专题7 第2章有理数运算的压轴题专题4新定义问题 【专题训练+难点突破+分层精练+思维拓展】2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数新定义问题，通过六类题型系统训练抽象运算、对数概念、数轴应用等，培养符号意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义符号运算|5题|自定义符号转化|从具体运算到符号抽象| |对数新定义|2题|乘方逆运算应用|指数与对数概念关联| |计算式新定义|2题|高斯取整等规则|运算规则迁移能力| |运算律新定义|5题|交换律结合律验证|运算性质的拓展探究| |数轴动点新定义|1题|正比点反比点判断|数形结合解决动态问题| |数轴距离新定义|4题|绝对距离双轴系|距离概念的多维延伸|

专题7 第2章有理数运算的压轴题专题4新定义问题 第一部分 题型分类训练 类型一 有理数的定义符号的新运算 1．现定义一种新的运算： ，例如，你按以上方法计算____． 【答案】8 【分析】根据新定义列出算式，先算出括号内的，再算括号外的，即可求得． 【详解】解： ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的加减运算，理解新定义运算是解决本题的关键 2．定义新运算“”：对于两个有理数、，定义，例如，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算法则，理解新定义运算法则是解题关键． 根据新运算的定义，将代入公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 3．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 4．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数，定义．小奇突发面想，也尝试定义一新运算符号“”，规则如下：，试运用此规则完成下列运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的四则混合运算； （1）根据新定义运算可得 ，再计算即可； （2）根据新定义运算先计算可得，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； 5．定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 【答案】(1)11 (2)7 (3)． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）根据，由构造出4，由6构造出5，写出定义的新运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）解：要使得数字和6在你定义的新运算下运算的结果为20， 我定义的新运算为：， ∴，符合题意． 类型二 有理数的新定义——对数 6．阅读下列材料，并解决下面的问题: 我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若则叫做以为底的对数，记为，且具有性质： 其中且 根据上面的规定，请解决下面问题: (1) _______ ；(请直接写出结果) 已知，则______；（用含y的代数式来表示） (2)已知请你用含m的代数式来表示n，其中(请写出必要的过程). 【答案】(1)1；2； (2) 【分析】（1）根据乘方逆运算的法则解答即可； （2）先将所求的式子变形为，再根据乘方逆运算的法则求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：1；2；； （2）∵， ∴ . 【点睛】本题考查了有理数的乘方，正确理解乘方逆运算法则是关键. 7．新定义：若，则，称为以为底的的对数，简记为，其满足运算法则：（，）．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为? 【答案】． 【分析】本题考查了有理数乘法，新定义运算，根据题意，按照题目的运算法则计算即可，正确理解对数运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 类型三 有理数的计算式的新定义 8．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键． 先根据新定义求出，再根据代入计算即可． 【详解】解：因为表示不超过的最大整数， 所以． ． 故答案为：． 9．（新定义）对于有理数x，定义，： (1)求的值； (2)解方程． 【答案】(1) (2)或2 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，一元一次方程的解法及绝对值，能对x的取值范围进行准确的分类是解题的关键． （1）根据题中定义的新运算列式求解即可； （2）根据题中定义的新运算，建立关于x的方程，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴； （2）解：根据题意得， ∴当时，， 解得，符合题意； 当时，，无解； 当时，， 解得符合题意． 综上，或2． 类型四 有理数的运算律相关的新定义 10．阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 【答案】(1) (2)， (3) 解：因为，， 所以， 所以这个新定义的运算满足交换律． 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据各式可得； （2）根据新运算的定义列式，先计算乘法、去括号，再计算加减法即可得； （3）根据新运算的定义可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：观察各式可知，， 故答案为：． （2）解： ． ． （3）略 11．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【答案】(1)同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加；结果等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，反例看解析 (4) 【分析】本题考查定义新运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键： （1）由给出的算式，得到两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）根据新运算的法则，进行计算即可； （3）不适用，举出一个反例即可； （4）根据，定义一种新运算即可． 【详解】（1）解：两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）解：； （3）不适用，例如：，，， 故结合律在有理数的“”运算中不适用； （4）∵，， 故可以定义． 12．新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． 13．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算：①______，②______； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1)①，② (2) (3) 适合．举例如下： 交换律  ，， 所以， 故交换律成立； ，， 所以， 故结合律成立． 【分析】（1）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可． （3）举例运算说明即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）略 【点睛】本题考查了实数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． 类型五 数轴上的动点新定义 14．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（），M为线段的中点，给出如下定义：若，则称A是B的“正比点”；若，则称A是B的“反比点”，例如，时，A是B的“正比点”；时，A是B的“反比点”． (1)若，则M对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）； ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”； ③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”． (2)若，且M是A的“正比点”，求的值； (3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，求的值． 【答案】(1)2；③ (2) (3)或 【分析】（1）由得，由M为线段的中点得M表示的数为．①由，得A不是M的“正比点”，故①不正确．②由，得A不是M的“反比点”，故②不正确．③由，得B是M的“正比点”，故③正确．④由，得B不是M的“反比点”，故④不正确． （2）由M为线段的中点，得．由M是A的“正比点”，得，故，再计算即可． （3）利用定义可得，得，分两种情况：①，得，解方程即可求解；②，得，解方程即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． ∵M为线段的中点， ∴M表示的数为． ①∵， ∴A不是M的“正比点”， ∴①不正确． ②∵， ∴A不是M的“反比点”； ∴②不正确． ③∵， ∴B是M的“正比点”， ∴③正确． ④∵， ∴B不是M的“反比点”， ∴④不正确． 故答案为：2，③． （2）∵M为线段的中点， ∴． ∵M是A的“正比点”， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：． （3）∵， ∴a，b异号， ∵M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”， ∴或， 化简都得出：， ∴， 分两种情况：①， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或， ∴； ②， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，非负数的性质，线段的中点，绝对值方程等知识，利用“正比点”和“反比点”是解题关键． 类型六 数轴上的新定义——距离 15．对于数轴上的三个点A，B，C给出如下定义：A，B两点到C点的距离之差的绝对值称为A，B两点关于点C的绝对距离，记为．若P，Q为数轴上的两点（点P在点Q的左边），且PQ＝9，点C表示的数为，若，则点P表示的数为______． 【答案】或． 【分析】根据绝对距离的定义分析可得：点C在点P和点Q之间，用含a的式子表示出和，列式求解即可． 【详解】解：设点P表示的数为a，则点Q表示的数为 当点C在线段左侧或者右侧时， ， ∴点C在点P和点Q之间， 当点C在点P和点Q之间时，如图所示： ，， ∴， ， 解得：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，根据题意得出点C在点P和点Q之间，并用数形结合思想表示出和的值是解题的关键． 16．设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 【答案】(1)①3；②3； (2) 解：根据题意，得，， ∴ 则：与之间的距离为定值，值为3． 【分析】本题考查数轴上的点表示数，新定义以及整式的加减运算，读懂题意是解题关键； （1）①直接根据新定义求解即可； ②根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ②当A表示时，， 当B表示1.5时，， 则：与之间的距离为， 故填①3，②3； （2）略 17．有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： (1)________，________； (2)已知，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)3，2 (2)3 (3)0或8 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握的定义，的定义是解题关键． （1）根据的定义，的定义即可求解； （2）先根据新定义得出关于x的方程求得x，进一步根据的定义即可求解； （3）先根据新定义得出关于x的方程求得x即可求解． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：3；2； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴ 解得或8． 18．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点、的距离：如果、两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，；如果、两点分别位于两个数轴上，定义． 利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”、“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：________；与的距离为________； (2)现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回，其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了________次； ②当乙蚂蚁跳跃次时，在双轴系上是否存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍．若存在，直接写出点表示的数，不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，点表示的数为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数混合运算的应用，解绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离． （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第次跳到所表示的点即可；②点表示的数为，根据题意得出，蚂蚁乙跳跃次时，即跳到，蚂蚁甲跳到，然后根据点的位置分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， 与的距离为：， 与的距离为：． 故答案为：；． （2）①解：由题意及跳跃规律可得， 蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，即跳到， 此时蚂蚁甲共跳跃了：（次）． 故答案为：． ②解：存在． 由题意及跳跃规律可得， 当蚂蚁乙跳跃次时，即跳到； 又， 此时蚂蚁甲跳到． 设点表示的数为，故分两种情况： 情况一：当点与蚂蚁甲同轴时， 由题意可得，， 此时方程无解； 情况二：当点与蚂蚁乙同轴时， 由题意可得，， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，，不符合，故舍去； 当时，即， 解得，， 综上，或． 答：存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍，点表示的数为或． 第二部分 专题提优训练 1．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，先比较和的大小，由于，即，故使用定义，代入计算即可． 【详解】解：当， 时， ∵， ∴， ∴， 故选A． 2．若定义一种新的运算：，请利用此定义计算：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法运算法则，属于基础题型．明确新运算的计算法则是解决这个问题的关键．根据新运算的运算法则首先求出的值，然后再计算后面的值，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴原式． 故答案为： 3．定义一种运算符号“※”：m※例如：4※根据定义的运算法则，解决下列问题： (1)※______； (2)※※______． 【答案】(1)24 (2)18 【分析】（1）根据定义的运算列式计算即可； （2）根据定义的运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：24； （2）解：※ ， 原式※ 故答案为： 4．定义如下运算：，，根据定义计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键；根据新定义的运算分别求出，再把两个值加减即可． 【详解】解：，， 则； 故答案为：． 5．定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 【答案】14 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，根据题目中给出的定义代入数字进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：14． 6．定义一种运算符号“※”： ．例如：，根据定义的运算法则，解决下列问题： （1）______； （2）______． 【答案】 10 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，新定义运算，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）先求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2） ， ． 故答案为：10． 7．用“”，“”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了新定义运算，绝对值与相反数，解题的关键是理解题意．根据新运算的定义，先计算括号内的运算，再根据规则逐步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：2025． 8．在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给定义进行求解即可； （2）根据题意先得出a、b、c的值，然后再代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 9．在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，， ∵， ， ∴， ∴新定义的运算“”满足交换律，即成立． (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，解一元一次方程，求代数式的值，解题的关键是掌握新定义的运算法则； （1）根据给出的式子总结规律：，即可得到答案； （2）根据（1）中总结的规律进行计算和验证； （3）利用（1）中的规律列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为： （2） ， ∴； （3）∵ ∴， 解得 10．我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为， (3)或． 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义得到点到点，点的距离均为，根据两点间的距离进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为； （2）依题意，得点到点，点的距离均为， 因为点表示的数为2，点在点的左侧， 所以点表示的数为， 点表示的数为， （3）根据题意知，当点运动到点处时，如图1， 则点表示的数为， 此时取得最小值，为， 当点运动到点处时，如图2， 则点表示的数为， 此时取得最大值，为， 所以可取的整数为或． 11．阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是[，]的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A______的3倍点（填写“是”或“不是”）； (2)、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，且，若点是的倍点，则点表示的数为_________． (3)在（2）的条件下，数轴上一动点在、之间，表示的数为，且满足（为常数），若是的倍点，求和的值； 【答案】(1)是； (2)或． (3)，． 【分析】本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握3倍点的定义和绝对值的性质是解题的关键． （1）根据3倍点的定义，计算点到点的距离和点到点的距离，判断是否满足3倍关系． （2）先根据绝对值的非负性求出、的值，再设点表示的数为，根据3倍点的定义列方程求解． （3）先根据（2）确定、的值，再根据是的3倍点列方程求出，进而求出的值． 【详解】（1）解：由图可知，点A表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是． 则，． ∵， ∴点A是的3倍点， 故答案为：是． （2）解：∵，且，， ∴，， 解得，． 设点E表示的数为， ∵点E是的3倍点， ∴，即． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不符合，舍去）． 综上，点E表示的数为或． 故答案为：或． （3）解：由（2）知，， ∴表示，表示． ∵是的3倍点，表示的数为， ∴，即， ∴， 解得或； ∵在之间， ∴（舍去）； ∴． 12．如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：． (1) ； (2)定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数； ②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值． 【答案】(1) (2)①或（k为任意整数） ②t的所有可能取值为或或或 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性进行求解即可； （2）①设M在跑道上对应的有理数为x，根据“友谊点”的定义，分两种情况列出一元一次方程求解即可； ②设点与O点对称，根据“友谊点”的定义，分Q点过点前和Q点过点后两种情况，列出一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由，可知， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：①设M在跑道上对应的有理数为x，则， 根据定义，可得或， 可列方程为或， 解得：或， 由于M点可绕圆周顺时针或逆时针运动， ∴x可加上任意n圈， 故M在跑道上对应的有理数为：或（k为任意整数）． ②∵点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动， 同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动． 根据“友谊点”的定义，当P为O，Q两点的“友谊点”时， OQ必须为O、Q两点间的较短圆弧，如图所示，点与O点对称． 由于Q点运动到O点后停止，所以本题考虑两个主要情形： Ⅰ：Q点过点前； Ⅱ：Q点过点后． 先讨论Ⅰ情形： 由题意可得， 此时， 所以， 则． ∴当时，即， 解得：； 当时，即， 解得：． 再讨论Ⅱ情形： 此时P点已第一次过O点， ∴， ∴， 当时，即， 解得：； 当时，即， 解得：． 综上所述：t的所有可能取值为或或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7 第2章有理数运算的压轴题专题4新定义问题 第一部分 题型分类训练 类型一 有理数的定义符号的新运算 1．现定义一种新的运算： ，例如，你按以上方法计算____． 2．定义新运算“”：对于两个有理数、，定义，例如，那么______． 3．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数，定义．小奇突发面想，也尝试定义一新运算符号“”，规则如下：，试运用此规则完成下列运算． (1)； (2)． 5．定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 类型二 有理数的新定义——对数 6．阅读下列材料，并解决下面的问题: 我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若则叫做以为底的对数，记为，且具有性质： 其中且 根据上面的规定，请解决下面问题: (1) _______ ；(请直接写出结果) 已知，则______；（用含y的代数式来表示） (2)已知请你用含m的代数式来表示n，其中(请写出必要的过程). 7．新定义：若，则，称为以为底的的对数，简记为，其满足运算法则：（，）．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为? 类型三 有理数的计算式的新定义 8．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则_________． 9．（新定义）对于有理数x，定义，： (1)求的值； (2)解方程． 类型四 有理数的运算律相关的新定义 10．阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 11．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 12．新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 13．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算：①______，②______； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 类型五 数轴上的动点新定义 14．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（），M为线段的中点，给出如下定义：若，则称A是B的“正比点”；若，则称A是B的“反比点”，例如，时，A是B的“正比点”；时，A是B的“反比点”． (1)若，则M对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）； ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”； ③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”． (2)若，且M是A的“正比点”，求的值； (3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，求的值． 类型六 数轴上的新定义——距离 15．对于数轴上的三个点A，B，C给出如下定义：A，B两点到C点的距离之差的绝对值称为A，B两点关于点C的绝对距离，记为．若P，Q为数轴上的两点（点P在点Q的左边），且PQ＝9，点C表示的数为，若，则点P表示的数为______． 16．设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 17．有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： (1)________，________； (2)已知，求的值； (3)当时，求的值． 18．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点、的距离：如果、两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，；如果、两点分别位于两个数轴上，定义． 利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”、“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：________；与的距离为________； (2)现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回，其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了________次； ②当乙蚂蚁跳跃次时，在双轴系上是否存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍．若存在，直接写出点表示的数，不存在，说明理由． 第二部分 专题提优训练 1．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 2．若定义一种新的运算：，请利用此定义计算：_______． 3．定义一种运算符号“※”：m※例如：4※根据定义的运算法则，解决下列问题： (1)※______； (2)※※______． 4．定义如下运算：，，根据定义计算的值为______． 5．定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 6．定义一种运算符号“※”： ．例如：，根据定义的运算法则，解决下列问题： （1）______； （2）______． 7．用“”，“”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 8．在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 9．在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 10．我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 11．阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是[，]的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A______的3倍点（填写“是”或“不是”）； (2)、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，且，若点是的倍点，则点表示的数为_________． (3)在（2）的条件下，数轴上一动点在、之间，表示的数为，且满足（为常数），若是的倍点，求和的值； 12．如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：． (1) ； (2)定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数； ②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $