解析几何中的对称问题及其应用 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义以解析几何对称问题为核心，通过分类梳理构建知识体系，将两点对称、直线对称、曲线对称等内容按“概念-结论-应用”逻辑递进，用结论表格系统呈现点、线、曲线关于点或直线对称的公式，清晰展现重难点及内在联系。 讲义亮点在于应用导向的例题设计，如光线反射问题（例5）、线段最值问题（例6），结合教材真题（2020年版选修第一册题目），培养数学思维与应用意识。巩固训练分层设置，基础题夯实方法，综合题提升能力，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

高中数学精选专题-解析几何 解析几何中的对称问题及其应用 湖北天门 薛德斌 一、对称问题 1．两点，关于点中心对称，则，，，． 注：为线段的中点． 2．直线：关于点的对称直线方程为 ：． 注：，且直线上任意点关于点的对称点在直线上． 例1．求直线关于点的对称直线方程． 【答案】 解法一：（平行＋取点）所求直线与直线平行， 设所求直线方程为， ∵直线上的点关于点的对称点在所求直线上， ∴，，∴所求直线方程为． 解法二：（轨迹方程）设点是所求直线上任意一点， 则点关于点的对称点在直线上， ∴，即， ∴所求直线方程为． 3．求点关于直线：的对称点： 由方程组（）， 解得， 即点的坐标为． 注：直线垂直平分线段． 例2．求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】 解法一：（列方程组）设点关于直线的对称点为， 则，解得， ∴点关于直线的对称点的坐标为． 解法二：（先求垂足）过点与直线垂直的直线为， 两直线的交点为， 点关于点的对称点即为所求． 4．（1）直线：关于直线：对称直线方程为 ：． （2）求直线关于直线对称的直线的方程： ①求直线与的交点； ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点； ③求直线的方程，即为直线的方程． 例3．求直线：关于直线：对称的直线的方程． 【答案】 解法一：由得两直线的交点， 在直线上取一点，设关于直线的对称点为， 则，解得， ∴，，∴直线的方程为． 解法二：（轨迹方程）设点是直线上任意一点， 则点在直线：上， ∴，， ∴直线的方程为． 二、结论 1．点关于点的对称点为． 2．直线关于点的对称直线为． 3．点关于轴的对称点为． 点关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为． 4．直线关于轴的对称直线为． 直线关于轴的对称直线为． 直线关于直线的对称直线为． 直线关于直线的对称直线为． 直线关于直线的对称直线为． 直线关于直线的对称直线为． 直线关于直线的对称直线为． 直线关于直线的对称直线为． 5．曲线关于点的对称曲线方程为． 曲线关于轴的对称直线方程为． 曲线关于轴的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 例4．【2020年版高中数学选修第一册（A版）P102复习参考题2T1（3）】与直线 关于轴对称的直线的方程为____________． 【答案】 解法一：直线与轴的交点为，斜率为， ∴所求直线经过点，斜率为， ∴所求直线的方程为． 解法二：（轨迹方程）设点是所求直线上任意一点， 则点在直线上， ∴，， ∴所求直线的方程为． 三、应用 1．光线反射问题： 入射光线与反射光线所在直线关于镜面轴对称； 入射光线上任一点关于镜面的对称点在反射光线所在直线上； 反射光线上任一点关于镜面的对称点在入射光线所在直线上． 例5．一束光线从点发出，被直线反射，反射光线过点，则入射光线所在直线的方程为____________． 【答案】 解：点关于直线的对称点在入射光线所在直线上， ，∴入射光线所在直线的方程为． 2．线段长度和差的最值问题 已知两点，，为动点． 则，当且仅当点在线段上时等号成立； ，当且仅当点在线段的延长线（包括点）上时等号成立； ，当且仅当点在线段的延长线（包括点）上时等号成立． 作对称点的目的是为了使等号成立的点能够取到． 例6．【2020年版高中数学选修第一册（A版）P103复习参考题2T12】已知直线：和，两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标． 【答案】 解：点关于直线对称的点，：， 点为直线与直线的交点，∴． 3．角平分线问题：角的两边所在直线关于角平分线所在直线轴对称． 例7．中，，，的平分线所在的直线分别是：，：，求点的坐标． 【答案】 解：点关于直线，的对称点，在直线上， ∴：，联立，得． 巩固训练 1．求直线关于点的对称直线方程． 【答案】 解法一：（平行＋取点）所求直线与直线平行， 设所求直线方程为， ∵直线上的点关于点的对称点在所求直线上， ∴， ∴所求直线方程为． 解法二：（轨迹方程）设点是所求直线上任意一点， 则点关于点的对称点在直线上， ∴，即， ∴所求直线方程为． 2．求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】 解法一：（列方程组）设点关于直线的对称点为， 则，解得， ∴点关于直线的对称点的坐标为． 解法二：（先求垂足） 过点与直线垂直的直线为， 两直线的交点为， 点关于点的对称点即为所求． 3．【2020年版高中数学选修第一册（A版）P103复习参考题2T15】求与圆： 关于直线对称的圆的方程． 【答案】． 【详解】，半径长． 设所求圆的方程是， 则，解得， ∴所求圆的方程是． 4．求直线：关于直线：对称的直线的方程． 【答案】 解法一：由得两直线的交点， 在直线上取一点，设关于直线的对称点为， 则，解得， ∴，，所求直线的方程为． 5．【2020年版高中数学选修第一册（A版）P103复习参考题2T19】一条光线从点射出，经轴反射后，与圆：相切，求反射光线所在直线的方程． 【答案】或 解：点关于轴的对称点为， 设反射光线的斜率为，则反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切， 则圆心到反射光线的距离，即，解得或， 则反射光线所在直线的方程或． 6．已知两点，，从点射出的光线经线段反射后，再射到线段 上，反射光线又回到点，这个过程中光线所经过的路程是______． 【答案】 解：：， 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， ∴光线所经过的路程是． 7．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为　　　　． 【答案】 【详解】∵点关于直线BC：x＋y＝2对称的点为A1(2，4)，. 又点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2对称的点为E1(－2，1)， 点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2对称的点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在， ∴，即直线的斜率的取值范围为． 8．（多项选择题）已知点，，为轴上一动点，为直线上一动点，则（    ） A．的最小值为10 B．的最小值为 C．的最小值为12 D．的最大值为2 【答案】ABD 【详解】对于A，设点关于轴的对称点为，可得， 如图（1）所示，连接交轴于点，此时， 又由，此时取得最小值，A正确；    对于B，的最小值为，B正确； 对于C，由点，且为轴上一动点，为直线上一动点， 可得点到轴的距离为，点到的距离为， 可得的最小值为，C不正确； 对于D，设点关于轴的对称点为，且， 可得，解得，即，可得， 如图（2）所示，连接，并延长交于点， 此时，可得的最大值为，D正确．    9．的最小值是______． 【答案】 解：设，，是直线：上的动点， ，在直线同侧． 设点关于直线的对称点为， 则，解得，∴ ∴，即的最小值是． 注：点关于直线的对称点为． 10．已知点，，，，是线段上一点，是线段上一点，则周长的最小值是______． 【答案】 解：：， 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， ∴周长， ∴周长的最小值是． 11．已知，点在直线上，点在圆C：上，则的最小值是　　　　. 【答案】 【详解】圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，作圆C关于直线x＋y＋2＝0对称的圆C′， 易得C′(－3，－4)．半径R＝，要求|PA|＋|PQ|的最小值，只需求|PA|＋|PC|－R的最小值，由|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|≤|AC′| 可得|PA|＋|PQ|的最小值为|AC′|－R＝－＝2. 12．已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为______． A． B． C． D． 【答案】4 【详解】，，，点在直线上， 点关于直线的对称点， ∴. 13．棱长为2的正方体中，为棱的中点，点为正方形内（含边界）的动点，点为线段上的动点，则的周长的最小值为______． A． B． C． D． 【答案】 解法一：分别作点E关于平面和直线的对称点和， . 解法二：过点P作的垂线，垂足为，则， 则的周长， 当P与重合时等号成立，即P在上， 作点关于的对称点分别为，则 ∵，当四点共线时等号成立， ∴的周长. 14．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）设点B的坐标为则中点M的坐标为， 依题意可知，点B在直线上，点M在直线上， 则有解得，即点B的坐标为． （2）点关于直线的对称点在直线上， 设点，则有，解得，即点， 直线的斜率为，所以直线：， 即直线的方程为． 15．已知点，，． （1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求的值； （2）一束光线从点出发，经反射后，再经反射到轴上的点，最后再经轴反射，设反射光线所在直线为，证明：直线经过定点． 【答案】（1）；（2）直线经过定点． 【分析】（1）结合图形分析可得直线的斜率大于直线PA的斜率，由此可得直线只能与BC、AB相交，设其与BC的交点为Q点，与x轴的交点为R，根据题设条件得到比例关系，列方程求b； （2）设，结合光线反射的性质求出直线ED的斜率，由此可得直线l的方程，进而可得定点坐标. 【详解】（1），直线BC的方程为， 直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点， 由，得，， 直线与x轴交点为，， 由，即，化简得， 又，∴，，而，∴． （2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：， 设关于直线AC的对称点为， 则，解得， 同理可得关于直线BC的对称点为， 则在直线ED上，∴， ∴的斜率为，方程为，即， 令，得，∴直线经过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学精选专题-解析几何 解析几何中的对称问题及其应用 湖北天门 薛德斌 一、对称问题 1．两点，关于点中心对称，则_______，_______， _______，_______． 注：为线段的中点． 2．直线：关于点的中心对称直线方程为：______________． 注：，且直线上任意点关于点的对称点在直线上． 例1．求直线关于点的对称直线方程． 3．求点关于直线：的对称点： 由方程组（）， 解得， 即点的坐标为． 注：直线垂直平分线段． 例2．求点关于直线的对称点的坐标． 4．（1）直线：关于直线：对称直线方程为 ：． （2）求直线关于直线对称的直线的方程： ①求直线与的交点； ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点； ③求直线的方程，即为直线的方程． 例3．求直线：关于直线：对称的直线的方程． 二、结论 1．点关于点的对称点为_______． 2．直线关于点的对称直线为_______． 3．点关于轴的对称点为_______． 点关于轴的对称点为_______． 点关于直线的对称点为_______． 点关于直线的对称点为_______． 点关于直线的对称点为_______． 点关于直线的对称点为_______． 点关于直线的对称点为_______． 点关于直线的对称点为_______． 4．直线关于轴的对称直线为______________． 直线关于轴的对称直线为______________． 直线关于直线的对称直线为______________． 直线关于直线的对称直线为______________． 直线关于直线的对称直线为． 直线关于直线的对称直线为． 直线关于直线的对称直线为． 直线关于直线的对称直线为． 5．曲线关于点的对称曲线方程为． 曲线关于轴的对称直线方程为． 曲线关于轴的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 曲线关于直线的对称直线方程为． 例4．【2020年版高中数学选修第一册（A版）P102复习参考题2T1（3）】与直线 关于轴对称的直线的方程为____________． 三、应用 1．光线反射问题： 入射光线与反射光线所在直线关于镜面轴对称； 入射光线上任一点关于镜面的对称点在反射光线所在直线上； 反射光线上任一点关于镜面的对称点在入射光线所在直线上． 例5．一束光线从点发出，被直线反射，反射光线过点，则入射光线所在直线的方程为____________． 2．线段长度和差的最值问题 已知两点，，为动点． 则，当且仅当点在线段上时等号成立； ，当且仅当点在线段的延长线（包括点）上时等号成立； ，当且仅当点在线段的延长线（包括点）上时等号成立． 作对称点的目的是为了使等号成立的点能够取到． 例6．【2020年版高中数学选修第一册（A版）P103复习参考题2T12】已知直线：和，两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标． 3．角平分线问题：角的两边所在直线关于角平分线所在直线轴对称． 例7．中，，，的平分线所在的直线分别是：，：，求点的坐标． 巩固训练 1．求直线关于点的对称直线方程． 2．求点关于直线的对称点的坐标． 3．【2020年版高中数学选修第一册（A版）P103复习参考题2T15】求与圆： 关于直线对称的圆的方程． 4．求直线：关于直线：对称的直线的方程． 5．【2020年版高中数学选修第一册（A版）P103复习参考题2T19】一条光线从点射出，经轴反射后，与圆：相切，求反射光线所在直线的方程． 6．已知两点，，从点射出的光线经线段反射后，再射到线段 上，反射光线又回到点，这个过程中光线所经过的路程是______． 7．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为　　　　． 8．（多项选择题）已知点，，为轴上一动点，为直线上一动点，则（    ） A．的最小值为10 B．的最小值为 C．的最小值为12 D．的最大值为2 9．的最小值是______． 10．已知点，，，，是线段上一点，是线段上一点，则周长的最小值是______． 11．已知，点在直线上，点在圆C：上，则的最小值是　　　　. 12．已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为______． 13．棱长为2的正方体中，为棱的中点，点为正方形内（含边界）的动点，点为线段上的动点，则的周长的最小值为______． 14．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 15．已知点，，． （1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求的值； （2）一束光线从点出发，经反射后，再经反射到轴上的点，最后再经轴反射，设反射光线所在直线为，证明：直线经过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $