黑龙江省佳木斯市第一中学2026-2027学年高二上学期开学月考数学试题

**基本信息** 聚焦高二开学初知识衔接，以概率统计、立体几何、向量等核心内容为载体，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配开学学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|概率事件关系、不等式最值、圆锥母线长|基础概念辨析，如事件独立性判断| |多选题|3/18|统计直方图分析、解三角形性质|多维度辨析，如三角形锐角条件下取值范围| |填空题|3/15|向量投影、异面直线成角、正四面体与球|空间想象与运算结合，如异面直线中点距离| |解答题|5/77|三角综合、立体几何证明与体积、统计概率应用|分层递进，如竞赛成绩分析（数据意识）、翻折问题（空间观念）|

佳一中2025—2026学年度高二上开学初月考 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题(共8道小题，每题5分，共40分) 1．已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（    ） A．B，C互为对立事件 B．若，则 C．若A，B互斥，则 D．若A，B相互独立，则 2．若则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．4 B． C． D． 4．已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（    ） A．0.02 B． C．0.2 D．0.4 6．已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面，则（    ） A． B． C． D． 8．已知直四棱柱 的底面是边长为6的正方形， 8，点M是棱AA₁的中点，E是棱AB上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱 所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 二 .多选题(共3道小题，每题6分，共18分 ) 9．某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（    ） A．成绩落在区间的频率为0.03 B．这100名学生成绩的中位数为76.25 C．这100名学生成绩的众数为75 D．成绩低于60分的学生人数为5人 10．在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则是等边三角形 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 11．在棱长为的正方体中，点在底面内（含边界），为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A．满足平面的点的轨迹长度为2 B．若点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 C．的最小值为 D．若平面，则点是上靠近点的四等分点 三 、填空题(共3道小题，每题5分，共15分) 12．若单位向量的夹角为，向量，则在上的投影向量为________．（结果用表示） 13．如图，四面体ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________    14．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 四 .解答题(共5道大题，其中15题13分；16题、17题各15分；18题、19题各17分，共77分) 15．已知. (1)求的值： (2)设向量 ，求； (3)若，求的值. 16．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积； 17．南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照 分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率； (3)已知本次竞赛最终由 两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）.已知每一局比赛中 胜 乙 的概率均为 ，且每局比赛结果互不影响. 求甲获得冠军的概率. 18．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角； (2)若AC的长为，求的取值范围． (3)若D为线段BC延长线上一点，且，，求． 19．在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $高二上开学初数学试题答案 1.C 2.D3.C4.B 5.D 6.A 7.C8.D 9.BCD 10.BC 11.ACD 3。万9 12.2913.2或214.725 15【答案】()10：(2)2W4,6)-3 【解折】(1)由题设=(6，-3,2)-(2，-2,2）)=(4，-1,0)，所以ā6=2×4+-2)×←0+2×0=10： (2)由(1)6-a=(4,-1,0)-(2-2,2)=(2,1-2),又c116-a 所似子月之可得m=2a=4,即=名。 所以c-a=(4,2,-4)-(2,-2,2)=(2,4,-可，则e-d=V4+16+36=2W4: (3)由(1)@+6=(2k,-2,2)+(4,-1,0)=(2k+4-2k-12), a-2b=(2,-2,2)-(8,-2,0)=(-6,0,2), (46+6)1(a-26),则(a+bà-26]=-6(2k+4)+0+4=0, 所以8k+24=0,则k=-3, 16.(1)由题意知E、F分别BC、CP中点，则得PB/EF 因为EFc平面DBF,PBE平面DEF,所以PBII平面DEF. (2)由PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，则可以A点为坐标原点，以AB,AC,AP所在直 线为x,,x轴建立空间直角坐标系。 则4，o叭.t,oo.c0o.Pro,a2.p号o.o,r2 所以4=a0,2.e=吃F-（ 设平面DBP的一个法向量为=(x,yz), DE为=2=0 则 2 ,令x=1,则得=(2,0,1). DF6=-x++x=0 2 设直线PA与平面DE即所成角为0，则0=+MP-2」.5 Mm2x丙5， 故线PA与平面DEP所成角的正弦值为5 5 3)由2)可得0n-(2a2] 平面DEF的一个法向量为方=(2.0,1)， 所以点P到平面DEF的距离为d= D丽_1+2_5 55 三角形DEF的面积为5' 因此有三棱锥体积公式得，体积为】。 8 24 17.(1)由频率分布直方图得，(0.005+a+0.030+0.035+0.010)×10=1, 解得a=0.020,估计高一年级初赛成绩的平均数为 x=(55x0.005+0.020×65+0.030×75+0.035×85+95×0.010)×10=77.5, (2)[60,70)组与[70.80)组的频率比为0.2：0.3=2：3，因此抽样人数分别为2人与3人， 设五名学生为A、B、C、D、E,其中A、B在[60,70)组，C、D、E在[70.80)组， 因此样本空间=(AB)、(4,C)、(4D)、（4E)、(B,C)、(B,D)、(B,E)、(C,D)、(C,E) (D,》,n(@)=10,记有1名或2名学生成绩在[60,70)为事件N,N=(4,B叭(4C)、 (4D,(4)、(但C、(但D),(么，A=7因此根据古典概型的计算公式P-名 (3)设事件A为甲在第一局中获得胜利，事件4为甲在第二局中获得胜利，事件A为甲在 第三局中获得胜利，因此A为乙在第一局中获得胜利，A为乙在第二局中获得胜利，A 为Z在第三局中获得利，故P)-P心6)=P(6)-子P风)-P叫国)-P冈)=1-号-月 甲获得冠军的情况分为甲赢、甲输、甲赢：甲赢、甲赢：甲输、甲赢、甲赢。 即为事件44+44+A44, 因此r4石4+44+不4)-P4不)+P44)+P(4)=P()PG)P4)+ P(4)P(4)+P()P(4)P(4) 2 1心辽沙岁7 数P44++刻号号号号甘号号号 18.【答案】()3：2(-V3,23)-9-65 【详解】(1)正弦定理可得：(sinB+sinC)cosd-sinAcosB-sim4cosC=0, EsinBcos1-cosBsinA+sinCcosA-cosCsinA=0, 故sin(B-A)+sin(C-A)=0,则有sin(B-A)=sin(A-C), 又B-A∈(-元)，C-A∈(-元，)，故有B-A=A-C, 或(B-A)+(A-C)=π（舍去），或(B-A)+(A-C)=-π（舍去）， 则B+C=2A,又4B+C=,所以-行 (2)由正弦定理得 2SmB4B-sinc BC=3 2SinB 故 3 sinc 23sin(3B)33(CosB-1)V3 BC-AB=2SinB SinB 2SinB 2SinB 5- 221 在三角形ABC中 Be(0,20),tang∈0， B 3 2 所以BCAB的范围为 (3)设∠ACB=a,在AABD和aACD中， BD AD CD AD 由E孩定理可得仔合-⊙血-可 m管-amg-a,又0D 于是一 3sin sin(x-a) 3 sina 则 V3+15 2 tana=-9-65. 19【答案】(1)(1)因为∠BAD=60°，AB=2AD=25, 在△ABD中，由余弦定理，BD2=AD2+AB2-2AD×ABcos60°=9，BD=3, 所以AD+BD=AB2,即∠ADB=90°，所以AD⊥BD,因为平面PBD⊥平面BDC,平面 PBDA平面BDC=BD,PDC平面PBD,PD⊥BD,所以PD⊥平面BDC. 因为BCC平面BDC,所以BC⊥PD: (i)39 13 2)存在，正弦值最大值为2万 7 【详解】(i)设BC∩a=F,连接EF, 因为CDIla,CDc平面BCD,平面BCDNa=EF, 所以EFIICD 因为PE平分∠BPD,所以B距_PB_2, ED PD1 所以即2 CTBF=CD =2B-4 1 由(1)知，BC⊥BD,BD=3,BC=5,PD⊥平面BDC. 法1：以B为原点，BC,BD及垂直平面BCD所在的直线分别为x轴。y轴、2轴， 建立如图所示的空间直角坐标系B-, 则020.F5a0,ciao.P0a同图为F-g20小印-Q1, PC=(N5,-3,-5,设平面PEF(即a)的一个法向量为1=(x,z), 1.EF=0 所以 即等x-2y=0,令=3，则y=5,z-) 7.乎=0 y+3z=0 所以7=35，-， 设C到平面a的距离是d, 7.d_35-355-3 所以d= 3 13 所以点C到平面a的距离是 13 法2：由F=2 由西F元子得服=2Cm5, 3 所以4CFE的面积为片xCFxE=×5x2=5 23 3 由(1)知PD⊥平面BDC,BCC平面BDC,所以PD⊥BC, 又BC⊥BD,BDOPD=D,BD,PDc平面BDP,所以BC⊥平面BDP, 因为PBc平面BDP,所以BC⊥PB, 所以PF2=PB2+BP=4 3,即pp=250 3 4+1640 在aPBF中，由余弦定理得cos∠PEF=3三。5 =4,，所以sin☑PEr= 3 2x2x93 3 设C到平面PEF的距离为h, 因为-cw=Pc-啊· 所以x5 -xh, 32 34 所以h= 13 ,所以点C到平面a的距离是四 13 (2)以B为原点，BC,BD及垂直平面BCD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图广，示的空间直角坐标系B-严· 因为PD=5,设p5cos0,3,5sin0) 因为CN5,0,0,E(0,2,0). 所以B范=(0,2.0)，呼=(V5cos0.3V5sin0 5 设平面EP的一个法向量为而=(：，，名)， m.BE=0 2y=0 则 所以 mB驴=0 x×V3cos0+3y+3×V3sim0=01 解得=0，令x=sim0,则乙=-cos0, 所以m=(sin0,0,-cos0), 又因为C匣=(52,0，C⑦=(5cos0-5,3,5sim0, 设平面PCE的一个法向量为万=（名y2,), 苏C厘=0 所以 所以 -552+2y,=0 nCP=0 5×(V5cos0-月)+3y+石×5sin0=0 =(2sin0,3sin0,-(1+2c0s0)), 所以os(m,= m 2+cos 2+cose l√3sin20+4cos0+5V√-3cos'0+4cos0+8 令2+cos0=1,则t∈[l3], 所以os(m,训=了3+161-2 2 V-32+16-12 2 设f0=30+161-121 1 为厂()=126一3 -12022,1e3, + 所以当！即cas0=-时，0取得最小值号引 所a低明。 设锐二面角B-PE-C的大小为a, 因为na=-cos2<成>，所以如a≤25 7 所以锐二面角的正弦值的最大值为25，由正弦函数的单调性知角存在最大角。 7