1,2,3 代入式子验算，验证是否匹配。 8．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析代数式的系数和的次数，各自找到通项规律后再合并，得到第个代数式． 【详解】解：∵这几个代数式的系数分别为，，，，， ∴第个代数式的系数为， ∵这几个代数式的次数分别为，，，，， ∴第个代数式的次数为， ∴第个代数式是． 9．如图，这是一组有规律的图案，由若干个大小相同的圆和等边三角形组成，第1个图案有3个圆，第2个图案有5个圆，第3个图案有7个圆……依此规律第个图案有__________个圆．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】先列举出前3个图案中圆的个数，然后再归纳规律即可解答． 【详解】解：∵第1个图案中有3个圆，可以表示为， 第2个图案中有5个圆，可以表示为， 第3个图案中有7个圆，可以表示为， ……， ∴第n个图案中有个圆． 10．如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，…按照此规律排列下去，则第个图形中等边三角形的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据前几个图形中等边三角形个数，得到变化规律为：第个图形中有个等边三角形，当时，计算即可求解． 【详解】解：第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 当时， 有个等边三角形． 题型四：代数式的概念 解题思路：① 检查式子的组成，只能包含数、字母和加、减、乘、除、乘方运算。② 只要含有 =、<、>、、、，就不是代数式。③ 记住特例：单独一个数、单独一个字母都是代数式。④ 等式、不等式直接排除。 11．下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.，是数与字母经过运算得到的式子，是代数式．故A项不符合题意． B.，单独一个字母属于代数式，是代数式．故B项不符合题意． C.，式子中含有等号，是等式，不是代数式．故项符合题意． D.，单独一个数属于代数式，是代数式．故D项不符合题意． 12．下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有______．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了代数式的，用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，据此进行判断即可求解，掌握代数式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 13．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案． 【详解】解：A. 表示2和相乘，故本选项错误，不符合题意； B. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； C. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； D. 的值随的增大而增大，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的知识，理解代数式的意义是解题关键． 题型五：代数式书写方法 解题思路：① 数字与字母相乘：数字写在前，省略乘号。② 字母与字母相乘：省略乘号；相同字母相乘写成乘方。③ 数字之间相乘：乘号不能省略。④ 除法运算：写成分数形式，不要使用除号  ÷ 。⑤ 带分数要先化成假分数，再与字母相乘。⑥ 系数为 1 或 -1 时，省略数字 1。⑦ 含有加减的式子后面带单位，要给整个式子加上括号。 14．下列代数式中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的规范书写要求，解决本题的关键是熟练掌握代数式的规范书写． 代数式的规范书写要求包括数字系数的写法、除法的表示等，由此判断选项即可． 【详解】解：代数式书写要求数字系数省略1，避免带分数，除法用分数形式， 选项A中的1不应写出，不符合； 选项B中是带分数形式，应化为假分数，不符合； 选项C中使用除号，应写成分数形式，不符合； 选项D中符合规范． 故选：D． 15．下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式的书写要求： 1、书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面； 2、带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数； 3、乘号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的乘号通常简写成点，或省略不写；但数字与数字之间的乘号既不能写成点，也不能省略不写； 4、除号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式； 5、带单位的代数式书写要求：用加号或减号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位；据此即可一一判定． 【详解】解：A.正确的书写为或，故该选项不符合要求； B.正确的书写为或，故该选项不符合要求； C.符合代数式的书写要求，故该选项符合要求； D.正确的书写为，故该选项不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的书写要求，熟练掌握和运用代数式的书写要求是解决本题的关键． 16．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：． 题型六：代数式表示的实际意义 解题思路：① 分清式子的运算顺序，先乘除、后加减。② 给字母赋予合理的现实含义，例如单价、数量、路程。③ 用简洁的语言描述整体运算关系。④ 答案不唯一，描述符合生活常识即可。 17．代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举一个例子说明：___________． 【答案】钢笔每支元，用100元买2支钢笔，应找回元．（答案不唯一） 【分析】本题考查用代数式表示实际问题的数量关系；代数式表示从100中减去2倍的，因此适用于涉及总价和付款找零的场景 【详解】解：钢笔每支元，用100元买2支钢笔，应找回元． 18．代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. 19．某市为吸引人才，为优秀青年学者优惠提供一套住房，其平面图如图所示，则该户型的面积_______________．（用含x、y的代数式表示）    【答案】 【分析】整个长方形的面积减去卫生间和厨房交界处的室外小长方形的面积，即可求解． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 【点睛】本题考查了列代数式，根据图形找出面积的求法是解题的关键． 题型七：已知字母的值，求代数式的值 解题思路：① 将式子中的字母全部替换成给定数值。② 负数或分数进行乘方、乘法运算时，必须加上括号。③ 严格按照运算顺序计算：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。④ 分步计算，不要跳步，减少计算失误。 20．当，时，代数式________． 【答案】 【分析】将，代入中，计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 21．若m的相反数是4，则的结果是（     ） A．5 B． C．13 D． 【答案】A 【详解】解：∵的相反数是4， ∴， ∴． 22．已知，，且，则的值为_________． 【答案】或 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加法运算，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据绝对值的性质求出a和b的可能值，再结合条件筛选出满足条件的组合，最后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， 当，时， 成立， 此时； 当，时， 成立， 此时． 故的值为或， 故答案为：或． 23．多项式，当时，该多项式的值为65，则当时，它的值是（   ） A．72 B． C．79 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是掌握代入数值的特点，发现前后式子的联系，整体代入解决问题． 利用多项式在时的值，求出，然后代入得到，进而整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，当时，， ∴， ∴当时， ． 故选：D． 题型八：已知式子的值，求代数式的值 解题思路：① 不要强行解出每个字母的值。② 对比已知式和目标式，寻找倍数、和差关系。③ 通过整体乘除、加减常数，凑出和已知式相同的部分。④ 使用整体代入法求值。⑤ 最后检验结果。 24．若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴． 25．代数式的值为7，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】由已知条件可得的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ． 26．若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、代数式求值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由绝对值的定义可得，然后分四种情况求值验证各选项即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，，即A选项不符合题意； 当时，，即B选项不符合题意； 当时，，即C选项不符合题意； 当时，，即D选项符合题意． 故选D． 题型九：程序流程图与代数式求值 解题思路：① 根据流程图写出每一步对应的代数式。② 从输入值开始，依次计算。③ 判断分支条件是否成立。④ 满足条件就输出结果；不满足，把当前结果作为新输入，再次运算。⑤ 警惕循环运算，不要重复使用初始数值。 27．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的求值和有理数的计算，根据题目给出的程序运算图找出输出结果的规律是解决本题的关键． 根据运算程序，第一次运算结果为125，第二次运算结果为25，第三次运算结果为5，第四次运算结果为1，…发现规律从第三次开始每两次为一个循环，再根据题目所给625的次运算即可得出答案． 【详解】解：第一次运算结果为：； 第二次运算结果为：； 第三次运算结果为：； 第四次运算结果为：； 第五次运算结果为：； 第六次运算结果为：； … 由此可得出运算结果从第三次开始为和循环，奇数次运算结果为，偶数次运算结果为，因为为奇数，所以运算结果为， 故选B． 28．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 【答案】 【分析】先分别将、代入、求得m、n的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵、， ∴，， ∴． 29．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查规律探究，根据程序逐次运算，找准规律是解决问题的关键．按照题中运算程序逐次运算，找准规律为每6个循环，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：第一次：，为偶数，则； 第二次：，为偶数，则； 第三次：，为奇数，则； 第四次：，为偶数，则； 第五次：，为偶数，则； 第六次：，为奇数，则； 第七次：，为偶数，则； 第八次：，为奇数，则； 第九次：，为偶数，则； 第十次：，为偶数，则； 第十一次：，为偶数，则； 第十二次：，为奇数，则； 第十三次：，为偶数，则； 第十四次：，为奇数，则； 综上所述，程序运算满足规律是：每6个循环， ， 则第2025次输出的结果是， 故选：B． 题型十：单项式的判断 解题思路：① 单项式是数与字母的乘积。② 式子里含有加减号，就不是单项式。③ 分母含有字母，一定不是单项式。④ 特例：单独一个数、单独一个字母是单项式。⑤ 是常数，不是字母 30．下列选项中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的核心特征：无加减运算、分母无变量．根据单项式的定义（仅由数字与字母的乘积构成，或单独的数字或字母，且分母中不含变量），选项A和D为多项式，选项B分母含变量，均不符合；选项C可化为常数与字母的乘积形式，符合定义． 【详解】∵单项式需满足：①数字与字母的乘积；②单独的数字或字母；③分母中不含变量． A．是二项式，含加法运算，不符合； B．分母含变量，不符合； C．，是常数与字母的乘积，符合； D．是二项式，含减法运算，不符合． ∴选项C是单项式． 故选：C． 31．下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子，或单独的一个数或字母．分别检查各选项中的代数式是否符合定义． 【详解】解：∵单项式是数或字母的积，或单独的数或字母； 选项A中，含有减法，不是单项式； 选项B中，是常数与字母的积，为单项式；是单项式；是单项式； 选项C中，分母有字母，是分式，不是单项式； 选项D中，含有加法，不是单项式； ∴全是单项式的一组是B． 故选B 32．在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据单项式的定义解决此题 【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式）， ∴单项式有，共3个 故选：C. 【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键 题型十一：单项式的系数、次数 解题思路：① 找系数：提取全部数字因数，不要丢掉正负号。② 属于系数的一部分。③ 找次数：把所有字母的指数相加。④ 是常数，不计入次数。⑤ 非零常数的次数是 0。⑥ 注意：指数是相加，不是相乘。 33．单项式的次数为___________． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，计算单项式中所有字母的指数和即可得到结果.注意是常数. 【详解】解：单项式中 π 是常数，不是字母，字母的指数为，字母的指数为， 因此该单项式的次数为 . 34．足球是世界上公认的第一大运动，其形状可抽象为球体，设足球的半径为r，则足球的体积为，关于，下列说法正确的是（    ） A．系数为 B．次数为4 C．它与足球表面积是同类项 D．常用足球的半径为，其体积为 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数、次数定义，同类项概念及球体体积计算，需依据相关概念逐一分析选项． 【详解】∵单项式的系数是单项式中的数字因数，的系数为， ∴A选项错误； ∵单项式的次数是所有字母的指数和，此单项式中仅字母r的指数为3， ∴次数为3，B选项错误； ∵同类项要求所含字母相同且相同字母的指数也相同，与中r的指数分别为3和2，不相等， ∴二者不是同类项，C选项错误； ∵将代入体积公式，得， ∴D选项正确． 故选：D． 35．下列说法正确的是（　　） A．不是整式 B．的次数是3 C．是三次三项式 D．的系数是 【答案】C 【分析】本题考查了整式、次数、多项式和系数的概念，需根据定义逐一判断，即可求解． 【详解】解：∵ 整式是分母中不含字母的代数式，选项A中分母为数字2和6，故是整式，A错误； ∵ 单项式的次数是所有字母指数之和，选项B中的r指数为2（为常数），故次数为2，B错误； ∵ 多项式项数由单项式个数决定，次数由最高次项决定，选项C中有三项，且次数为3，故是三次三项式，C正确； ∵ 单项式的系数是数字因数，选项D中的系数为，不是，D错误． 故选：C． 题型十二：单项式规律题 解题思路：① 将单项式拆成三部分：符号、系数的绝对值、字母及指数。② 分别找出三部分各自的变化规律。③ 合并三部分，写出第 n 项。④ 符号交替常用 (-1)n 或 (-1)n+1。⑤ 用前几项代入验证通项。 36．以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆分单项式的系数与字母部分，分别寻找规律． 【详解】解：第1个单项式的系数为； 第2个单项式的系数为； 第3个单项式的系数为； 第4个单项式的系数为； ∴ 第个单项式的系数为， 又∵ 所有单项式的字母部分均为， ∴ 第个单项式为． 37．按规律排列的单项式：x，，，，，…，则第8个单项式是______． 【答案】 【分析】观察给出的单项式，分别归纳符号、系数的绝对值、的次数与项数之间的规律，再根据规律推导得到第8个单项式即可． 【详解】解：观察，，，，，…，可得规律如下： 第个单项式中，当为奇数时符号为正，当为偶数时符号为负，系数的绝对值为，的次数为， 因为为偶数，所以第8个单项式的符号为负，系数绝对值为，的次数为，因此第8个单项式是． 38．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 题型十三：多项式的判断 解题思路：① 多项式是多个单项式的和。② 不含加减运算，就只是单项式。③ 分母含有字母，一定不是多项式。④ 尝试拆分式子，确认每一项都是单项式。 39．下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键；根据多项式的定义，多项式是几个单项式的和，由此可排除选项． 【详解】解：∵多项式是由多个单项式相加而成的代数式； 选项A：是单项式； 选项B：是单项式； 选项C：5是常数，属于单项式； 选项D：是由单项式a和常数3相加而成的多项式； 故选D． 40．在式子，，，，，，中，多项式有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的识别，根据多项式是几个单项式的和一一判断即可． 【详解】解：是两个单项式的和，是多项式；是常数，为单项式，不是多项式；是两个单项式的和，是多项式；是常数，为单项式，不是多项式；可化为，是两个单项式的和，是多项式；分母含有字母，不是整式，因此不是多项式；是单项式，不是多项式． 所以多项式有、、，共3个． 故选：C． 41．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】多项式是几个单项式和的形式． 【详解】解：多项式有：、共2个 故选：B． 【点睛】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和． 题型十四：多项式的项、项数或次数 解题思路：① 找项：正负号是项的一部分，不能丢弃。② 项数：数出单项式的个数。③ 多项式的次数：找到次数最高的项，该项的次数就是多项式的次数。④ 不要把所有项的次数相加。⑤ 常数项是不含字母的项。 42．多项式的常数项是__________． 【答案】 【分析】根据常数项是不含字母的项求解即可． 【详解】解：多项式的常数项是． 43．对于多项式，下列结论中正确的是（　　） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 【答案】C 【分析】本题考查多项式的基本概念，根据多项式的项数，次数，系数，常数项的定义，逐一判断选项即可。 【详解】解：对于多项式 它共有项，分别为 ，， 计算各项次数： 的次数为 ， 的次数为 因此该多项式是四次三项式， 故A选项“六次三项式”错误， B选项“三次三项式”错误; 最高次项为，系数是 该多项式的常数项是，不是； 44．若关于x的多项式：与的和是一个二次三项式，则_______． 【答案】4或2 【分析】本题考查了多项式的次数、项数概念及分类讨论思想，解题关键是根据“和为二次三项式”的条件，分情况讨论消去三次项的方式． 根据“和为二次三项式”的条件，分情况讨论、的值，进而求解． 【详解】 情况一：通过“系数为”消去三次项， 因为和是二次三项式， 所以三次项必须不存在，即三次项系数；同时，为保证最高次数是， 所以的次数得是或，即或． 把，代入，得． 把， 代入，得    ． 情况二：通过“同类项抵消”消去三次项 若，则和式中为，此时要消去三次项， ∴，即． ∵和为三项式， ∴一次项系数（即），此时和式为，是二次三项式． 把，代入，得． 综上，或． 故答案为：4或2． 45．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【分析】本题考查多项式与单项式的基本概念，包括多项式的次数，项数定义，单项式的系数，次数定义，根据概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、多项式的最高次项次数为2，共3项，是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； B、是单项式与的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意； C、单项式的数字因数为，因此系数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、∵单项式中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为，∴该单项式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意． 题型十五：多项式系数、指数中字母求值 解题思路：① 把文字条件转化成数学要求：几次几项式、是否缺项等。② “不含某一项”等价于该项的系数为 0。③ “最高次数为某数”等价于最高次项的指数等于该数。④ 根据条件列出方程。⑤ 解方程求出参数。⑥ 将参数代回原式验证条件。 46．多项式是关于x的四次三项式，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查多项式，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式次数和项数的定义，最高次项次数为4，且第二项系数不为零，求解m的值． 【详解】解：∵多项式 是关于的四次三项式， ∴，且， 由，得， 由，得， ∴． 故答案为： 4． 47．若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式的定义，绝对值的应用．根据二次三项式的定义，多项式最高次项为二次，且必须有三项．因此，，且一次项系数据此计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴最高次项的次数为2，即， ∴或． 又∵多项式有三项， ∴一次项的系数． 当时，，多项式为，符合条件； 当时，，一次项消去，多项式为，是二次二项式，不符合条件． ∴． 故答案为：2． 48．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 【详解】解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 题型十六：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 解题思路：① 确定用来排序的字母。② 升幂排列：该字母的指数从小到大。③ 降幂排列：该字母的指数从大到小。④ 移动项时，必须连同前面的正负号一起移动。⑤ 常数项看作该字母的指数是 0。 49．把多项式按的升幂排列后，则它的第四项为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的升幂排列，把多项式升幂排列就是把多项式的项按照某个字母的次数从小到大的顺序排列，把多项式按的升幂排列，然后再找到第四项即可． 【详解】解：把多项式按的升幂排列，得到：， 它的第四项为． 故选：D ． 50．把多项式，按的降幂排列为_______________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，把多项式按的降幂排列就是把多项式中的单项式按的指数从高到低排列． 【详解】解：把多项式，按的降幂排列， 可得：． 故答案为：． 51．多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【详解】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 题型十七：整式的判断 解题思路：① 整式只包含单项式和多项式。② 分母含有字母，不是整式。③ 根号内含有字母，不是整式。④ 所有整式都是代数式，但代数式不一定是整式。 52．下列代数式不是整式的是（     ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的概念，整式为单项式和多项式的统称，单项式是只有一个项的整式，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． 判断一个代数式是否为整式，关键看分母是否含有字母，如果分母含有字母则不是整式．据此逐选项判断即可． 【详解】解：A、，其分母含有字母x，根据整式的定义，它不是整式． B、是由单项式与单项式组成的多项式，属于整式． C数字8是单独的一个数，属于单项式，所以是整式． D、是整式， 故选：A． 53．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的识别，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：根据整式的定义可知，整式有①②③⑤，共4个， 故选：C． 54．在代数式，，，，，，中，整式有(    ) A．3个 B．1个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据整式包括单项式和多项式进行解答即可．单项式就是数与字母的乘积，以及单独的数与单独的字母都是单项式，几个单项式的和叫做多项式． 【详解】解：代数式，，，，，，中， 整式有：，，，，，共5个， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的定义，熟记定义是解本题的关键． 解答题 1．用字母表示数，可以简洁明了地表达数量之间的关系，从而更有利于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①与的差的平方； ②与两数平方和与，两数积的2倍的差． (2)当，时，求第（1）题中①②所列的代数式的值． (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？ (4)利用你发现的结论：求的值． 【答案】(1)①；② (2)； (3) (4) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值： （1）根据a、b的关系分别列式即可； （2）把a、b的值代入代数式进行计算即可得解； （3）根据计算结果相等写出等式； （4）利用（3）的等式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①依题意得：； ②依题意得：． （2）当时， ； ． （3）． （4） 2．有一串代数式：，，，，…，，，…． (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律； (2)写出第2011个代数式； (3)写出第n个，第个代数式． 【答案】(1)这组单项式的系数的绝对值、x的次数均为从1开始的连续正整数，且奇数项系数为负，偶数项系数为正． (2)． (3)第个代数式为，第个代数式为． 【分析】（1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 【答案】(1)小时 (2)小时，小时 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的等量关系来列代数式进行解答． （1）根据路程、速度和时间三个量之间具有关系：时间路程速度，用代数式表示出汽车从甲地到乙地需要行驶的时间； （2）早到的时间原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时间，用代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（小时）， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时． （2）解：（小时）， 小时， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时，汽车加快速度后可以早到小时． 4．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 5．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．下面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图（1）的输出结果、图（2）的运算过程． 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 图（2）的输出 【答案】解：填表如下 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 12 24 图（2）的输出 9 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 【分析】根据程序流程图，代入字母的值进行计算即可. 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表略． 6．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查多项式的定义和有理数的乘方运算，理解题目中的特殊值法是解题关键． （1）代入x的值，计算即可； （2）观察式子可知，每一项的系数均为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可； （3）观察式子可知，当的为奇数时，系数为，为偶数时，系数为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07代数式精讲学案 核心立意： 本节是从算术思维过渡到代数思维的起点。会用字母表示数、运算律、公式和变化规律；掌握代数式的概念与书写标准；能将数量关系、图形规律转化为代数式；理解单项式、多项式、整式的定义；会确定单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数；理清各类式子的包含关系，规避概念陷阱，为整式加减、一元一次方程的学习做好铺垫。 代数式的定义【必背】 ⓵ 用加、减、乘、除、乘方把数和字母连接而成的式子，叫作代数式。 ⓶ 单独一个数或一个字母，也是代数式。 ⓷ 代数式不含等号、不等号。等式、不等式不是代数式。 ⓸ 同一个问题中，同一个字母只能表示同一个量；不同的量要用不同的字母。 代数式的书写规范【必背，硬性扣分点】 ⓵ 数字与字母相乘，数字在前，省略乘号。 例：3a 3a，不可写为 a3。 ⓶ 字母相乘，省略乘号；相同字母相乘写成幂的形式。 例：a aa2。 ⓷ 数字与数字相乘，乘号不能省略。 ⓸ 除法写成分数形式，不使用除号。 例：a2 。 ⓹ 带分数与字母相乘，先化为假分数。 例：1aa。 ⓺ 含加减的代数式后面带单位时，整体加括号。 例：(2a+3)}米，不可写为 2a+3 米。 ⓻ 系数为 1 或 -1 时，省略数字 1。 例：1aa，-1a-a。 列代数式【必背，核心能力】 ⓵ 可用字母表示运算律、公式、数量关系、图形与数列规律。 ⓶ 抓住关键词：和、差、积、商、倍、分、平方、立方。 ⓷ 注意运算顺序：区分 a-b 与 b-a；区分 (a+b)2（和的平方）与 a2+b2（平方的和）。 ⓸ 区分描述：增加到为原数的 n 倍；增加了为原数的 (n+1) 倍。 ⓹ 观察图形、数列的变化模式，写出通用代数式。 单项式【必背】 ⓵ 数与字母的积组成的代数式，叫作单项式。单独一个数、一个字母也是单项式。 ⓶ 单项式不含加减运算；分母中不能含有字母。 ⓷ 系数：单项式的数字因数。是常数，不是字母；带分数系数要化为假分数；系数 1 省略 1。 ⓸ 次数：所有字母的指数之和。非零常数的次数为 0；数字 0 是单项式，无确定次数。 多项式【必背】 ⓵ 几个单项式的和，叫作多项式。 ⓶ 项：多项式中的每个单项式；项要包含前面的正负号。 ⓷ 常数项：不含字母的项。 ⓸ 次数：取次数最高项的次数，不要累加各项的次数。 整式【必背】 ⓵ 单项式和多项式统称整式。 ⓶ 分母含有字母的代数式不是整式。 ⓷ 包含关系： 代数式 重点辨析 ⓵ 是整式；不是整式。 ⓶ -a 的系数是 -1；2r 的系数是2，次数是 1；不参与次数计算。 ⓷ 多项式 x2-2x+5 的项是 x2,-2x, 5，负号是项的一部分。 ⓸ 含等号、不等号的式子不是代数式，自然不是整式。 1. 把等式、不等式当成代数式。 2. 书写出错：数字写在字母后面、使用除号、带分数直接乘字母、带单位不加括号。 3. 相同字母相乘不写成幂的形式。 4. 同一个字母在一题中表示不同的量。 5. 把分母含字母的式子当作整式。 6. 找系数时漏掉负号，忽略系数1。 7. 将当作字母，计算次数。 8. 混淆 0 和非零常数的次数规定。 9. 找多项式的项时，丢掉前面的正负号。 10. 把多项式各项次数相加，当作多项式的次数。 11. 混淆“和的平方”与“平方的和”，漏写括号。 12. 分不清“增加了”“增加到”，列错代数式。 13. 探究规律时，找不准变化关系，代数式书写错误。 题型 考察方向 难度 题型一 用字母表示数 ★ 题型二 列代数式 ★★ 题型三 用代数式表示数、图形的规律 ★★★★ 题型四 代数式的概念 ★★ 题型五 代数式书写方法 ★★★★ 题型六 代数式表示的实际意义 ★★★ 题型七 已知字母的值，求代数式的值 ★★ 题型八 已知式子的值，求代数式的值 ★★★★ 题型九 程序流程图与代数式求值 ★★★ 题型十 单项式的判断 ★★ 题型十一 单项式的系数、次数 ★★★★ 题型十二 单项式规律题 ★★★★★ 题型十三 多项式的判断 ★★ 题型十四 多项式的项、项数或次数 ★★★★ 题型十五 整式的判断 ★★★★★ 题型十六 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 ★★★ 题型十七 整式的判断 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★易错★★★★★压轴 题型一：用字母表示数 解题思路：① 找出题目中的未知量，用一个字母表示。② 圈出“多、少、倍、一半”等关键词，分清谁是基准量。③ 依据数量关系写出式子。④ 注意：同一道题中，一个字母只能表示一个量。 1．用表示的数一定是（   ） A．负数 B．正数或负数 C．0或负数 D．以上全不对 2．下列几组量中，不成反比例的是(  ) A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数 3．小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 题型二：列代数式 解题思路：① 圈出和、差、积、商、倍、分、增加、减少等关键词。② 不要直接按文字顺序列式，判断是否需要先算加减。③ 需要优先计算加减时，一定要加括号。④ 对照书写规范检查格式。⑤ 代入一个简单数字验证，检验式子是否符合题意。 4．比 的 倍小 的数是（    ） A． B． C． D． 5．小花家造房子，买进水泥m吨，预计每天用0.8吨，用了n天，余下多少吨．算式是（     ） A． B． C． D． 6．有一根弹簧原长10cm，挂重物后，它的长度会增加，请根据下面表格中的一些数据填空： 所挂重物质量 1 2 3 … n 弹簧伸长量 0.5 1.0 1.5 … 弹簧总长度 10.5 11 11.5 … 7．有一块长为，宽为的长方形铝片，四个角上各剪去一个边长为的相同的正方形后，折成一个无盖的盒子，则此盒子的容积的表达式是（   ） A． B． C． D． 题型三：用代数式表示数、图形的规律 解题思路：① 算出前 3–4 组结果，标记序号 n=1,2,3,4。② 计算相邻两项的差：差不变，多为一次规律；差依次变化，多为二次规律。③ 图形题：数出每组图形的数量，转化成数字序列。④ 尝试写出含有 n 的代数式。⑤ 将 n=1,2,3 代入式子验算，验证是否匹配。 8．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 9．如图，这是一组有规律的图案，由若干个大小相同的圆和等边三角形组成，第1个图案有3个圆，第2个图案有5个圆，第3个图案有7个圆……依此规律第个图案有__________个圆．（用含的代数式表示） 10．如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，…按照此规律排列下去，则第个图形中等边三角形的个数是（     ） A． B． C． D． 题型四：代数式的概念 解题思路：① 检查式子的组成，只能包含数、字母和加、减、乘、除、乘方运算。② 只要含有 =、<、>、、、，就不是代数式。③ 记住特例：单独一个数、单独一个字母都是代数式。④ 等式、不等式直接排除。 11．下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 12．下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有______．（请填写序号） 13．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 题型五：代数式书写方法 解题思路：① 数字与字母相乘：数字写在前，省略乘号。② 字母与字母相乘：省略乘号；相同字母相乘写成乘方。③ 数字之间相乘：乘号不能省略。④ 除法运算：写成分数形式，不要使用除号  ÷ 。⑤ 带分数要先化成假分数，再与字母相乘。⑥ 系数为 1 或 -1 时，省略数字 1。⑦ 含有加减的式子后面带单位，要给整个式子加上括号。 14．下列代数式中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 15．下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 16．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六：代数式表示的实际意义 解题思路：① 分清式子的运算顺序，先乘除、后加减。② 给字母赋予合理的现实含义，例如单价、数量、路程。③ 用简洁的语言描述整体运算关系。④ 答案不唯一，描述符合生活常识即可。 17．代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举一个例子说明：___________． 18．代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 19．某市为吸引人才，为优秀青年学者优惠提供一套住房，其平面图如图所示，则该户型的面积_______________．（用含x、y的代数式表示）    题型七：已知字母的值，求代数式的值 解题思路：① 将式子中的字母全部替换成给定数值。② 负数或分数进行乘方、乘法运算时，必须加上括号。③ 严格按照运算顺序计算：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。④ 分步计算，不要跳步，减少计算失误。 20．当，时，代数式________． 21．若m的相反数是4，则的结果是（     ） A．5 B． C．13 D． 22．已知，，且，则的值为_________． 23．多项式，当时，该多项式的值为65，则当时，它的值是（   ） A．72 B． C．79 D． 题型八：已知式子的值，求代数式的值 解题思路：① 不要强行解出每个字母的值。② 对比已知式和目标式，寻找倍数、和差关系。③ 通过整体乘除、加减常数，凑出和已知式相同的部分。④ 使用整体代入法求值。⑤ 最后检验结果。 24．若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 25．代数式的值为7，则代数式的值为______． 26．若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 题型九：程序流程图与代数式求值 解题思路：① 根据流程图写出每一步对应的代数式。② 从输入值开始，依次计算。③ 判断分支条件是否成立。④ 满足条件就输出结果；不满足，把当前结果作为新输入，再次运算。⑤ 警惕循环运算，不要重复使用初始数值。 27．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 28．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 29．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 题型十：单项式的判断 解题思路：① 单项式是数与字母的乘积。② 式子里含有加减号，就不是单项式。③ 分母含有字母，一定不是单项式。④ 特例：单独一个数、单独一个字母是单项式。⑤ 是常数，不是字母 30．下列选项中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 31．下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 32．在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十一：单项式的系数、次数 解题思路：① 找系数：提取全部数字因数，不要丢掉正负号。② 属于系数的一部分。③ 找次数：把所有字母的指数相加。④ 是常数，不计入次数。⑤ 非零常数的次数是 0。⑥ 注意：指数是相加，不是相乘。 33．单项式的次数为___________． 34．足球是世界上公认的第一大运动，其形状可抽象为球体，设足球的半径为r，则足球的体积为，关于，下列说法正确的是（    ） A．系数为 B．次数为4 C．它与足球表面积是同类项 D．常用足球的半径为，其体积为 35．下列说法正确的是（　　） A．不是整式 B．的次数是3 C．是三次三项式 D．的系数是 题型十二：单项式规律题 解题思路：① 将单项式拆成三部分：符号、系数的绝对值、字母及指数。② 分别找出三部分各自的变化规律。③ 合并三部分，写出第 n 项。④ 符号交替常用 (-1)n 或 (-1)n+1。⑤ 用前几项代入验证通项。 36．以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 37．按规律排列的单项式：x，，，，，…，则第8个单项式是______． 38．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 题型十三：多项式的判断 解题思路：① 多项式是多个单项式的和。② 不含加减运算，就只是单项式。③ 分母含有字母，一定不是多项式。④ 尝试拆分式子，确认每一项都是单项式。 39．下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． 40．在式子，，，，，，中，多项式有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十四：多项式的项、项数或次数 解题思路：① 找项：正负号是项的一部分，不能丢弃。② 项数：数出单项式的个数。③ 多项式的次数：找到次数最高的项，该项的次数就是多项式的次数。④ 不要把所有项的次数相加。⑤ 常数项是不含字母的项。 42．多项式的常数项是__________． 43．对于多项式，下列结论中正确的是（　　） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 44．若关于x的多项式：与的和是一个二次三项式，则_______． 45．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 题型十五：多项式系数、指数中字母求值 解题思路：① 把文字条件转化成数学要求：几次几项式、是否缺项等。② “不含某一项”等价于该项的系数为 0。③ “最高次数为某数”等价于最高次项的指数等于该数。④ 根据条件列出方程。⑤ 解方程求出参数。⑥ 将参数代回原式验证条件。 46．多项式是关于x的四次三项式，则___________． 47．若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 48．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 题型十六：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 解题思路：① 确定用来排序的字母。② 升幂排列：该字母的指数从小到大。③ 降幂排列：该字母的指数从大到小。④ 移动项时，必须连同前面的正负号一起移动。⑤ 常数项看作该字母的指数是 0。 49．把多项式按的升幂排列后，则它的第四项为（    ） A． B．5 C． D． 50．把多项式，按的降幂排列为_______________． 51．多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十七：整式的判断 解题思路：① 整式只包含单项式和多项式。② 分母含有字母，不是整式。③ 根号内含有字母，不是整式。④ 所有整式都是代数式，但代数式不一定是整式。 52．下列代数式不是整式的是（     ） A． B． C．8 D． 53．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 54．在代数式，，，，，，中，整式有(    ) A．3个 B．1个 C．5个 D．6个 解答题 1．用字母表示数，可以简洁明了地表达数量之间的关系，从而更有利于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①与的差的平方； ②与两数平方和与，两数积的2倍的差． (2)当，时，求第（1）题中①②所列的代数式的值． (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？ (4)利用你发现的结论：求的值． 2．有一串代数式：，，，，…，，，…． (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律； (2)写出第2011个代数式； (3)写出第n个，第个代数式． 3．甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 4．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 5．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．下面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图（1）的输出结果、图（2）的运算过程． 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 图（2）的输出 6．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $