3.2.1 双曲线及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线及其标准方程，涵盖定义、标准方程推导、与椭圆异同辨析及焦点三角形等核心内容。通过回顾椭圆定义对比引入，构建知识支架，帮助学生衔接前后知识点，形成完整知识脉络。 其亮点在于含思维导图整合知识，分基础、中档、拔高例题与练习对接高考，结合地震观测、苗圃运输等情境问题。通过对比辨析培养数学思维，情境应用提升数学语言表达能力，助力教师一体化教学，学生高效掌握并提升数学核心素养。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 本节理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其推导过程，能根据条件求双曲线标准方程，会辨析双曲线与椭圆的异同，提升数形结合与数学运算核心素养 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括99张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 双曲线的定义 定义 平面内与两个定点， 的距离的差的绝对值等于非零常数 （是个定值，用表示）（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线. 焦点 两个定点, 叫做双曲线的焦点. 焦距 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，用 表示. 集合语言 , . . . 4 知识剖析 1.在双曲线定义中，若<m></m>，即“去掉绝对值符号”， 则动点<m></m>的轨迹为双曲线的一支（靠近点<m></m>）. 2.<m></m>的大小与点<m></m>的轨迹如下表所示.#1.1.2 条件 结论 动点 的轨迹是双曲线 动点的轨迹是分别以，为端点，与, 同向的射线 动点 不存在，因而轨迹不存在 动点的轨迹为线段 的垂直平分线 5 学思用·典例详解 例1-1 (2026·北京市第五中学期中)已知点，，动点 满足 ，当为3和5时，点 的轨迹分别是( ) D A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 6 【解析】依题意得 ， 当 时， ， （本题易忽视双曲线定义中的限制条件“差的绝对值”从而致错） 故点 的轨迹为双曲线的右支； 当 时， , 故点 的轨迹为一条射线. . . 7 知识点2 双曲线的标准方程 1 双曲线的两种标准方程 标准方程 图形 焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 焦点坐标 , , 焦距 异同点 相同点:大小、形状相同，都有,,,, 的关系都满足 . 不同点：焦点的位置和坐标不同. 8 解疑释惑 1.何谓双曲线的标准方程? 答：双曲线的标准方程是指在“对称建系标准”条件下的方程，即以对称中心为原点， 两焦点所在直线为坐标轴建系前提下的方程. 2.双曲线标准方程的类型如何判定? 答：焦点, 的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点 跟着正项走”，即若的系数为正，则焦点在轴上；若的系数为正，则焦点在 轴上.#1.1.2.1 9 3.如何理解双曲线标准方程中的参数,, 的几何意义？#1.1.3 图3.2.1-1 答：在双曲线的标准方程中，因为,,三个量满足 , 所以长度分别为,, 的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长 度为 的线段是斜边，如图3.2.1-1所示. 10 2 双曲线与椭圆的比较 曲线 椭圆 双曲线 定义 标准方程 或 或 11 曲线 椭圆 双曲线 图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续 根据标准方程 确定, 的方 法 以大小分, （如 中， ,则 , ） 以正负分,（如中， , ,则, ） ,, 的关系 最大 最大 方程 既可以表示椭圆又可以表示双曲线. （1）当方程表示椭圆时，，应满足或 . （2）当方程表示双曲线时，，应满足 .#1.1.2 续表 12 学思用·典例详解 例2-2 双曲线 的焦点坐标是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为双曲线的标准方程是，所以焦点在 轴上，（注意焦点位置） 且，，则，所以焦点坐标是 . . . 13 例2-3 (2026·广东省惠州市第一中学期中)已知双曲线方程为 ， 焦距为6，则 的值为_______. 6或 【解析】若焦点在轴上，（ 的正负未知，焦点位置不定，注意分类讨论） 则方程可化为 , 所以,即 . 若焦点在 轴上， 则方程可化为 ， 所以，即 . 综上，的值为6或 . 14 例2-4 表示何种圆锥曲线?它们有何共同特征? 【解析】（1）当时，， ，所给方程表示椭圆，此时， ，，，这些椭圆有共同的焦点， . （2）当时，， ，所给方程表示双曲线，此时， ，， ，这些双曲线也有共同的焦点 ， . （3）当或 时，所给方程不表示任何圆锥曲线. 15 例2-5 ［教材改编P121 T3］(2026·天津市第一中学期中)“ ”是“方程 表示双曲线”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【解析】若方程表示双曲线，则满足，解得 或 ， 所以“”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件. 16 知识点3 点与双曲线的位置关系 一般地，含有焦点的区域为双曲线的内部，不含焦点的区域为双曲线的外部. 已知点，双曲线方程为 ，则点在双曲线内 ；点在双曲线上；点在双曲线外 . （【学习方法】类比点与椭圆的位置关系） 17 学思用·典例详解 例3-6 已知双曲线的方程为 ，试判断下列点与双曲线的位置关系：（1） ；（2） . 【解析】将点的坐标代入双曲线方程，可得 （1） ，点在双曲线外； （2） ，点在双曲线内. 18 释疑惑 重难拓展 知识点4 双曲线方程的其他形式 1 双曲线的一般方程 当时，方程可以变形为 由此可以看出方程 表示双曲线的充要条件是，且， 异号.此时称方程 为双曲线的一般方程. 在求解双曲线的标准方程时，如果我们无法准确判定双曲线的焦点位置，我们 可以设双曲线的一般方程为.当， 时，表示焦点 在轴上；当，时，表示焦点在 轴上. . . 19 2 共焦点的双曲线系方程 与双曲线 有公共焦点的双曲线系方程为 ;（保证分母相加之和不变） 与双曲线 有公共焦点的双曲线系方程为 . . . . . 20 学思用·典例详解 例4-7 与双曲线有相同的焦点，且经过点 的双曲线的标准方程为 _ __________. 【解析】 设所求双曲线的标准方程为 , 焦点相同，,即 ①. 所求双曲线经过点 , ②. 由①②得, , 故双曲线的标准方程为 . 21 设所求双曲线的方程为 . 双曲线过点 , ,解得 . 故双曲线的标准方程为 . 22 知识点5 双曲线的焦点三角形问题 图3.2.1-2 如图3.2.1-2，是双曲线 上任 意一点，,分别是双曲线的左、右焦点，当点,, 不在 同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形. 设,, ,, , ,则 焦点三角形中有以下常用关系式: （1）定义： . （2）余弦定理的应用： . 23 （3）面积公式： .（注意与椭圆中焦点三角 形面积公式的异同） 证明由双曲线定义可知，则 ①， 在中，由余弦定理可得 ，即 ②.由得 ，则 ,所以 . . . 24 （4）正弦定理的应用: 设的外接圆半径为 ，则 ，所以 . （同时也可得到 ，此即下节学习的双曲线的离 心率 ） 25 图3.2.1-3 （5）的内切圆圆心的横坐标恒为定值或 . 证明如图3.2.1-3，设内切圆的圆心为 ，则由 ，由对称性可知， ，即 的内切圆圆心的横坐标恒为 定值.同理当在双曲线的左支时也能得到定值 . 26 学思用·典例详解 例5-8 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在 的右支上，且 ，则 的面积为( ) C A. B.6 C.3 D. 【解析】点在双曲线右支上，,, ,由双曲线的定义可得 ，又，两式联立得 . 又，所以，即 为直角三角形，所以 . 27 例5-9 (2026·江西省南昌中学期中)已知双曲线的左、右焦点分别为， ， 点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则 的内切 圆面积为( ) C A. B. C. D. 图3.2.1-4 【解析】由题意知，， . 如图3.2.1-4，设圆与线段，，分别相切于点,, ， 则，， ， 所以 ， 又,所以, , 28 所以，从而可知内切圆的圆心在直线 上. （由结论（5）可直接得到内切圆圆心的横坐标为 ） 因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为 ， 因为是的平分线，所以直线的倾斜角为 ，直线方程为 ，将代入，得 ， 所以，即圆的半径为 ， 所以圆的面积为 . 29 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求双曲线的标准方程 1 待定系数法 例10 根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1），经过点 ； 【解析】当焦点在轴上时（注意分类讨论），设所求标准方程为 ， 把点的坐标代入，得 ,不符合题意； 当焦点在轴上时，设所求标准方程为，把点 的坐标代入，得 . 故所求双曲线的标准方程为 . . . . . 30 （2）以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点 ; 【解析】由题意得,双曲线的焦点在轴上，且 . 设双曲线的标准方程为 , 则有,,解得, . 故所求双曲线的标准方程为 . 31 （3）过点, 且焦点在坐标轴上. 【解析】设双曲线的方程为, .（双曲线焦点的位置不确定时可 设出一般方程求解，可避免分类讨论） 点， 在双曲线上， 解得 故双曲线的标准方程为 . . . 32 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 33 【学会了吗丨变式题】 1.焦点分别为,且经过点 的双曲线的标准方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】 双曲线的焦点在 轴上， 设双曲线的标准方程为 . 由题意知， ①. 又点在双曲线上， ②. 由①②解得， , 所求双曲线的标准方程为 . 34 2定义法 已知焦距,利用双曲线的定义先求出,然后由求出 ,从而求得双曲线 方程. 在利用定义法求解双曲线方程时注意以下几点： ①动点 是否满足双曲线的全部定义？ ②条件与 是否同时成立? ③焦点所在的坐标轴是否明确？ 35 例11 如图3.2.1-5所示，已知定圆 ，定圆 ，动圆与定圆，都外切，求动圆圆心 的轨迹方程. 图3.2.1-5 36 【解析】圆，圆心，半径 . 圆，圆心，半径 . 设动圆的半径为，则有, , .（本题易由此条件直接得出是双曲线，实际上它 是双曲线的左支） 点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且, ，于是 . 故动圆圆心的轨迹方程为.（若是双曲线的一支，切勿漏写 的 范围） . . . . 37 例12 如图3.2.1-6，在中，已知，且三内角，， 满足 ，建立适当的平面直角坐标系，则顶点 的轨迹方程为 _ ______________________． 图3.2.1-6 38 图3.2.1-7 【解析】以边所在的直线为轴，的垂直平分线为 轴， 建立平面直角坐标系,如图3.2.1-7所示，则 ， ．由正弦定理，得， ， 为的外接圆半径 ． ， ，即 . 由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线的右支（除去与轴的交点）.（，， 是 三角形三个顶点） 由题意，设所求轨迹方程为 , ，， . 故所求轨迹方程为 ． . . 39 利用“定义法”求双曲线方程的步骤 第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用条件确定动点 满足的等量关系式； 第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定义确定轨迹的 形状； 第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程; 第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意. 40 【学会了吗丨变式题】 2.新考法 数学文化 [多选题](2026·浙江省宁波六校联考)数学家华罗庚曾说：“数缺 形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解 决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点 与点 之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程 2的解为( ) AC A. B. C. D. 41 【解析】由 ， 得 ． 其几何意义为平面内一点与两定点， 距离之差的绝对值为2． 又平面内与两定点， 距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线， 设该双曲线的方程为，则， ， 所以，所以该双曲线的方程是 ． 令，解得．故选 ． 42 3 利用共焦点曲线方程求双曲线方程 例13 设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 的纵坐 标为4，则此双曲线的方程为_ __________. 【解析】 （待定系数法） 设双曲线的方程为 ，由 题意知， . 又点的纵坐标为4，代入椭圆方程得其横坐标为，于是有 解得 所以双曲线的方程为 . 43 （定义法） 将点的纵坐标代入椭圆方程得 ,又两焦点分别为 ， ，所以 ， ， ，所以双曲线的方程为 . 由题意设双曲线方程为，（根据焦点在 轴上列式求解） 将代入得或 （舍去）， 所以所求双曲线的方程为 . . . . . 44 共焦点双曲线方程的设法 1.与椭圆 有公共焦点的双曲线方程为 ；与椭圆 有公共焦点的双曲 线方程为 . 2.与双曲线 有公共焦点的双曲线方程为 ； 与双曲线 有公共焦点的双曲线方程为 . 45 【学会了吗丨变式题】 3.与椭圆共焦点且过点（ ，2）的双曲线的标准方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】椭圆的焦点坐标为， ，可设双曲线方程为 ，则解得 双曲线的标准方程为 ．（本题也可通过先判断焦点位置排除C，D，再代入验证排除B） 46 4.(2026·江苏省扬州市期中)与双曲线有相同焦点，且过点, 的 双曲线的标准方程为_ __________. 【解析】设双曲线方程为 ， 又双曲线经过点，所以 ， 即，解得或 （舍去）， 所以双曲线的标准方程为 . 47 题型2 双曲线方程的应用 例14（1）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的 距离为4，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 双曲线两焦点间的距离为4，，当焦点在 轴上时，可得 ，解得 ， 方程 表示双曲线， ，可得，解得，即 的取值 范围是 ． 当焦点在轴上时，可得，解得 ，无解． 综上，的取值范围是 . 48 （2）若方程 表示双曲线,则实数 的取值范围为_________________. 【解析】依题意有 或（易只考虑双曲线的焦点在 轴上 的情况,忽略了焦点在 轴上的情况） 解得或 . 故实数的取值范围是 . . . 49 对于方程 ,我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要 对参数,进行讨论.只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在 轴上；当时，焦点在 轴上. 50 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·河北武强中学期中)“”是“方程表示焦点在 轴上的双曲 线”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由“方程表示焦点在轴上的双曲线”可得 解得 . 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，因此“ ”是“方程 表示焦点在 轴上的双曲线”的充分必要条件. 51 题型3 双曲线定义的应用 1 确定有关几何量的值 例15 [教材改编P121 T4](2026·重庆市大足中学期中)已知是双曲线 上一 点,,分别是双曲线的左、右焦点，且，则 的值为____. 33 【解析】由双曲线方程可得，， ，由双曲线的图形可得 点到右焦点的距离 .（若忽略这一点就会得到增解） 因为，又 ， 所以（舍去）或 . . . 52 双曲线上的点到其焦点的距离的最小值为 . 不妨令,双曲线上一点,则 ， ，当时，；当 时， . 故，此时 . （在学习完下节的焦半径公式之后，可清晰得到该结论） 53 【学会了吗丨变式题】 6.已知双曲线的方程是,点在双曲线上，且到其中一个焦点 的距离为10， 点是的中点，为坐标原点，则 ______. 1或9 【解析】设双曲线的另一个焦点为,连接 . 易得是的中位线，所以 . 因为, , 所以或,故或 . 54 2 研究焦点三角形 例16 (2026·陕西省渭南市段考)已知双曲线的两个焦点为,, 是双 曲线上的一点，且, ,则双曲线的方程是( ) C A. B. C. D. 【解析】 , , , ,解得 , . 故双曲线方程是 . 55 , , 又, ，（焦点三角形面积公式） ， , 又, , 故双曲线的方程为 . . . 56 例17 (2026·江苏省如皋市调研)双曲线的右支上一点 在第一象限， ,分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆 的半径为1，则 直线 的斜率为( ) D A. B. C. D. 57 图3.2.1-8 【解析】由双曲线得 ，焦点坐标为 , . 设圆与,,分别相切于点,,，连接 ,如图 3.2.1-8所示， 则 ， 又，解得, ， ，则点 . 58 因为轴，所以 ， 即直线的斜率 . 因为是的平分线,所以直线 的斜率 . 59 焦点三角形问题的求解思路 在解与焦点三角形 有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得焦半径 ,的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得, 的关系式，从而求 出, . 但是，一般我们不直接求解出,,而是根据需要，把 , , 看作一个整体来处理. 60 【学会了吗丨变式题】 7.(2024·天津)已知双曲线的左、右焦点分别为，， 是 双曲线右支上一点，且直线的斜率为2， 是面积为8的直角三角形，则双 曲线的方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可知， ，又直线 的斜率为2，可得 ，根据双曲线定义，得 , ，，又 ，所以 ，所以 .又 ，所以，又，所以 ，所以双曲线的方程为 ，故选C. 61 3 最值问题 例18（1）(2026·吉林省长春市第二实验中学期中)为双曲线 右支上一 点，，分别是圆和上的点，则 的 最大值为___. 5 【解析】双曲线的两个焦点, 分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别 为,,易知, , 故的最大值为 . 62 （2）(2026·山东省潍坊市期末)已知,分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线内一点，点在双曲线的右支上，则 的最小值为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为,所以要求 的最小值，只 需求 的最小值. 图3.2.1-9 如图3.2.1-9，连接,交双曲线的右支于点.当点位于点 处 时， 最小，（两点之间线段最短，因此常考虑连线 与曲线交点处） 最小值为 . 故的最小值为 . . . 63 图3.2.1-10 例19 已知双曲线的方程为，如图3.2.1-10所示，点 的坐标为，是圆上的点，点 为其 圆心，点在双曲线的右支上，求 的最小值. 64 图3.2.1-11 【解析】记点的坐标为，则点， 是双曲线的焦点， 如图3.2.1-11，连接，， ，由双曲线的定义，得 ， 所以 . 又点是圆上的点，圆的圆心为 ，半 径为1， 故 ， 从而 ， 当点，在线段上时上式取等号，即 的最小值 为 ． 65 设双曲线方程为,, 分别为双曲线的左、右焦点， 为平面上一定点， 为双曲线右支上任意一点. （1）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的同侧，则 的最 小值是 ，最大值不存在； （2）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的异侧，则 的最 小值是 ,最大值不存在. 66 【学会了吗丨变式题】 8.(2026·河南省信阳市期中)已知是双曲线的右焦点，是 的左支上 一点，，.当 周长最小时，该三角形的面积为( ) D A. B.3 C. D. 67 【解析】如图D 3.2.1-1,由已知得，，则， . 图D 3.2.1-1 设是双曲线的左焦点，连接, ， 68 根据双曲线的定义有 ，所以 ，当点是线段 与双曲线的交点 时，上式取等号，即最小，即 的周长最小，此 时，,所以 ，进而求得 . 由余弦定理得 ， 即，解得 ， 于是 . 69 新考法 情境应用 例20 新情境 地震观测［教材改编P120例2］ (2026·陕西省延安中学期中)地震台是 利用各种地震仪器进行地震观测的观测点，会先后接收到波、 波、面波三种信号， 有利于开展地震观测与地震科学研究.如图3.2.1-12，,两地震台相距100千米，在 地发生轻微地震后，,两地震台先后接收到信号，时间差为10秒，已知 波的传播 速度约为6千米/秒，则震源的轨迹方程为_ _______________________. 图3.2.1-12 70 图3.2.1-13 【解析】以所在直线为轴，中点 为原点建立平面直 角坐标系 ，如图3.2.1-13所示， 设震源坐标为，则 ， 因为，所以 ， 所以点 在双曲线的左支上， 可设双曲线方程为，则 , ，所以,，可得 ， 所以震源的轨迹方程为 . 71 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.(2026·黑龙江省哈尔滨市第十二中学校月考)已知曲线 表示双曲线， 则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知，，解得，所以实数 的取值范围 是 ． 72 2.(2026·广东省广州市培英中学期中)已知双曲线的焦点在 轴上，若该 双曲线的焦距为4，则 等于( ) C A.1 B. C.4 D.10 【解析】根据题意可知，双曲线的标准方程为 .（根据焦点位置对方程 变形）由双曲线的焦距为4，得，则有，解得 . . . 73 3.(2026·浙江省台州市期中)与椭圆共焦点且过点 的双曲线方程是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】椭圆的焦点坐标为 ， 设双曲线方程为，把 代入， 得，解得 ． 所求双曲线的方程是 ． 74 4.(2026·江西省南昌市第一中学期中)设,是双曲线的两个焦点， 为 坐标原点，点在上且，则 的面积为( ) B A. B.3 C. D.2 【解析】 （通性通法）由条件,,得 ,则 ,又 , 所以是以 为直角顶点的直角三角形. 于是得 . 又由双曲线的定义得 ， 两边平方得 ， 所以 . 故 . 75 （优解） 设,分别为双曲线的左、右焦点，则由题意可知 , ， 又，所以 ， 所以 是直角三角形， 所以（焦点三角形面积公式）（其中 ）. . . 76 5.[多选题](2026·华东师范大学第二附属中学期中)已知曲线 ，则下 列结论正确的是( ) ACD A.若,则是椭圆，其焦点在 轴上 B.若，则是圆，其半径为 C.若，则 是双曲线 D.若,，则 是两条直线 77 【解析】对于选项A，,,方程 可变形为 , 该方程表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确； 对于选项B，, 方程可变形为 ,该方程表示半 径为 的圆，故B错误； 对于选项C，, 该方程表示双曲线，故C正确； 对于选项D，,, 方程变形为 ,该方 程表示两条直线，故D正确.综上选 . 78 6.[教材改编P120例2][多选题]已知,两监测点间距离为800米，且 监测点听到爆炸 声的时间比 监测点迟2秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的是( ) BD A.爆炸点在以, 为焦点的椭圆上 B.爆炸点在以, 为焦点的双曲线的一支上 C.若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到 监 测点的距离为 米 D.若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到 监 测点的距离为680米 79 【解析】依题意，,两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比 监 测点迟2秒，设爆炸点为,则 ，所以爆炸点在以 , 为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确. 若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），所以 ,即 ,结合，可得 .所以C选项错误，D选项正确. 故选 . 80 7.(2026·四川省眉山市期末)已知动圆与圆，圆 : 中的一个外切，与另一个内切，则动圆圆心 的轨迹方程为 _ __________. 【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为 ， 由圆，可得圆心，半径 ， 由圆:，可得圆心，半径 . 根据题意，可得或 所以或 ， 可得 . 81 又因为，所以 ， 根据双曲线的定义，可得点的轨迹为以,为焦点的双曲线，且, ， 所以,，则 ， 所以动圆圆心的轨迹方程为 . 82 8.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）,经过点,焦点在 轴上； 【答案】由题意可得,双曲线的焦点在轴上,则可设双曲线方程为 , 点在双曲线上,,得 . 故双曲线的标准方程为 . 83 （2）与双曲线有共同的焦点,经过点 ； 【答案】 所求双曲线与双曲线 有共同的焦点， 设所求双曲线的方程为 ,（共焦点双曲线系方程） 又双曲线经过点，则有,解得 . 故双曲线的方程为 . . . 84 （3）经过两点， ． 【答案】设双曲线的方程为， ，（双曲线一般方程） 把两点， 代入， 得解得 所求的双曲线方程为 ． . . 85 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.已知点在曲线上，点在曲线上，点 在曲线 上，则 的最大值为( ) C A.6 B.8 C.10 D.12 86 【解析】不妨设的两个焦点分别是与 ,且 , 而这两点恰好是两圆和 的圆心，且两圆的半径分 别是, ， 所以, . 所以 的最大值为 . 87 10.[多选题](2026·重庆市大足中学期中)已知点是双曲线 的右支上一 点，，分别是双曲线的左、右焦点， 的面积为20，则下列说法正确的 有( ) ABD A.点的横坐标为 B.的周长为 C.大于 D.的内切圆半径为 【解析】在双曲线中，，， . 不妨设，， ， 由的面积为20，可得，即，由 ， 可得 ，故A正确； 88 由，且， ， 可得 ， 则的周长为 ，故B正确； ,结合余弦函数性质可得 , 故C不正确; 设的内切圆半径为,可得 （等面积法），可得，解得，故D正确．故选 ． . . 89 11.(2026·黑龙江省牡丹江市第一高级中学期中)如图3.2.1-1,, 是椭圆 与双曲线的公共焦点,, 分别是在第二、四象限的公共点.若四边形 为矩形，则双曲线 的方程是_ __________. 图3.2.1-1 90 【解析】由题可知，双曲线的焦点在轴上，设双曲线 的标准方程为 ,由椭圆方程及椭圆与双曲线的定义可知 , , , 所以, . 因为四边形 是矩形， 所以 , 所以,所以 , 所以 , 故双曲线的方程是 . 91 12.如图3.2.1-2所示，在平面直角坐标系中，， 分别为双曲线 的左、右焦点，过点作圆 的切线，与双曲线左、右 两支分别交于，两点.若,则 的值为________. 图3.2.1-2 92 【解析】由已知及双曲线的定义，得, , 连接,则 . 设与圆切于点，连接，则在中，, , , 于是 . 在 中，由余弦定理，得 . 于是,即 . 又，所以，解得 . 93 13.新情境 苗圃 (2026·上海市浦东新区月考)如图3.2.1-3，某苗圃有两个入口, ， ，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏性植物，现有若干树苗放在苗圃外 的处，已知，，以所在直线为轴， 中点为原点建立直角 坐标系. 图3.2.1-3 94 （1）工人计划将树苗运送至 处，请帮助工人指出从哪个入口运送最近，并说 明理由. 【答案】由题意可得，， ， ， ， 经过口时的最短距离为 ， 经过口时的最短距离为 . 因为,所以从 入口运送最近. 95 （2）工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口， 运输的最近距离 相等，求出点 所有可能的位置. 【答案】设点，已知 ， 可得 ， 所以点所有可能的位置是以， 为焦点的双曲线的右支在苗圃内的部分，则 ，即 ， 又因为， ， 所以点所有可能的位置是曲线 上的点. 96 图3.2.1-4 14.如图3.2.1-4，已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，第一象限内的点在双曲线上，点是线段的中点， 为 坐标原点． （1）若点在轴上，求点 的坐标； 【答案】由双曲线方程可知，， ，所以 ，故， . 若点在轴上，且点是线段的中点，则 点横坐标为2. 当时，，得 ， 由于点在第一象限，所以，故点的坐标为 . 97 （2）若与垂直，求直线 的方程． 【答案】 设,,，则 ①， 又与垂直，，， ， 所以 ②，（两直线垂直，则斜率之积为 ） ①②联立解得,，即， ， 所以直线的方程为 ， 即 ． 98 连接，在中， 为中位线， 因为，所以 , 所以 , 由双曲线的定义可得 ， 则 ， 则 ， , 所以,,所以 , 所以直线的方程为 ， 即 . 99 $