3.3.1 抛物线及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦高二选择性必修一“抛物线及其标准方程”，系统讲解定义、四种标准方程、焦点准线关系及焦半径公式，通过情境创设（如抛物线形拱桥）导入，衔接椭圆、双曲线知识，构建“定义-方程-性质-应用”学习支架，含思维导图梳理知识。 其亮点是分层训练（基础到拔高）、数形结合（例题图形分析）和实际应用（中国天眼、喷灌技术），培养数学运算、直观想象素养。教师可一体化教学，学生提升解题能力和应用意识，助力核心素养发展。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程 本节理解抛物线的定义，掌握抛物线四种形式的标准方程，能根据焦点、准线求出抛物线方程，会由标准方程写出焦点坐标与准线方程，培养数形结合、数学运算素养。 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括94张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线不经过点 的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线. 由抛物线的定义，抛物线是点的集合 . 知识剖析（1）注意定点不在定直线 上,这是动点轨迹为抛物线的必要条件,否则， 若定点在定直线上，则动点轨迹为过定点且和定直线 垂直的一条直线. （2）抛物线的定义可归结为“一动三定”:“一动”即一个动点,设为 ;“三定”即一 个定点、一条定直线、一个定值（即动点与定点和定直线 的距离的比值为常 数1）. . . . . 4 学思用·典例详解 例1-1 过点且与 轴相切的圆的圆心的轨迹为( ) D A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 【解析】如图3.3.1-3，设为满足条件的一点，则点到点的距离等于点到 轴的距离，故点在以为焦点， 轴为准线的抛物线上. 图3.3.1-3 5 知识点2 抛物线的标准方程 1 抛物线的标准方程 根据抛物线焦点位置的不同，抛物线的标准方程有以下四种不同的形式：#1 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 6 特别提醒（1）只有抛物线与轴的交点为坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具 有标准形式.抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程只要确定其一，其余两者也就 确定了. （2）标准方程的特征：等号的左边是某个变量的平方且系数为1，等号的右边 是另一个变量的一次单项式. （3）焦点在轴上的抛物线的标准方程 通常又可以写成 ,这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程 求焦 点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式.#1.1.3 7 2 四种标准方程对应的抛物线的比较 相同点 不同点 （1）顶点都在原点. （2）焦点都在坐标轴上. （3）焦点到准线的距离都是 . （4）准线与焦点所在的坐标轴 垂直，准线与坐标轴的交点与焦 点关于原点对称，它们与原点的 距离都等于一次项系数的绝对值 的,即 . （1）当焦点在轴上时，方程的右端为 ， 左端为；当焦点在 轴上时，方程的右端为 ,左端为 . （2）开口方向与轴（或 轴）的正方向相同 时，焦点在轴（或 轴）的正半轴上，方程一次 项的系数为正数；开口方向与轴（或 轴）的正 方向相反时，焦点在轴（或 轴）的负半轴上， 方程一次项的系数为负数. . . 8 3 参数 的几何意义 抛物线的标准方程中参数 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离 （即焦准距），所以 的值永远大于0.（当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时， 不要出现 的错误） 9 学思用·典例详解 例2-2 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程. （1） ; 【解析】抛物线的标准方程为 （一定要先化为标准方程的形式）, , 焦点坐标是,准线方程是 . （2） ; 【解析】抛物线的标准方程为 , ,抛物线开口向左， 焦点坐标为，准线方程为 . . . 10 （3） . 【解析】抛物线 中, .（警示： ） ①当时，,抛物线开口向右， 焦点坐标是,准线方程是 ; ②当时,,抛物线开口向左， 焦点坐标是,准线方程是 . 综上所述,抛物线的焦点坐标为,准线方程为 . . . 11 【想一想丨归纳总结】 由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程的方法 先看抛物线方程是不是标准方程，若不是，需先化方程为标准方程. 依据标准方程，（1）由一次项（是还是 ）及其系数的符号（是正还是负）确定抛 物线的开口方向，从而可得焦点和准线的位置；（2）由一次项的系数确定 （大于零）的值，进而求得 ，再结合（1）可得焦点坐标和准线方程. 12 释疑惑 重难拓展 知识点3 抛物线的焦半径公式 1 抛物线的焦半径 若点是抛物线上一点，抛物线的焦点为，准线为，则线段 叫做抛物线的 焦半径. 13 2 用坐标表示的焦半径公式 图3.3.1-1 设是抛物线 上一点，如图3.3.1-1 所示，过点作的垂线段 ,由抛物线的定义可知 . 14 同理可得其他形式标准方程下的焦半径公式. 抛物线 焦半径公式 由抛物线的焦半径公式可知，抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为 ，此时 该点为坐标原点. 15 3 用角 表示的焦半径公式 图3.3.1-2 如图3.3.1-2,若倾斜角为 的直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线交于， 两点，则 , . 证明：如图3.3.1-2所示，设,在准线与 轴上的射影分别为 ,和，，准线与轴交于 点， 则有 ， 所以,同理可得 . 由焦半径公式我们可以得到 ,是一个定值. . . . . 16 学思用·典例详解 例3-3 [教材改编P133 T3（1）]抛物线上一点的横坐标是3，则点 到焦 点的距离是___. 6 【解析】，，焦点的坐标是 . 将代入中，得，则，所以，又 ， 横坐标相同，所以 . 由焦半径公式知 . 17 例3-4 已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于， 两点， 且，则直线 的斜率为( ) B A. B. C. D. 【解析】设直线倾斜角为 ，因为，所以 ， 由， 可得， ,即 ， 18 所以 . 当点在轴上方（注意对的位置的讨论）时， ， 所以，，即直线的斜率为 ， 当点在轴下方时，由对称性知，直线的斜率为 ． 综上，直线的斜率为 . . . . . 19 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求抛物线的标准方程 例5 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： （1）准线方程为 ; 【解析】易知抛物线的准线交 轴于正半轴,所以抛物线开口向下，设标准方程形式 为 . 又,所以 , 故所求抛物线的标准方程为 . 20 （2）经过点 ； 【解析】因为点 在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或 （只有这两 类标准方程对应的抛物线经过第三象限）. 若抛物线的标准方程为 ， 则由，解得 ； 若抛物线的标准方程为 ， 则由，解得 . 故所求抛物线的标准方程为或 . . . 21 （3）焦点为直线 与坐标轴的交点. 【解析】对于直线方程 ， 令，得；令，得 ， 所以抛物线的焦点为或 . 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为 ； 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为 . 故所求抛物线的标准方程为或 . 22 23 待定系数法求抛物线标准方程的思路 24 求抛物线的标准方程时需注意三个关键点： ①把握开口方向与方程间的对应关系; ②当抛物线的类型没有确定时，可设方程为或 （可以认为是抛物线 标准方程的统一形式）,这样可以减少讨论的次数; ③注意与的几何意义.（为焦点到准线的距离， 为焦点到原点的距离） . . 25 【学会了吗丨变式题】 1.[教材改编P133 T1]分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点在 轴，且焦点到准线的距离是2； 【答案】焦点到准线的距离，又焦点在 轴上，于是有两种情况， 故所求抛物线的标准方程为或 . （2）准线与直线 的距离为3. 【答案】准线与直线的距离为3，说明抛物线的准线与 轴垂直，所以抛物线的 开口方向向左或向右. 设抛物线方程为，则抛物线的准线方程为 ，则 ，解得或 ， 故所求抛物线的标准方程为或 . 26 题型2 求与抛物线有关的轨迹方程 1 定义法 例6（1）平面上一动点到定点的距离比点到轴的距离大1，求动点 的轨 迹方程. 【解析】 （坐标法） 设点的坐标为,则有 . 两边平方并化简，得.即 故动点的轨迹方程为或 . 27 （定义法） 设点的坐标为，由题意，动点到定点 的距离比 到轴的距离大1，由于点到轴的距离为1，故当时，直线 上的点 符合题意； 当时，题中条件等价于点到点与到直线的距离相等，故点 的轨 迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，轨迹方程为 . 综上可知所求动点的轨迹方程为或 . 28 （2）已知圆的方程为，求与轴相切且与圆外切的动圆圆心 的轨迹方程. 【解析】设点的坐标为，动圆的半径为 ， 动圆与轴相切， . 动圆与定圆 外切， ， . 当点在轴右侧，即时， ， 29 即点到点的距离与点到直线 的距离 相等，如图3.3.1-4（1）， 此时点的轨迹是以 为焦点的抛物线， 则圆心的轨迹方程为 ； 当点在轴左侧，即时， ， 如图3.3.1-4（2）,此时点的轨迹是 轴的负半轴， 即点的轨迹方程为 . 故点的轨迹方程为或 . 30 31 2 等量关系法 例7 (2026·湖南省长沙市期末)已知，点在轴上，点在 轴上，且 ,，当点在轴上运动时，点 的轨迹方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】设点，因为，则为的中点，且点在 轴上，所以 ，, . 又，则 ， 由,得 . 故点的轨迹方程为 . 32 求与抛物线有关的轨迹方程的两种方法 定义法：根据抛物线的定义判断出所求点的轨迹为抛物线，然后确定抛物线的形式， 求出 值即得轨迹方程. 通常会有直线与圆或圆与圆相切的条件，这时需要把相切转化为动点到定点或定直 线的距离. 等量关系法：设出动点坐标，根据条件找到等量关系，列出方程，转化为符合抛物 线方程结构的形式. 33 【学会了吗丨变式题】 2.已知圆，直线，圆与圆外切，且与直线 相切，则点 的轨迹方程为__________． 图D 3.3.1-1 【解析】由题意得，直线 ，且圆 ， 设圆半径为，则点到与点到点 的距离相 等，都是 ，如图D 3.3.1-1所示. 故点的轨迹是以为焦点，以 为准线的抛物线，且焦点到 准线的距离为6，故轨迹方程为 ． 34 3.(2026·河北省沧州市期中)已知，点与点的横坐标相等，点 在直线 上，且 . （1）求点 的轨迹方程； 【答案】设，则，又 ， 则,,, ， 由，得，整理得，所以点 的轨 迹方程是 . （2）若，求 的最小值. 【答案】由及点 ，可知 ， 所以当时，取得最小值 . 35 题型3 焦半径公式的简单应用 例8 若抛物线上的两点，到焦点的距离之和是5，则线段 的中点的横坐 标是___. 2 【解析】设抛物线的焦点为,点,,由抛物线的定义知点到焦点 的 距离等于点到准线的距离，即 （焦半径公式）. 同理 . 故，即,得 . 故线段 的中点的横坐标是2. . . 36 图3.3.1-5 例9 (2026·山东省菏泽第一中学期中)如图 3.3.1-5所示，过抛 物线的焦点 的直线依次交抛物线及准线于 点，，，若，且 ，则抛物线的方程 为( ) A A. B. C. D. 37 图3.3.1-6 【解析】如图3.3.1-6,过点， 作准线的垂线，分别交准线于 点，，设准线与轴交于点，设，则 ， 由抛物线的定义得，故 . 在直角三角形中， ， ，，即 ，从而得 .，,即，求得 ，因此抛 物线的方程为 ． ,, , 抛物线的方程为 . 38 【学会了吗丨变式题】 4.[教材改编P138 T5]已知抛物线的焦点为,点在抛物线 上， 且,则 ( ) C A. B. C. D. 39 图D 3.3.1-2 【解析】如图D 3.3.1-2所示，过点作抛物线 的准线的垂线， 垂足为,过点作的垂线，垂足为,则 （设抛物线的准线与轴交于点,则四边形 为矩形,所 以 ,即焦准距）， 由抛物线的定义知 ,则 . 在中， , 所以 . . . 40 题型4 利用抛物线定义求解最值问题 图3.3.1-7 点和抛物线 的位置关系的讨论： 当时，点在抛物线 上； 当时，点在抛物线 外； 当时，点在抛物线 内. 同理可得其余三种形式的抛物线与点 的位置关 系,如图3.3.1-7. 41 母题 致经典·结构化试题 例10 (2026·上海市大同中学期末)已知为抛物线上的任意一点， 为抛物线 的焦点，点坐标为,则 的最小值为( ) A A.4 B.3 C. D. 图3.3.1-8 【解析】由抛物线知，则,准线 方程为 .如图3.3.1-8所示，点在抛物线内，过点作抛物线准线 的垂线段，垂足为点,过点作，垂足为点 . 由抛物线的定义得（将转化为点 到准线的距离 是利用平面几何的性质确定最小值点的关键）, 所以 , 当且仅当点是线段与抛物线的交点（即,, 三点共线）时 取等号.故的最小值为 . . . 42 子题 情境转化 子题1 已知点为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点 的坐标为 ,求 的最大值与最小值. 图3.3.1-9 【解析】如图3.3.1-9，点在抛物线内，连接 并延长交抛 物线于点,则，当且仅当点在点 的 位置时取等号，所以 . 又,延长交抛物线于点 ， 则，当且仅当点在点 的位置时取等 号， 所以 . 43 子题2 (2026·河南省南阳市期末)已知为抛物线上的任意一点， 为抛物线 的焦点，点的坐标为 . （1）求 的最小值; 【解析】连接交抛物线于点,,当且仅当点在点 位置时取等 号，所以 . 44 （2）求 的最大值与最小值. 【解析】延长交抛物线于点，则,当且仅当点在点 的位置 时取等号，所以 . 又,过点作准线 的垂线， 垂足为，延长交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为 ，则 ,当且仅当点在点 的位置时取等号，即 ,所以 . 45 【解析】如图3.3.1-10所示，点 在抛物线外. 图3.3.1-10 46 与抛物线定义有关的最值问题的解题思路 由抛物线的定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，再利用平面 几何的性质，确定最值点，即得最值.特别地，已知为抛物线的焦点，为 上的 点, 为定点，则有下列结论成立: 的最小值 的最大值 ; 的最小值 47 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·湖南省长沙市望城区第六中学月考)已知抛物线, 为抛物线的焦点， 若直线的方程为，则抛物线上的点到直线（准线）与直线 的 距离之和的最小值为___. 2 图D 3.3.1-3 【解析】设点到准线的距离为,到直线的距离为,过 作 直线的垂线段，垂足为 ，如图D 3.3.1-3所示. 由抛物线的定义知，点到准线的距离即点到焦点 的距离 . 则,当且仅当点为线段 与抛物 线的交点时取等号，又 ,所以 . 48 题型5 抛物线的实际应用 例11 [教材改编P139 T8]图3.3.1-11是抛物线形拱桥，设水面宽 米，拱顶距 离水面 8米，一货船在水面上的部分横断面为一矩形.若米，那么 不超过多少米才能使货船通过拱桥？ 图3.3.1-11 思路点拨 根据题中条件建立适当的平面直角坐标系，确定出抛物线的方程后求解 问题. 49 图3.3.1-12 【解析】如图3.3.1-12所示，以点为坐标原点，过点 且平行于 的直线为轴，线段的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标 系,则 . 设抛物线方程为 . 点在抛物线上， , , 抛物线的方程为 . 当时，,即 . 不超过6米才能使货船通过拱桥. 50 求解抛物线实际应用题的步骤 51 【学会了吗丨变式题】 6.新情境 喷灌技术(2026·浙江省嘉兴市期中)某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在 管柱的顶端 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图3.3.1-13所示.现要求 水流最高点离地面，点到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面以 为圆心，半径为的圆上，求管柱 的高度. 图3.3.1-13 52 图D 3.3.1-4 【答案】建立如图D 3.3.1-4所示的平面直角坐标系，设 抛物线的方程为，把 代入方 程中，得，解得 ，所以抛物线方程 为 . 设，代入抛物线方程中，得 ，解得 ， 所以，所以管柱的高度为 . 53 新考法 情境应用 图3.3.1-14 例12 新情境 中国天眼如图3.3.1-14（1），“中国 天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其 对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其利用 了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射 到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称 轴．如图3.3.1-14（2），为抛物线 ，一 10 条与轴平行的光线经过，照射到抛物线上的点 处，第一次反射后经过抛 物线的焦点到抛物线上的点处，第二次反射后经过，则 的坐标为 ________， 的值为____． 54 【解析】由已知得，， ， 所以点的纵坐标为，代入抛物线方程 ， 可得 ， 所以点的横坐标为 ， 所以的坐标为 . 由抛物线知，其准线方程为 ， 记点的横坐标为，点的横坐标为 ， 则， ， 55 由抛物线定义可得， ， 所以 . 56 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 抛物线定义与标准方程的应用是近几年的高频考点，单独考查的频率较高，主要涉 及求距离、求线段长、求准线方程等问题，偶尔也会综合椭圆、双曲线等知识考查， 解题的关键是明晰抛物线标准方程四种形式之间的区别.各种题型都会出现，但在本 节中以选择题、填空题为主，试题难度中等. 核心素养：数学运算（求距离、求线段长、求方程等），直观想象（画出图形、数 形结合等），逻辑推理（抛物线定义的运用、问题转化等） 57 考向1 抛物线的定义与标准方程的应用 例13（1）(2025· 全国二卷)设抛物线的焦点为,点在上,过 作 的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为,则 ( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】根据直线得，所以的准线方程为， 的方程为 ，所以,所以，所以 . （2）(2023·全国乙卷)已知点在抛物线上，则到 的准线的距 离为__. 【解析】将点的坐标代入抛物线方程，得，于是 ，则抛物线的准线 方程为，所以到准线的距离为 . 58 （3）(全国乙卷)设为抛物线的焦点，点在上，点 ，若 ,则 ( ) B A.2 B. C.3 D. 图3.3.1-15 【解析】如图3.3.1-15，由题意可知，设 ，则 由抛物线的定义可知.因为 ， 所以由，可得，解得 ，所以 或.不妨取 ，则 . 59 考向2 抛物线与其他曲线的综合 例14 (2025·天津)双曲线的左、右焦点分别为, ，以右焦 点为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为 ,若 ,则双曲线的离心率 ( ) A A.2 B.5 C. D. 【解析】由题意知，所以抛物线方程为.因为 ， ， 所以，又点 在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义可得 ，所以, ， 60 图3.3.1-16 如图3.3.1-16所示，过点作抛物线准线的垂线，垂足为 ， 因为点 在抛物线上， 所以 ， 所以 ， ，把点 的坐标代入抛物线方程，可得 ，化简得 ，即 ,故选A. 61 高考新题型专练 1.[多选题](2026·山东省济南市期末)已知是抛物线的焦点，， 是抛物 线上不同的两点， 为坐标原点，则( ) ACD A.若轴，则 B.点 到准线的最小距离为1 C.若，则的面积为 D.若 ，则 【解析】设, . 对于A，由题意得,则, （注意不同方程下，焦半径公 式也不同）,故A正确. 对于B，当点为坐标原点时，到准线的距离最小，为 ，故B错误. . . 62 对于C，,,,解得 , ,故C正确. 对于D，由 得,则，则 ，即 ，解得（不合题意，舍去）或， ， , （当且仅当 时等号成立）， ，故D正确.故选 ． 63 2.[多选题](2026·广东省广州市期中)已知点为抛物线上一点， 为抛物线的 焦点，则下列结论正确的是( ) BD A.点的坐标为 B.点 到准线的最小距离为1 C.若点到焦点的距离为5，则点 的纵坐标是4 D.若点的坐标为,则 的最小值为5 【解析】设， . 对于A，抛物线的焦点为 ，A错误； 对于B，准线的方程为，点到准线的距离为 （抛物线上的点到准线的最小距离为），当且仅当时取等号，即点 到准线 的最小距离为1，B正确； 对于C，点到焦点的距离为5，即，解得，则 ，解 得 ，C错误； . . 64 图D 3.3.1-5 对于D，如图D 3.3.1-5，作,,垂足分别为 ， ，交抛物线于点，连接 ，则 ，当且仅当点 ， 重合时取等号， 所以 ，D正确． 故选 ． 65 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.已知点在抛物线的准线上，记的焦点为 ，则直线 的斜率为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为点在抛物线的准线上，所以,所以该抛物线的焦点为 ， 所以 . 66 2.(2026·安徽省合肥市期末)已知抛物线的焦点为，是 上一点， ,则 ( ) A A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】由题意知抛物线的准线方程为.因为 ，所以根据抛物线的 定义可得,解得 . 67 3.(2026·江西省新余市月考)已知动圆与直线 相切，且与定圆 外切，则动圆圆心 的轨迹方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】设动圆圆心为，半径为，由题意可得到 的距离与到直线 的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以 为焦点，以 直线为准线的一条抛物线，所以,，的轨迹方程为 . 68 图3.3.1-1 4.如图3.3.1-1，已知点，轴于点，是线段 上任意一点，轴于点，于点，与 相交 于点，则点 的轨迹方程为( ) D A. B. C. D. 69 【解析】设 ， 因为直线的方程为，且点在直线 上， 所以 . 因为直线的方程为，且点在直线 上， 所以 . 因为轴，所以，则，故点 的轨迹方程为 ，故D正确. 70 图3.3.1-2 5.新情境 卫星接收天线 [教材改编P132例2] (2026·安徽省合肥市第八中学期中)一种卫星接收天线 如图3.3.1-2（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛 物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形 为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点 处，如图 3.3.1-2（2）所示.已知接收天线的口径为 ， 深度为.若为接收天线上一点，则点与焦点 间 的最短距离为( ) B A. B. C. D. 71 【解析】以线段的中垂线为轴，抛物线与 轴的交点为坐标原点建立如图 D 3.3.1-1所示的平面直角坐标系，则由题意可得 . 设抛物线的方程为 ， 将点的坐标代入得，即 ， 所以，抛物线的方程为 . 72 图D 3.3.1-1 设，则点到焦点的距离等于点 到准线的距离，即 （抛物线上的点到焦点的最短 距离为 ） （当且仅当 时取等号）. 故选B. . . 73 6.[多选题]已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线 上，直线 交轴于点，且 ，则下列表述正确的是( ) CD A.点的纵坐标为1 B. 为锐角三角形 C.点与点关于坐标原点对称 D.点的横坐标为 【解析】由抛物线的方程可得 ，C正确; 因为，则点是线段的中点，又坐标原点是线段的中点，所以 是的中位线，所以，因为轴，所以轴，所以 为 直角三角形，B错误; 设点，则，代入抛物线方程可得，A错误，D正确.故选 ． 74 7.(2026·天津市第三十二中学期中)已知为坐标原点,抛物线 的焦 点为,为上一点，与轴垂直,为轴上一点,且.若，则 的准 线方程为_ _______. 【解析】由题易得,，因为轴，,所以 ， 所以，所以,即 ，（也可由射影定理直接得出 ） 解得，所以的准线方程为 . . . 75 8.已知抛物线上一点到其焦点的距离为2,点 是抛物线上的 动点． （1）求抛物线的方程； 【答案】由题意可得，解得 ， 所以抛物线的方程为 ． 76 （2）求点到点的距离与到直线 的距离之和的最小值． 【答案】抛物线的焦点为，准线方程为 ， 所以点到点的距离与点到直线的距离之和等于点到点 的距 离与点到焦点 的距离之和， 因为 在抛物线外侧， 所以,当，，三点共线且在线段 上时等号成立， 所以距离之和最小值为 . 77 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.(2026·贵州省贵阳市联考)是抛物线上一点，是抛物线的焦点， 是坐标 原点，若，则 ( ) A A.1 B.2 C.4 D. 78 图D 3.3.1-2 【解析】 由抛物线的方程可得焦点 ，准线 方程为 ， 如图D 3.3.1-2，过作准线的垂线，垂足为，过作 的垂 线，垂足为，设， . 由，可得 ， 由抛物线的定义可得 ， 而 ， 所以 ， 79 整理可得，解得 （负值已舍去）， 所以的横坐标为 ， 由抛物线的性质可得 . 因为，所以 ， 所以 . 80 10.(2026·湖南省长沙市第六中学期中)如图3.3.1-3所示的圆锥中， 为底面圆的直 径，为中点，某同学用平行于母线且过点 的平面去截圆锥，所得截口曲线 为抛物线.若该圆锥的高，底面半径 ，则该抛物线焦点到准线的距 离为( ) B 图3.3.1-3 A.2 B. C. D.4 81 【解析】因为是的中点，是的中点，则 ， ，截圆锥的平面平行于母线且过母线 的中点，故 也在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在 上， 图D 3.3.1-3 设抛物线与底面交点为，如图D 3.3.1-3所示，建立以 为 原点，所在直线为轴，过点且与轴垂直的直线为 轴 的平面直角坐标系，（轴与 平行） 则,，即 ， 设抛物线为，将点坐标代入得 ， 解得，即该抛物线焦点到准线的距离为 ， 即为 .故选B. . . 82 11.抛物线的准线方程为，为抛物线的焦点， 为抛物线上 一个动点，为曲线上的一个动点，则 的最小值为( ) A A.7 B. C.8 D. 83 图D 3.3.1-4 【解析】如图D 3.3.1-4,由题意可得，圆 ，即 的圆心坐标为 ，半径为 ，抛物线的准线方程为 ， 故，可得，焦点坐标为 . 是圆上一动点，过作抛物线的准线的垂线 ， 垂足为，则 ， 过作抛物线的准线的垂线，垂足为 ，则 ，当,, 三点共线时取等号， 当，，，四点共线时，有最小值，此时， 最小，最小值为7，故选A． 84 12.[多选题](2026·黑龙江省海林市月考)已知为坐标原点，, 是抛物线 上的一点，为其焦点，若与双曲线 的右焦点重合， 则下列说法正确的有( ) ACD A.若,则点 的横坐标为4 B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 C.若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为 D.的周长的最小值为 85 【解析】因为双曲线的方程为，所以,，则 ， 因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即 . 若,则点的横坐标为 ，所以选项A正确； 因为抛物线的焦点与双曲线 的右焦点重合，所以抛物线的准线过双曲 线的左焦点，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 ，所以 选项B错误； 86 因为,，所以的外接圆的圆心的横坐标为1，又 的外接圆与 抛物线 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于半径，所以圆心到准线的距离为3， 所以，所以该外接圆的面积为 ，所以选项C正确； 因为 的周长为 ，当且仅当轴时等号成立，所以选项D正确.故选 . 87 13.已知抛物线的焦点为,在抛物线上任取一点，则到直线 的最 短距离为_____,到轴的距离与到直线 的距离之和的最小值为__________. 【解析】设点，则，且在线段 上由点到直线的距离公式得 到直线 的距离 ，当且仅当, 时等 号成立. 88 图D 3.3.1-5 如图 ，连接,作轴于点 ,根据抛物线的定义 知，到轴的距离,所以到轴的距离 与到 直线的距离之和为,过点作直线 的垂线，垂足为,则 .根据图得 ,当且仅当,,三点共线,且 在线段上时等号成立,故到轴的距离与到直线 的距 离之和的最小值为 . 89 14.已知抛物线的焦点为,以为圆心，为半径,在 轴 上方画半圆,设抛物线与半圆交于不同的两点,,点为线段 的中点. （1）求 的值. 【答案】设,,由抛物线的定义,得 . 又半圆所在圆的方程为,将 代入,得 ， ， . 90 （2）是否存在这样的,使?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】不存在.假设存在这样的,使得 . 过点作垂直于抛物线的准线，垂足为 . ， .由抛物线的定义知点必在抛物线上,这与点是线段 的中点矛 盾， 这样的 不存在. 91 C 培优练丨能力提升 15.新考法 数学建模 如图3.3.1-4,地在地东偏北 方向，相距处, 地与 东西走向的高铁线（近似看成直线）相距.已知曲线形公路上任意一点到 地的距离等于到高铁线的距离,现要在公路旁建造一个变电房 （变电房与公路之间 的距离忽略不计），分别向地、 地送电. 图3.3.1-4 92 （1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路 所在曲线的方程. 图D 3.3.1-6 【答案】如图D 3.3.1-6,以经过点且垂直于（垂足为 ） 的直线为轴，线段的中点 为原点,建立直角坐标系 , 则, . 因为曲线形公路上任意一点到 地的距离等于到高铁线 的距离,所以所在的曲线是以为焦点, 为准线的抛物线. 设抛物线方程为,则，故曲线形公路 所在曲线的方程为 . 93 （2）问变电房建在相对 地的什么位置（方位和距离）,才能使得架设电路所用电 线长度最短?并求出最短长度. 【答案】要使架设电路所用电线长度最短,即使 的值最小. 如图D 3.3.1-6所示，过作,垂足为,依题意得 ，所以 ,故当，，三点共线时，即时, 取得最小值,即取得最小值,此时， . 故变电房建在地正南方向且与地相距 时,所用电线长度最短，最短长度为 . 94 $