专题4 有理数运算中的压轴专题1——规律问题 专项训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数规律问题，通过八类题型系统构建“观察-归纳-验证-应用”方法体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数的规律|3题|数字特征归纳法、代数推理证明|从具体数到字母表示，体现从特殊到一般| |乘方小数点规律|2题|底数小数点移动与幂的关系归纳|乘方运算性质的具象化应用| |乘方末尾数字规律|3题|周期循环法（4为周期）|乘方运算结果特征的规律性提炼| |数塔数阵幻方|4题|行列/对角线关系分析、递推法|数形结合思想的初步应用| |数轴运动规律|4题|行程模型构建、中点公式应用|数轴与方程思想的综合运用| |简化运算规律|7题|裂项相消、公式法（平方差/求和）|运算技巧的结构化总结|

专题4 有理数中的压轴专题1——规律问题 类型一 数的规律 1．【探索数的奇妙规律】 小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果可以被整除，那么这个四位数可以被整除．例如，数，，能被整除，则能被整除；数，，不能被整除，则不能被整除． (1)根据规律，判断：①；②；③，其中可以被整除是 （填序号）； (2)如果可以被整除，证明四位数可以被整除； (3)判断是否可以被整除，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) 证明：∵可以被整除， 故设， 对于四位数， 则这个四位数 将代入，得， 整理得； ∵能被整除， ∴能被整除． (3) 可被整除， 理由：对于四位数，， 对于四位数，， 故 ； ∵能被整除， 故能被整除． 【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数混合运算的应用，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意，逐个计算，即可得出答案； （2）根据可以被整除，设，将四位数整理得出，将代入，得出，即可证明； （3）根据题意得出，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①，，能被整除，则能被整除； ②，，不能被整除，则不能被整除； ③，，能被整除，则能被整除； 故可以被整除是①③． 故答案为：①③． （2）略 （3）略 2．观察下面三行数，回答下面的问题： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……；① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，……；② 5，﹣1，11，﹣13，35，﹣61，……；③ （1）第①行的第8个数是 　 　，第n个数是 　 　； （2）第②行的第8个数是 　 　，第n个数是 　 　；第③行的第8个数是 　 　； （3）取每行数中的第k个数，这三个数的和能否等于﹣507？如果能，请你求出k的值，如果不能，请说明理由； （4）若第③行连续三个数的和恰为﹣183，直接写出这三个数分别为 　 　． 【答案】（1）256，；（2）258，，；（3）能，；（4）． 【分析】（1）通过观察可知第①行的第n个数是，依此可得答案； （2）观察可知第②行的第n个数等于对应第一行的第n个数加2，第③行的第n个数等于第二行对应数减5后的相反数，由此可得答案； （3）根据规律表示后，由题意列出方程求解，只要是正整数就可以，反之则不能； （4）根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：（1）观察可知，第①行的第n个数是， 所以第①行的第8个数是256， 故答案为：256，； （2）观察可知第②行的第n个数等于对应第一行的第n个数加2， 所以第②行的第8个数是258，第n个数是， 观察可知第③行的第n个数等于第二行对应数减5后的相反数， 所以第③行的第n个数是 故答案为：258，，； （3）三行数中的第k个数依次为：，，， 所以， 即， 因为， 所以，能，； （4）假设这3个数依次为，，， 所以 即， 即， 即， 所以，，这3个数依次为：． 【点睛】本题考查探索与表达规律，有理数乘方的符号法则．能根据题中已给数据找到对应规律是解题关键． 3．数学的迷人之处，在于数字背后蕴藏的奥秘．通过观察、归纳与验证，我们可以从最平常的数字中，探索出简洁而美妙的规律．例如，给定一列式子，并规定： （为正整数）． 例如：， 照此规律，解答下列问题： (1)______，______； (2)求与的积； (3)利用你发现的规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数混合运算，数字类规律探索，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据公式算出答案即可； （2）根据公式和（1）中的结果算出答案即可； （3）把（1）（2）的结果结合在一起发现，结果是5个数一个循环，进而得到答案即可； 【详解】（1）解：根据公式得：，， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， ． （3）解：根据题意，得， 可以发现，5个式子为一个周期，循环出现， ， ， 个完整周期， ． 类型二 乘方运算中小数点的移动规律 4．请你先计算，，，，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（    ） A．不移动 B．向左（右）移动一位 C．向左（右）移动两位 D．向左（右）移动三位 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，先分别计算出，，，的结果，再比较结果可得规律，解题此题的关键是计算出各数的结果，再找出规律． 【详解】解：，，，， 底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是向左（右）移动三位， 故选：D． 5．（1）根据已知条件填空： ①已知，那么______，______； ②已知，那么______，______，______． （2）观察上述计算结果，我们可以得出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动____________位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动____________位． （3）已知，，．填空： ①______； ②______． 【答案】（1）①，；②，，；（2）①两，②三；（3）①，② 【分析】本题考查的是有理数的乘方，通过观察底数与幂的小数点移动规律是解题的关键． （1）直接利用有理数的乘方运算法则计算即可； （2）观察 “底数的小数点移动位数” 与 “幂的小数点移动位数” 的对应关系，总结规律； （3）运用（2）中总结的规律计算即可． 【详解】解：（1）①已知，则，； ②已知，则，，； 故答案为：①，；②，，； （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动两位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动三位； 故答案为：①两，②三； （3）①已知，则； ②已知，则． 故答案为：①，②． 类型三 乘方运算中末尾数字规律 6．观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是________． 【答案】5 【分析】本题是规律探索问题，考查了乘方的运算，发现规律是关键． 通过观察和的末位数字的循环规律，分别求出和的末位数字，然后相加得到和的末位数字． 【详解】的末位数字循环周期为4：当指数除以4余1时末位为2，余2时末位为4， 余3时末位为8，余0时末位为6． 的末位数字循环周期为4：当指数除以4余1时末位为3，余2时末位为9， 余3时末位为7，余0时末位为1． 计算：余3，对应末位为8． 计算：余3，对应末位为7． 8+7=15，末位数字为5． 故答案为：5． 7．观察下列算式： ……通过仔细观察，的末尾数字是（  ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 先找出7的幂的个位数字的排列规律，再计算求解． 【详解】解；观察等式知：的个位数字分别为：循环出现， ，， 的末尾数字是0， ∴的末尾数字是1， 故选：A． 8．观察下列算式：；；；；；……，则的末尾数字是______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了数字类规律、有理数的乘方运算等知识点，根据题目所给算式，总结出末尾数字变化规律，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ；；；；；……， 观察可知，每4个算式为一组，末尾数字分别为2，4，8，6； ， ∴是第组第三个，末尾数字为8， 即 ∴的末尾数字为1， 故答案为：1． 类型四 数塔、数阵规律 9．将正整数1，2，3，4，5，6，…．按如图数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如表示14，则2023用数对表示为（        ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给图形分析找规律即可． 【详解】解：由图可知， 第一行一个数字， 第二行3个数字，按照从小到大排列， 第三行5个数字，按照从大到小排列， 第四行7个数字，按照从小到大排列， 由上可得，第n行最大的数是， ， 在第45行， ∵第45行数字的个数为：，这一行的数字按照从大到小排列，这一行的最大数为， 是从左到右数第个数字， 用数对表示为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数字规律题，准确分析计算是解题的关键． 10．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第7行第3个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，最后即可求出第行第3个数字，进一步求出第7行第3个数即可． 【详解】 解：将杨晖三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，即为莱布尼兹三角形． 杨晖三角形中第行第3个数字是， 则“莱布尼兹调和三角形”第行第3个数字是， 所以第7行第3个数（从左往右数）为． 故选：． 【点睛】 本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规律． 类型五 幻方规律 11．幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．幻方历史悠久，是中国传统游戏．如图是一个3×3的幻方的一部分，则a+b＝_____． ﹣6 a ﹣8 ﹣5 b ﹣9 【答案】-3． 【分析】首先根据图示，判断出它是一个三阶幻方，然后根据：三阶幻方的中心对称两数之和＝2×中间格的数，分别求出a、b的值各是多少，再把求出的a、b的值相加即可． 【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方， 由a+（﹣9）＝﹣5×2，可得：a＝﹣1， 由b+（﹣8）＝﹣5×2，可得：b＝﹣2， ∴a+b＝（﹣1）+（﹣2）＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 12．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．    （1）若，则A处的数值为________； （2）①用含m的代数式表示________； ②x的值为________ 【答案】 1 【分析】（1）由题意得，再将代入，即可得答案； （2）先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出A、B，即可得到答案． 【详解】（1）由图可知，每个三角形三个顶点处数的和是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）① ； ② ． 故答案为：①，②． 【点睛】本题考查有理数的加法，解题的关键是利用每个三角形三个顶点处的数之和相等解决问题． 类型六 数轴上点的运动规律 13．已知数轴上两定点A，B对应的数分别为和10，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A，B同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒1.6个单位长度和2个单位长度，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒，……，按如此规律，则它们第一次相遇所需的时间为（） A．19秒 B．9秒 C．36秒 D．45秒 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的动态点问题，解题关键是根据爬行规律计算出每次运动后两只蚂蚁之间距离的变化． 初始距离为18单位，相对速度为3.6单位/秒．第一次相向爬行后距离减少至14.4单位，之后每两次爬行（一次反向和一次相向）净减少3.6单位．需要4个这样的周期使距离减至0，总爬行次数为9次，时间之和为45秒． 【详解】解：∵A、B距离为单位， 相对速度单位/秒． 第一次相向爬行1秒后，距离减少单位， 剩余距离单位． 之后每两次爬行（一次反向和一次相向）净减少3.6单位， 设需要n个周期使距离减至0， 则，解得． 总爬行次数为次， 总时间秒． ∴它们第一次相遇所需的时间为45秒． 故选：D． 14．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过计算前几次跳动后点到原点的距离，归纳出第次跳动后点到原点距离的规律，代入计算即可 ． 【详解】解：∵数轴上，两点的距离为，即， 第次跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； … 以此类推，第次跳动后点与原点的距离是， 当时，． 类型七 数轴上点的平移或滚动规律 15．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)①D；② (2)①2019；②，1010；③． 【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题； （2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，，则点表示，点表示1010；③利用中点坐标公式即可解决问题； 【详解】（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为， 故选：D． ②一机器人从数轴原点处开始，第1次向左跳一个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：． （2）①对称中心是1， 表示的点与表示2019的点重合， 故答案为：2019； ②对称中心是1，， 则点表示，点表示1010， 故答案为：，1010； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴、有理数的加减混合运算、中心对称等知识，利用数形结合的思想来找到规律，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 类型八 简化有理数运算的规律 16．探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律； （2）从前面几个式子中找出规律，用n表示即可； （3）利用拆项求求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；． （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：， 故答案为：． （3） ． 17．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2） __________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①，② 【分析】考查了图形的变化类问题，有理数的混合运算； （1）根据图形结合规律直接写出答案即可； （2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可； （3）由（1）的结论可知是 个连续奇数的和，得出结果； （4）① 是连续个奇数的和，直接得出结果； ② 是连续个奇数的和，根据结论计算得出结果 【详解】解：（1）由图片知： 第1个图案所代表的算式为： ， 第 2 个图案所代表的算式为： ； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； 依此类推：第5个图案所代表的算式为： 故答案为：． （2）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； 当 、4 时分别为： 、； 故当 ， 即 时， （3）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； （4）①； ② 18．【阅读与思考】张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们打开眼界，……，‘代’的方法用途很广，它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．”例如，有些有理数的运算蕴含着有趣的规律，这些运算规律也可以用代数的方法表示． (1)①              ②              ③              在下列两组有理数中，符合上述式子蕴含的运算规律的是 （填写正确选项前的字母代号）： A．2、        B．、7 (2)对于有理数a、b，请你“用字母来代替数”，表示出（1）中式子蕴含的有理数之间的特殊的运算规律： ； (3)若有理数m、n符合上述运算规律，试判断有理数、是否一定符合上述运算规律？并说明理由． 【答案】(1)A (2)； (3) 若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律，理由如下： 由题意得，符合运算规律， ∵，， ∴此时 ∴若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律． 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算： （1）观察式子可知，两数的积等于1减去这两个数的和的2倍，这样的两个有理数就符合对应的运算规律，据此求解即可 （2）观察式子可知，两数的积等于1减去这两个数的和的2倍，这样的两个有理数就符合对应的运算规律，据此求解即可； （3）由题意得，符合运算规律，而可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：，； ，； ∴A组符合规律，B组不符合题意； 故答案为：A； （2）解：由题意得，， 故答案为：；； （3）略 19．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 20．研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算． 根据题干中式子的变化规律写出第个式子； 根据中的规律写出第个式子； 根据中式子的变化规律可得：原式，再根据分数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第个式子， 第个式子， 第个式子， 第个式子， ， 第个式子， 故答案为：； （2）解：由中的规律可知，第个式子为， 故答案为：； （3）解：由 . 21．阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 22．观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 【答案】(1)91 (2) (3)2485 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 23．观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，即可解出此题． （2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 所以第④个式子右边应该是：； （2）解：由观察可得， 第n个式子应该就是：； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 有理数中的压轴专题1——规律问题 类型一 数的规律 1．【探索数的奇妙规律】小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果可以被整除，那么这个四位数可以被整除．例如，数，，能被整除，则能被整除；数，，不能被整除，则不能被整除． (1)根据规律，判断：①；②；③，其中可以被整除是 （填序号）； (2)如果可以被整除，证明四位数可以被整除； (3)判断是否可以被整除，并说明理由． 2．观察下面三行数，回答下面的问题： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……；① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，……；② 5，﹣1，11，﹣13，35，﹣61，……；③ （1）第①行的第8个数是 　 　，第n个数是 　 　； （2）第②行的第8个数是 　 　，第n个数是 　 　；第③行的第8个数是 　 　； （3）取每行数中的第k个数，这三个数的和能否等于﹣507？如果能，请你求出k的值，如果不能，请说明理由； （4）若第③行连续三个数的和恰为﹣183，直接写出这三个数分别为 　 　． 3．数学的迷人之处，在于数字背后蕴藏的奥秘．通过观察、归纳与验证，我们可以从最平常的数字中，探索出简洁而美妙的规律．例如，给定一列式子，并规定： （为正整数）． 例如：， 照此规律，解答下列问题： (1)______，______； (2)求与的积；(3)利用你发现的规律，求的值． 类型二 乘方运算中小数点的移动规律 4．请你先计算，，，，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（    ） A．不移动 B．向左（右）移动一位 C．向左（右）移动两位 D．向左（右）移动三位 5．（1）根据已知条件填空： ①已知，那么______，______； ②已知，那么______，______，______． （2）观察上述计算结果，我们可以得出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动____________位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动____________位． （3）已知，，．填空： ①______；②______． 类型三 乘方运算中末尾数字规律 6．观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是________． 7．观察下列算式： ……通过仔细观察，的末尾数字是（  ） A．1 B．3 C．7 D．9 8．观察下列算式：；；；；；……，则的末尾数字是______． 类型四 数塔、数阵规律 9．将正整数1，2，3，4，5，6，…．按如图数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如表示14，则2023用数对表示为（        ）． A． B． C． D． 10．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第7行第3个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 类型五 幻方规律 11．幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．幻方历史悠久，是中国传统游戏．如图是一个3×3的幻方的一部分，则a+b＝_____． ﹣6 a ﹣8 ﹣5 b ﹣9 12．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．    （1）若，则A处的数值为________； （2）①用含m的代数式表示________； ②x的值为________ 类型六 数轴上点的运动规律 13．已知数轴上两定点A，B对应的数分别为和10，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A，B同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒1.6个单位长度和2个单位长度，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒，……，按如此规律，则它们第一次相遇所需的时间为（） A．19秒 B．9秒 C．36秒 D．45秒 14．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 类型七 数轴上点的平移或滚动规律 15．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 类型八 简化有理数运算的规律 16．探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 17．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2） __________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 18．【阅读与思考】张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们打开眼界，……，‘代’的方法用途很广，它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．”例如，有些有理数的运算蕴含着有趣的规律，这些运算规律也可以用代数的方法表示． (1)①              ②              ③              在下列两组有理数中，符合上述式子蕴含的运算规律的是 （填写正确选项前的字母代号）： A．2、        B．、7 (2)对于有理数a、b，请你“用字母来代替数”，表示出（1）中式子蕴含的有理数之间的特殊的运算规律： ； (3)若有理数m、n符合上述运算规律，试判断有理数、是否一定符合上述运算规律？并说明理由． 19．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 20．研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 21．阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 22．观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 23．观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $