专题08整式的加减及探索与表达规律精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦整式的加减及探索与表达规律核心知识点，系统梳理同类项判定、合并同类项、去括号与添括号法则及整式加减运算步骤，搭建从算术思维到符号运算的过渡支架，为后续一元一次方程、函数学习奠定运算基础。 资料通过必背要点、自查提示、易错点总结强化规范运算，12类分层题型（含拔高题）搭配清晰解题思路，引导学生经历观察—猜想—归纳—验证过程，培养符号意识与推理能力，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升数学思维严谨性。

专题08整式的加减及探索与表达规律精讲学案 核心立意 整式的加减是初中代数运算的核心基础，是学生从算术思维过渡到符号运算的关键节点。通过学习同类项的判定、合并同类项、去括号与添括号，学生能够掌握代数式的等价变形，养成规范、严谨的运算习惯。探索与表达规律引导学生经历观察—猜想—归纳—验证的完整探究过程。这两节内容既是一元一次方程、函数等后续知识的运算基础，也是培养学生符号意识与归纳推理能力的重要载体。 同类项【必背】 1 两项所含字母完全相同。 2 相同字母对应的指数完全相等。 3 与系数大小、字母排列顺序无关。 4 所有常数项都是同类项。 自查提示：先核对字母，再逐一核对每个字母的指数，两个条件同时满足，才是同类项。 合并同类项【必背】 1 仅对同类项的系数进行加减运算。 2 式子中的字母、字母的指数保持不变。 3 不是同类项，不能合并。 4 合并后的结果要化为最简，不要随意增加或者去掉括号。 自查提示：合并完成后，检查字母和指数有没有被改动。 去括号【必背·高频易错】 1 括号前为“+”，去掉括号和前面的“+”，括号内各项符号不变。 2 括号前为“-”，去掉括号和前面的“-”，括号内所有项全部变号。 3 括号外有数字因数时，利用乘法分配律，用这个数乘括号内的每一项，不要漏乘。 自查提示：去括号之后，可以反向添括号，检验结果是否和原式一致。 添括号【必背·高频易错】 1 添括号且括号前为“+”，括号内各项符号不变。 2 添括号且括号前为“-”，括号内所有项全部变号。 3 提取公因数添括号时，括号里的每一项都要除以这个公因数。 自查提示：添括号之后，再去掉括号，验证变形是否正确。 整式的加减运算【必背】 1 整式加减的核心步骤：先去括号，再合并同类项。 2 最简整式的标准：没有括号，没有可以继续合并的同类项。 3 化简求值规范：先化简整式，再代入数值计算，不要直接把数值代入原式计算。 4 运算结果一般按照某一个字母的降幂排列。 自查提示：运算结束后，检查一遍，确认没有可以合并的同类项。 探索与表达规律【必背·核心能力】 1 列出前 3–4 组数据，标注序号 n=1,2,3。 2 区分规律类型：等差规律，相邻两项的差固定；倍数规律，后一项是前一项的固定倍数；部分题目需要分奇数、偶数分类讨论。 3 归纳并写出含有 n 的代数式。 4 代入多组数值，验证代数式是否普遍成立。 5 日历中的规律：同一行，相邻两数相差 1；同一列，相邻两数相差 7；33 的九宫格中，九个数的和等于中间数的 9 倍。 自查提示：不能只根据前两组数据确定规律，必须多取几组进行验证。 重点辨析 1 2x2y 与 2xy2 不是同类项，虽然字母相同，但是对应字母的指数不相等。 2 -a-b 的正确变形是 -(a+b)，不要只改变第一项的符号。 3 运用分配律时，系数要乘括号内的每一项，防止漏乘常数项。 4 整式加减的结果仍然是整式。 5 少数例子符合，不能代表规律一定成立，必须用代数式进行一般性验证。 6 去括号与添括号是互逆变形，可以利用其中一种检验另一种。 1. 判断同类项时，只看字母，忽略对应字母的指数。 2. 合并同类项时，错误地改动字母或者指数。 3. 去掉带负号的括号时，只改变第一项的符号，其余各项不变号。 4. 括号外面有系数时，只乘第一项，漏乘其余项。 5. 化简求值时，不先化简，直接代入原式，计算量大，容易出错。 6. 把负数、分数代入乘方或乘法运算时，忘记添加括号。 7. 添括号，括号前是负号时，括号内各项没有全部变号。 8. 提取公因数添括号时，有项没有除以公因数。 9. 探究规律时，选取的数据太少，没有验证就直接写出代数式。 10. 遇到奇偶变化的规律，不知道分类表达。 11. 解决日历问题时，记错行、列上相邻数字的差值。 题型 考察方向 难度 题型一 同类项的判断 ★ 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ★★ 题型三 合并同类项 ★★★ 题型四 去括号 ★★★ 题型五 添括号 ★★★ 题型六 整式的加减运算 ★★★ 题型七 整式的加减中的化简求值 ★★★ 题型八 整式加减中的无关型问题 ★★★★ 题型九 整式加减的应用 ★★ 题型十 带有字母的绝对值化简问题 ★★★★ 题型十一 数字类规律探索 ★★★★ 题型十二 图形类规律探索 ★★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：同类项的判断 解题思路：① 检查两项所含字母是否完全相同；② 检查每个相同字母的指数是否分别相等；③ 以上两个条件必须同时成立才是同类项，与系数大小、字母的排列顺序无关；④ 注意：所有常数项都是同类项。 1．下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 【答案】C 【详解】解：选项A中，与所含字母相同，但相同字母的指数不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项C中，与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，∴是同类项，符合题意； 选项D中，是常数项，含有字母，所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意． 2．下列各组代数式中，是同类项的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，掌握同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是解题的关键． 根据同类项的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．和，x指数分别为2和1，y指数分别为1和2，指数不同，故不是同类项，不符合题意； B．和，和等价，均为x和y的指数1，故是同类项，符合题意； C．即，不是整式，故不是同类项，不符合题意； D．和，整体次数分别为1和2，次数不同，故不是同类项，不符合题意． 故选：B． 3．下列合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查合并同类项，正确判断同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键，根据合并同类项法则解答． 【详解】解：A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故不符合题意； D.，故符合题意； 故选：D． 题型二：已知同类项求指数中字母或代数式的值 解题思路：① 根据同类项的定义，得到对应字母的指数相等；② 依据指数相等列出方程；③ 解方程，求出参数的值；④ 将参数的值代入要求的代数式；⑤ 计算并得到最终结果。 4．如果和是同类项，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项的定义解题． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，， 解得，， ∴． 5．已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 6．已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项相同字母的指数相等列出等式，即可求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 对第一个等式移项得， 故的值为． 7．与合并同类项后结果是，那么______ ． 【答案】 【分析】本题考查的是合并同类项，根据合并同类项的条件，两个单项式的相同字母的指数必须相等，从而列出关于n和m的方程，求解后代入计算． 【详解】解：由于合并同类项后结果为， 因此两个单项式是同类项，即a的指数和b的指数分别相等， ，解得， ，解得， 则， 故答案为：． 题型三：合并同类项 解题思路：① 在多项式中圈出所有的同类项；② 只把同类项的系数进行加减运算；③ 字母以及字母的指数保持原样，不能改动；④ 不是同类项不能合并，直接保留；⑤ 按降幂（或升幂）整理，写出最简多项式。 8．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 9．下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意； C、，计算错误，故C错误，不符合题意； D、，符合合并同类项法则，计算正确，故D正确，符合题意． 10．若总成立，则的值为________． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则得到、、的值，进而代入求解即可． 【详解】解：总成立， ，，， ． 【点睛】本题考查了合并同类项，合并同类项是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 11．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项法则的应用，根据合并同类项的法则把系数相加即可，解题的关键是理解合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变． 【详解】、因为与不是同类项，所以此选项计算错误，不符合题意； 、因为与不是同类项，所以此选项计算错误，不符合题意； 、因为与不是同类项，所以此选项计算错误，不符合题意； 、因为，所以此选项计算正确，符合题意； 故选：． 题型四：去括号 解题思路：① 括号前面是“+”时，去掉括号和“+”，括号内每一项的符号都不变；② 括号前面是“-”时，去掉括号和“-”，括号内每一项都要变号；③ 括号前面有数字因数时，要用乘法分配律把数字乘括号内的每一项，严防漏乘；④ 做完后检查：有没有漏项、有没有忘记变号、有没有漏乘系数。 12．下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】括号前是号，去括号后各项符号不变；括号前是号，去括号后各项符号改变，且括号前的系数要乘括号内每一项． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A 13．计算：______． 【答案】 【分析】先根据去括号法则化简，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．下列各式由等号左边变到右边变形错误的有（   ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据去括号法则逐项判断变形是否正确，统计错误个数即可，用到的去括号法则为，括号前为负号时，去括号后括号内每一项都要变号，括号前有系数时，系数需乘括号内的每一项． 【详解】解：① ∵，与等式右边不相等，∴ ①变形错误； ② ∵，与等式右边不相等，∴ ②变形错误； ③ ∵，与等式右边不相等，∴ ③变形错误； ④ ∵，与等式右边相等，∴ ④变形正确； 综上，错误的变形共有3个． 题型五：添括号 解题思路：① 如果在前面添“+”，放入括号里的各项符号保持不变；② 如果在前面添“-”，放入括号里的每一项都必须变号；③ 添括号之后，可以用去括号反向验算，检查是否正确。 15．下列各式中，添括号不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了去括号法则：括号前是正号时，括号内各项符号不变；括号前是负号时，括号内各项符号改变，正确掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则对四个选项逐一进行分析即可，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则． 【详解】解：选项A：右边，与左边相等，正确故不符合题意； 选项B：右边，与左边相等，正确故不符合题意； 选项C：右边，但左边是，不相等，错误故符合题意； 选项D：第一个等号右边，与左边相等；第二个等号右边，与左边相等，正确故不符合题意； 故选：C． 16．如果，那么代数式的值是_________． 【答案】8 【分析】将代数式变形为后将代入即可． 【详解】解： ， =8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了代数式求值，添括号，能正确对代数式进行变形是解题关键． 17．不改变代数式的值，下列添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据添加括号法则分析判断即可． 【详解】解：根据添括号法则，可得 ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意，而C选项错误，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了添加括号法则，理解并掌握添加括号法则是解题关键． 题型六：整式的加减运算 解题思路：① 观察整个式子，找出所有括号；② 严格按照去括号法则去掉括号；③ 标记出式子中全部的同类项；④ 逐项合并同类项；⑤ 按照字母降幂顺序整理，写成最简整式。 18．化简：______． 【答案】 【详解】解：原式， ， ． 19．计算的结果等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是整式的加减法，去括号时，括号前面是负号，括号里面的符号要变号，掌握去括号的规则是解决本题的关键． 【详解】． 20．若，则_________ 【答案】 【分析】先从已知等式整理得到的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 把代入上式得： 原式． 21．对于若干个整式，“绝对运算”的定义为：先任意选择两个整式求和，再分别减去剩下的整式．例如：对于x，，2这三个整式的一种“绝对运算”结果为：．根据此定义，判断以下说法的正确性； ①对，，进行“绝对运算”的结果可能是0； ②对，，进行“绝对运算”的结果为，则的最大值是7； ③对，，，进行“绝对运算”，化简后有6种不同结果． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，根据“绝对运算”的定义，对于三个整式，选择两个求和后减去第三个；对于四个整式，选择两个求和后减去另外两个整式，计算所有可能结果并化简，判断各说法的正确性． 【详解】解：①设，，， ∵， ∴ 结果可能为0，正确． ②设，，， 绝对运算有三种结果： 结果1： ， 结果2：， 结果3：． 令各结果等于， 当， ∴，， 解得：，， ∴， 当， ∴，， 解得：，， ∴， 当， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ 的最大值为7，正确． ③设，，，， ∴， ， ， ， ， ． 化简后有5种不同结果：、、0、、， ∴ 说法错误． 综上，正确个数为2． 故选：C 题型七：整式的加减中的化简求值 解题思路：① 千万不要直接把数代入原式计算；② 有括号先去括号；③ 合并同类项，把整式化为最简形式；④ 将已知数值代入化简后的式子；⑤ 如果代入的是负数或分数，一定要加上括号；⑥ 根据四则运算顺序，算出结果。 22．已知，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简与计算，解决本题的关键是将所求化简为与已知条件相关的表达式． 将已知条件与所求表达式关联，通过整体代入求解即可． 【详解】解：由已知，， 则 ， ． 故答案为：． 23．若规定符号的意义是：，当时，的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算及代数式整体代入求值，关键是准确理解行列式的运算规则，将所求行列式展开为含、的代数式，再结合已知条件进行整体代入计算． 【详解】解：根据题意，； ， ，即； 将代入得：； 故答案为：． 24．定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算的理解和应用，以及整体代入思想．根据新运算“”的定义，将转化为常规的代数运算，再结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， ， 原式， 故选：． 25．已知代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，涉及到合并同类项知识点，注意运算过程中符号的变化．代数式的值与某字母无关，则该字母项的系数之和为0． 根据代数式的值与无关，可得项和项的系数均为0，从而求出和的值，再代入所求代数式计算． 【详解】解：， ∵此代数式的值与字母无关， ∴，； 解得，； ， 当，时，原式， 故选B． 题型八：整式加减中的无关型问题 解题思路：① 先去掉整式里所有的括号；② 合并同类项，化成最简形式；③ 理解核心结论：整式的值与某个字母无关，等价于这个字母的系数等于 0；④ 令该字母的系数等于 0，列出方程；⑤ 解方程求出参数；⑥ 把参数代入所求代数式，算出答案。 26．已知，．当的值与x无关时，的值为（   ） A．6.5 B． C． D．5.5 【答案】C 【分析】此题考查了整式加减中的无关型问题．， 本题先代入计算的表达式并合并同类项，再根据“多项式的值与无关则含的项的系数为0”的性质求出、的值，最后计算即可．。 【详解】解：∵， ∴ 去括号得： 合并同类项得： ∵的值与无关 ∴含的项的系数为0，即 解得：， ∴ 故选：C 27．已知，为整式，且，．若的计算结果不含的一次项，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，多项式的项与系数，一元一次方程的求解，掌握去括号和合并同类项的法则是解题关键． 计算与的和，合并同类项后，令一次项系数为零求解． 【详解】解：， 由于计算结果不含的一次项， 则一次项系数，解得． 故答案为：． 28．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 29．如果整式A与整式B的差为整数a，我们称A，B为a的“和睦整式”，例如：与为1的“和睦整式”；与为3的“和睦整式”．若关于x的整式与为n的“和睦整式”，则的值为________． 【答案】49 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是关键．根据“和睦整式”的定义，两个整式的差为常数n，因此合并后x的二次项和一次项系数必须为零，从而求出m和k的值，再代入求n，最后计算代数式的值． 【详解】解： ， ∵与为n的“和睦整式”， ∴，，， ∴，，， ∴ 故答案为：49． 题型九：整式加减的应用 解题思路：① 认真读题，圈出题中的已知量和未知量；② 用含字母的整式分别表示每一个量；③ 根据题目里的“和、差、多、少”等关键词，列出整式加减算式；④ 去括号、合并同类项，化简算式；⑤ 根据问题算出结果；⑥ 检验结果是否符合题目的实际情景。 30．一个长方形的周长为，若其中一边长为，则与其相邻的另一边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，理解长方形周长公式及整式的加减运算，利用周长公式推导出长与宽的和是解题关键，根据周长的计算列式，运用整式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴长+宽， ∵其中一边长为， ∴另一边长为， 故选：C． 31．2026年4月23日是第31个世界读书日．为响应“共促全民阅读，共建书香社会”的号召，小文、小明、小志、小远四人组成读书小组，各自准备相等数量的书籍（假定每人书籍数量足够多），相互分享阅读．某一天，他们有以下对话： 小文：我要送3本书给小远； 小明：我要送5本书给小远； 小志：我要送给小远书籍的数量是你们俩剩余书籍数量总和的一半； 小远：谢谢三位好朋友！ 请问，此时小志手中还有_____________本书籍． 【答案】4 【分析】设四人最初每人拥有的书籍数量为，根据题目条件依次表示出小文、小明送书后的剩余书籍数量，得到小志送出的书籍数量，再计算小志剩余的书籍数量，消去参数即可得到结果． 【详解】解：设四人最初每人有本书籍，根据题意，小文送出3本书后剩余书籍数量为，小明送出5本书后剩余书籍数量为． 小文与小明剩余书籍的总和为：， 小志送出的书籍数量为两人剩余总和的一半，即， 因此小志剩余书籍数量为：． 32．如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（     ） ①小长方形的较长边为 ；②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；③阴影和阴影的周长之和与值无关． A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长，即可判断①； ②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和，即可判断②； ③利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和，即可判断③； 结合图形逐一分析说法的正误是解题的关键． 【详解】解：其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为， ①小长方形的较长边为 ，说法正确； ②阴影的较短边为：， 阴影的较短边为：， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为：， 故②说法错误； ③阴影的周长为：， 阴影的周长为：， 阴影和阴影的周长之和为：， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法正确； 综上所述，说法中正确的是①③． 题型十：带有字母的绝对值化简问题 解题思路：① 根据数轴、不等式或者其他条件，判断绝对值里面代数式是正数还是负数；② 如果内部为非负数，去掉绝对值后等于它本身；如果内部是负数，去掉绝对值后等于它的相反数；③ 去掉绝对值之后，注意添上括号；④ 按法则去括号；⑤ 合并同类项，得到最简结果。 33．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的性质，先根据a、b位置判断出的符号，再根据绝对值的性质化简即可得答案． 【详解】解：根据数轴可得：， 则． 故选：A． 34．如图，数轴上的三个点分别表示有理数，化简_____． 【答案】 【分析】根据数轴所示三个点所在位置，可得，进而得到，根据绝对值的运算法则化简后即可得到答案. 【详解】解：由题中数轴所示，可得， ∴， ∴原式． 35．已知整数且满足，则符合条件的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了化简绝对值，根据进行分类讨论，再结合是整数进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴当时，则， ∴， 解得， ∵是整数， ∴舍去； ∴当时，则， ∵是整数， ∴； ∴当时，则， ∴， 解得， ∵是整数， ∴舍去； 综上：； ∴符合条件的整数a有3个 故选：C 36．已知为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是______． 【答案】 【分析】将按照每一段的取值范围进行分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：（1）当时， ，不是常数； （2）当时， ，不是常数； 同理可得： （3）当时，原式，不是常数； （4）当时，原式，不是常数； （5）当时，原式，不是常数； （6）当时，原式，不是常数； （7）当时，原式，不是常数； （8）当时，原式，不是常数； （9）当时，原式，不是常数； （10）当时，原式，不是常数； （11）当时，原式，是常数； （12）当时，原式，不是常数； （13）当时，原式，不是常数； （14）当时，原式，不是常数； （15）当时，原式，不是常数； （16）当时，原式，不是常数． 故答案为：． 题型十一：数字类规律探索 解题思路：① 先算出、写出前几组已知的数；② 观察相邻数字的差、倍数、平方等运算关系；③ 尝试写出一个关于正整数 n的代数式；④ 把至少两组 n 的值代入代数式验证；⑤ 如果全部符合，这个式子就是规律；如果不符合，重新观察。 37．观察下列计算结果： 通过分析结果中个位数字的变化规律，判断的计算结果的个位数字是（     ） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先观察已知结果中个位数字的变化，找出循环周期，再通过计算指数除以周期得到余数，根据余数确定目标结果的个位数字． 【详解】解：由已知计算结果，提取的个位数字依次为： 当时，个位为； 当时，个位为； 当时，个位为； 当时，个位为； 当时，个位为； … ∴个位数字按1，7，7，5循环，周期为， ∵，余数为， ∴的个位数字对应循环中第个数字，即． 38．观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 【答案】 【分析】分别从符号、分子、分母三个方向寻找排列规律，先改写为分数形式，再归纳得到第个数的表达式． 【详解】解：按序号整理给出的数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ 可归纳出规律： 符号规律：第个数的符号为，奇数项为负，偶数项为正； 分子规律：分子为连续奇数，等于； 分母规律：分母为序号的平方加，等于； ∴ 这组数的第个数是． 39．按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将数列中各分数的分子统一为4，观察分母的变化规律． 【详解】解：把数列中各分数的分子统一为4，得，，，，．观察可得分母依次增加3． ∴第个数的分母为． 即第个数为． 当时，． 40．下表是一个改造的三阶幻方，表中已经给出3个数．请在空格中填入适当的数，使得每行、每列以及对角线上各数之和都等于27，则用这9个数可以构造出不同幻方的种数是________种． 10 13 12 【答案】8 【分析】先求出基础幻方，再通过基础幻方的旋转和翻转得到不同的幻方，即可． 【详解】解：如下表： a b 10 13 c d e f 12 根据题意得：， ， ， ，， ， 所以基础幻方为 6 11 10 13 9 5 8 7 12 顺时针旋转得到： 8 13 6 7 9 11 12 5 10 顺时针旋转得到： 12 7 8 5 9 13 10 11 6 顺时针旋转得到： 10 5 12 11 9 7 6 13 8 水平翻转（左右对称）得到： 10 11 6 5 9 13 12 7 8 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 12 5 10 7 9 11 8 13 6 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 8 7 12 13 9 5 6 11 10 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 6 13 8 11 9 7 10 5 12 所以用这9个数可以构造出不同幻方的种数是8种． 题型十二：图形类规律探索 解题思路：① 数出前3～4个图形对应的数量；② 把图形对应的数量写成一列数字；③ 观察这列数字的变化，找出每次增加多少；④ 猜想一个含有正整数 n 的代数式；⑤ 把多个图形序号代入代数式进行验证；⑥ 确认式子可以解释图形的构造，写出规律。 41．晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“”的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知：第1个图中所贴剪纸“”的个数为5个， 第2个图中所贴剪纸“”的个数为个， 第3个图中所贴剪纸“”的个数为个， …..； ∴第n个图中所贴剪纸“”的个数为个， ∴第8个图中所贴剪纸“”的个数为个． 42．观察如图所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有______个． 【答案】6067 【详解】解：观察可知，后一个图形比前一个图形多3个， ∴第个图形有个， ∴第2022个图形中共有个. 43．如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察图形中“▪”的个数，归纳出第幅图形中“▪”的个数的通项公式为，然后利用裂项相消法进行求和计算即可求解． 【详解】解：依题意，，，，，…∴ ∴ ． 解答题 1．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．已知关于x，y的多项式A与多项式B的和为，其中． (1)求多项式B； (2)若关于a，b的单项式与为同类项，求此时的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减运算，同类项的定义，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则求出的结果即可得到答案； （2）根据同类项的定义求出x、y的值，再根据整式的加减运算法则求出的结果，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵关于x，y的多项式A与多项式B的和为，其中 ∴ ； （2）解：∵关于a，b的单项式与为同类项， ∴，， ∴ ∴ ， 当，时，． 3．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． 4．设，其中．对于满足的来说，的最小值是多少？ 【答案】 的最小值是 【分析】根据的取值范围去掉绝对值符号，化简的表达式后结合的范围求最小值． 【详解】解： ∵，， ∴，，， ∴ ， ∵，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最小值，最小值为． 5．完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【答案】(1)解：由图可得，图1由1个小圆圈组成，图2由4个小圆圈组成，图3由9个小圆圈组成，图4由16个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； 还可以发现图1由1个小圆圈组成，图2由个小圆圈组成，图3由个小圆圈组成，图4由个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； (2) (3)(n为正整数） 【分析】（1）根据图形的变化寻找规律进行求解即可； （2）由（1）求解即可； （3）由（1）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：(n为正整数）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08整式的加减及探索与表达规律精讲学案 核心立意 整式的加减是初中代数运算的核心基础，是学生从算术思维过渡到符号运算的关键节点。通过学习同类项的判定、合并同类项、去括号与添括号，学生能够掌握代数式的等价变形，养成规范、严谨的运算习惯。探索与表达规律引导学生经历观察—猜想—归纳—验证的完整探究过程。这两节内容既是一元一次方程、函数等后续知识的运算基础，也是培养学生符号意识与归纳推理能力的重要载体。 同类项【必背】 1 两项所含字母完全相同。 2 相同字母对应的指数完全相等。 3 与系数大小、字母排列顺序无关。 4 所有常数项都是同类项。 自查提示：先核对字母，再逐一核对每个字母的指数，两个条件同时满足，才是同类项。 合并同类项【必背】 1 仅对同类项的系数进行加减运算。 2 式子中的字母、字母的指数保持不变。 3 不是同类项，不能合并。 4 合并后的结果要化为最简，不要随意增加或者去掉括号。 自查提示：合并完成后，检查字母和指数有没有被改动。 去括号【必背·高频易错】 1 括号前为“+”，去掉括号和前面的“+”，括号内各项符号不变。 2 括号前为“-”，去掉括号和前面的“-”，括号内所有项全部变号。 3 括号外有数字因数时，利用乘法分配律，用这个数乘括号内的每一项，不要漏乘。 自查提示：去括号之后，可以反向添括号，检验结果是否和原式一致。 添括号【必背·高频易错】 1 添括号且括号前为“+”，括号内各项符号不变。 2 添括号且括号前为“-”，括号内所有项全部变号。 3 提取公因数添括号时，括号里的每一项都要除以这个公因数。 自查提示：添括号之后，再去掉括号，验证变形是否正确。 整式的加减运算【必背】 1 整式加减的核心步骤：先去括号，再合并同类项。 2 最简整式的标准：没有括号，没有可以继续合并的同类项。 3 化简求值规范：先化简整式，再代入数值计算，不要直接把数值代入原式计算。 4 运算结果一般按照某一个字母的降幂排列。 自查提示：运算结束后，检查一遍，确认没有可以合并的同类项。 探索与表达规律【必背·核心能力】 1 列出前 3–4 组数据，标注序号 n=1,2,3。 2 区分规律类型：等差规律，相邻两项的差固定；倍数规律，后一项是前一项的固定倍数；部分题目需要分奇数、偶数分类讨论。 3 归纳并写出含有 n 的代数式。 4 代入多组数值，验证代数式是否普遍成立。 5 日历中的规律：同一行，相邻两数相差 1；同一列，相邻两数相差 7；33 的九宫格中，九个数的和等于中间数的 9 倍。 自查提示：不能只根据前两组数据确定规律，必须多取几组进行验证。 重点辨析 1 2x2y 与 2xy2 不是同类项，虽然字母相同，但是对应字母的指数不相等。 2 -a-b 的正确变形是 -(a+b)，不要只改变第一项的符号。 3 运用分配律时，系数要乘括号内的每一项，防止漏乘常数项。 4 整式加减的结果仍然是整式。 5 少数例子符合，不能代表规律一定成立，必须用代数式进行一般性验证。 6 去括号与添括号是互逆变形，可以利用其中一种检验另一种。 1. 判断同类项时，只看字母，忽略对应字母的指数。 2. 合并同类项时，错误地改动字母或者指数。 3. 去掉带负号的括号时，只改变第一项的符号，其余各项不变号。 4. 括号外面有系数时，只乘第一项，漏乘其余项。 5. 化简求值时，不先化简，直接代入原式，计算量大，容易出错。 6. 把负数、分数代入乘方或乘法运算时，忘记添加括号。 7. 添括号，括号前是负号时，括号内各项没有全部变号。 8. 提取公因数添括号时，有项没有除以公因数。 9. 探究规律时，选取的数据太少，没有验证就直接写出代数式。 10. 遇到奇偶变化的规律，不知道分类表达。 11. 解决日历问题时，记错行、列上相邻数字的差值。 题型 考察方向 难度 题型一 同类项的判断 ★ 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ★★ 题型三 合并同类项 ★★★ 题型四 去括号 ★★★ 题型五 添括号 ★★★ 题型六 整式的加减运算 ★★★ 题型七 整式的加减中的化简求值 ★★★ 题型八 整式加减中的无关型问题 ★★★★ 题型九 整式加减的应用 ★★ 题型十 带有字母的绝对值化简问题 ★★★★ 题型十一 数字类规律探索 ★★★★ 题型十二 图形类规律探索 ★★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：同类项的判断 解题思路：① 检查两项所含字母是否完全相同；② 检查每个相同字母的指数是否分别相等；③ 以上两个条件必须同时成立才是同类项，与系数大小、字母的排列顺序无关；④ 注意：所有常数项都是同类项。 1．下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 2．下列各组代数式中，是同类项的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：已知同类项求指数中字母或代数式的值 解题思路：① 根据同类项的定义，得到对应字母的指数相等；② 依据指数相等列出方程；③ 解方程，求出参数的值；④ 将参数的值代入要求的代数式；⑤ 计算并得到最终结果。 4．如果和是同类项，则（     ） A． B． C． D． 5．已知单项式与的和为单项式，则________． 6．已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 7．与合并同类项后结果是，那么______ ． 题型三：合并同类项 解题思路：① 在多项式中圈出所有的同类项；② 只把同类项的系数进行加减运算；③ 字母以及字母的指数保持原样，不能改动；④ 不是同类项不能合并，直接保留；⑤ 按降幂（或升幂）整理，写出最简多项式。 8．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 9．下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若总成立，则的值为________． 11．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：去括号 解题思路：① 括号前面是“+”时，去掉括号和“+”，括号内每一项的符号都不变；② 括号前面是“-”时，去掉括号和“-”，括号内每一项都要变号；③ 括号前面有数字因数时，要用乘法分配律把数字乘括号内的每一项，严防漏乘；④ 做完后检查：有没有漏项、有没有忘记变号、有没有漏乘系数。 12．下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 13．计算：______． 14．下列各式由等号左边变到右边变形错误的有（   ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：添括号 解题思路：① 如果在前面添“+”，放入括号里的各项符号保持不变；② 如果在前面添“-”，放入括号里的每一项都必须变号；③ 添括号之后，可以用去括号反向验算，检查是否正确。 15．下列各式中，添括号不正确的是（   ） A． B． C． D． 16．如果，那么代数式的值是_________． 17．不改变代数式的值，下列添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 题型六：整式的加减运算 解题思路：① 观察整个式子，找出所有括号；② 严格按照去括号法则去掉括号；③ 标记出式子中全部的同类项；④ 逐项合并同类项；⑤ 按照字母降幂顺序整理，写成最简整式。 18．化简：______． 19．计算的结果等于__________． 20．若，则_________ 21．对于若干个整式，“绝对运算”的定义为：先任意选择两个整式求和，再分别减去剩下的整式．例如：对于x，，2这三个整式的一种“绝对运算”结果为：．根据此定义，判断以下说法的正确性； ①对，，进行“绝对运算”的结果可能是0； ②对，，进行“绝对运算”的结果为，则的最大值是7； ③对，，，进行“绝对运算”，化简后有6种不同结果． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型七：整式的加减中的化简求值 解题思路：① 千万不要直接把数代入原式计算；② 有括号先去括号；③ 合并同类项，把整式化为最简形式；④ 将已知数值代入化简后的式子；⑤ 如果代入的是负数或分数，一定要加上括号；⑥ 根据四则运算顺序，算出结果。 22．已知，，则________． 23．若规定符号的意义是：，当时，的值为___________． 24．定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 25．已知代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 题型八：整式加减中的无关型问题 解题思路：① 先去掉整式里所有的括号；② 合并同类项，化成最简形式；③ 理解核心结论：整式的值与某个字母无关，等价于这个字母的系数等于 0；④ 令该字母的系数等于 0，列出方程；⑤ 解方程求出参数；⑥ 把参数代入所求代数式，算出答案。 26．已知，．当的值与x无关时，的值为（   ） A．6.5 B． C． D．5.5 27．已知，为整式，且，．若的计算结果不含的一次项，则的值是_____． 28．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 29．如果整式A与整式B的差为整数a，我们称A，B为a的“和睦整式”，例如：与为1的“和睦整式”；与为3的“和睦整式”．若关于x的整式与为n的“和睦整式”，则的值为________． 题型九：整式加减的应用 解题思路：① 认真读题，圈出题中的已知量和未知量；② 用含字母的整式分别表示每一个量；③ 根据题目里的“和、差、多、少”等关键词，列出整式加减算式；④ 去括号、合并同类项，化简算式；⑤ 根据问题算出结果；⑥ 检验结果是否符合题目的实际情景。 30．一个长方形的周长为，若其中一边长为，则与其相邻的另一边长为（    ） A． B． C． D． 31．2026年4月23日是第31个世界读书日．为响应“共促全民阅读，共建书香社会”的号召，小文、小明、小志、小远四人组成读书小组，各自准备相等数量的书籍（假定每人书籍数量足够多），相互分享阅读．某一天，他们有以下对话： 小文：我要送3本书给小远； 小明：我要送5本书给小远； 小志：我要送给小远书籍的数量是你们俩剩余书籍数量总和的一半； 小远：谢谢三位好朋友！ 请问，此时小志手中还有_____________本书籍． 32．如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（     ） ①小长方形的较长边为 ；②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；③阴影和阴影的周长之和与值无关． A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 题型十：带有字母的绝对值化简问题 解题思路：① 根据数轴、不等式或者其他条件，判断绝对值里面代数式是正数还是负数；② 如果内部为非负数，去掉绝对值后等于它本身；如果内部是负数，去掉绝对值后等于它的相反数；③ 去掉绝对值之后，注意添上括号；④ 按法则去括号；⑤ 合并同类项，得到最简结果。 33．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则等于（   ） A． B． C． D． 34．如图，数轴上的三个点分别表示有理数，化简_____． 35．已知整数且满足，则符合条件的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．已知为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是______． 题型十一：数字类规律探索 解题思路：① 先算出、写出前几组已知的数；② 观察相邻数字的差、倍数、平方等运算关系；③ 尝试写出一个关于正整数 n的代数式；④ 把至少两组 n 的值代入代数式验证；⑤ 如果全部符合，这个式子就是规律；如果不符合，重新观察。 37．观察下列计算结果： 通过分析结果中个位数字的变化规律，判断的计算结果的个位数字是（     ） A．1 B．5 C．7 D．9 38．观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 39．按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（    ） A． B． C． D． 40．下表是一个改造的三阶幻方，表中已经给出3个数．请在空格中填入适当的数，使得每行、每列以及对角线上各数之和都等于27，则用这9个数可以构造出不同幻方的种数是________种． 10 13 12 题型十二：图形类规律探索 解题思路：① 数出前3～4个图形对应的数量；② 把图形对应的数量写成一列数字；③ 观察这列数字的变化，找出每次增加多少；④ 猜想一个含有正整数 n 的代数式；⑤ 把多个图形序号代入代数式进行验证；⑥ 确认式子可以解释图形的构造，写出规律。 41．晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“”的个数为（     ） A． B． C． D． 42．观察如图所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有______个． 43．如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 解答题 1．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．已知关于x，y的多项式A与多项式B的和为，其中． (1)求多项式B； (2)若关于a，b的单项式与为同类项，求此时的值． 3．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 4．设，其中．对于满足的来说，的最小值是多少？ 5．完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $