高一数学 第一章 集合与常用逻辑用语 单元试卷（培优版）-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 高一必修一数学集合与常用逻辑用语单元培优提升卷，覆盖集合运算、命题否定、充要条件等核心知识，梯度设计适配单元复习，助力数学思维与符号表达能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合交并补、子集个数、命题否定|结合Venn图考查集合关系，体现数学眼光的直观想象| |多选题|3/18|充分条件判断、命题真假|辨析充要条件与命题否定，强化数学思维的逻辑推理| |填空题|3/15|集合元素个数、参数范围|通过集合包含关系求参数，训练数学语言的符号表达| |解答题|5/77|集合与逻辑综合应用|综合参数讨论与充要条件证明，提升数学思维的系统性与创新性|

2026-2027学年高一年级必修一数学单元自测(人教B版专用) 第一章 集合与常用逻辑用语 培优提升卷 建议用时：90分钟，满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，属于基础题． 利用并集定义先求出，由此能求出． 【解答】 解：全集，集合，， ， ． 故答案选：． 2.若集合，则的真子集个数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】本题考查集合的真子集个数的求法，考查真子集的性质等基础知识，属于基础题． 先求出集合，然后根据集合的真子集定义写出真子集，从而得到集合的真子集的个数． 【解答】 解：集合，， 集合的真子集为，，， 所以的真子集个数为． 故选C． 3.命题：，，则命题的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【分析】本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题． 根据含有一个全称量词命题的否定的定义判断即可． 【解答】 解：由全称量词命题否定的定义可知，命题：，的否定为“，”． 故选：． 4.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 本题考查命题的概念与真假，充分不必要条件的应用，属于基础题． 先求出命题“，”为真命题的充要条件，进一步即可判断． 【解答】 解：若，，即，，所以当且仅当， 所以对比选项可知，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是． 故选：． 5.若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由图可知阴影部分表示的集合是集合与集合的交集． 因为全集，集合，所以或． 因为集合，所以． 故选：． 6.已知，则的一个充分不必要条件为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】本题考查充分不必要条件的应用，属基础题． 设，则的一个充分不必要条件为的真子集所表示的数的范围，结合选项即可得解． 【解答】 解：，设， 则的一个充分不必要条件为的真子集所表示的数的范围， 由选项可知符合， 故选D． 7.设“，”，“”，则是成立的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、全称命题真假的判定、不等式恒成立问题，属于基础题．求出命题为真命题时的取值范围，再根据充分、必要条件的判断求出结果． 【解答】 解：命题：，是真命题时，满足， 解得， 因为， 所以是成立的充分不必要条件． 故选A    8.某电脑安装了“”和“”两个独立的操作系统每个系统可能正常或不正常，至少有一个系统正常该电脑才能使用．设表示“”系统正常，表示“”系统正常．以表示系统正常，表示系统不正常，用，分别表示“”和“”两个系统的状态，表示电脑的状态，则 (    ) A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 【答案】C  【分析】本题考查并集运算，属于基础题．利用列举法能求出． 【解答】 解：由题意可得表示两个系统都不正常，电脑不能使用；  或表示两个系统一个正常，一个不正常，电脑能正常使用；  表示两个系统都正常，电脑能正常使用．  表示电脑能正常使用，所以C正确．  故选C． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.以下满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【分析】本题考查了集合的子集和真子集的概念，是基础题．集合一定要含有，，三个元素，可以再多一个元素，多的元素只能从、中选一个，根据要求写出集合即可． 【解答】 解：可以为，，． 故选AC． 10.下列结论不正确的是(    ) A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，”是假命题 C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】BC  【分析】利用有理数与自然数的关系，结合充要条件判断；取特殊值判断；结合勾股定理以及充要条件判断；命题的否定形式判断； 本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定等基础知识，是基础题． 【解答】 解：自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确； ，所以“，”是真命题，B错误； 因为，所以，是直角三角形，但是是直角三角形不一定意味着，所以“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，C错误； 全称量词命题的否定是存在量词命题，满足命题的否定形式，所以D正确． 故选BC． 11.已知全集，，，，，，则下列选项正确的为(    ) A. B. 的不同子集的个数为 C. D. 【答案】ABC  【分析】 本题主要考查了利用图表示集合的基本运算，属于中档题． 根据已知条件作出图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案． 【解答】 解：由题意可知，， 因为， 所以集合中有，，集合中没有元素，， 因为， 所以既不在集合中，也不在集合中的元素只有，，， 因为， 所以集合与的公共元素只有， 画出图，如图所示： 所以，， 所以，故AC正确； 因为集合中有个元素， 所以的不同子集的个数为，故B正确； 因为，故D错误． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，则集合中的元素个数为          ． 【答案】  【分析】 本题考查集合中元素的个数，属于基础题． 由题意一一列举出集合中元素，即得． 【解答】 解：当时， 当时，；当时，；当时，；当时，，当时，； 当时， 当时，，当时，；当时，；当时，，当时，； 当时， 当时，，当时，；当时，；当时，，当时，； 当时， 当时，，当时，；当时，；当时，，当时，； 当时， 当时，，当时，；当时，；当时，，当时，； 去掉重复的值，可知集合 中的元素个数为． 故答案为： 13.已知集合，，若，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【分析】 本题主要考查集合间的关系，属于中档题． 根据，分类讨论是否是空集，列出不等关系求解即可． 【解答】 解：， 时，，此时符合题意； 时，， 综上所述； 故答案为：． 14.若“不等式成立”的充分不必要条件为“”，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【分析】 本题考查充分不必要条件的应用，属基础题． 【解答】 解： 解不等式 得， 因为“不等式成立”的充分不必要条件为“”， 所以或 解得  所以实数的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合． 若集合中有两个元素，求实数的取值范围 若集合最多有两个子集，求实数的取值范围． 【答案】解由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且， 即，且 故实数的取值范围是，且． 集合最多有两个子集，即中至多有一个元素， 即方程无解或只有一解， 当时，方程为，解得，集合 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，此时 若关于的方程没有实数根，则中没有元素，此时． 综上可知，实数的取值范围是或．  16.本小题5分 已知集合，集合． 若，求实数的取值范围； 是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】解：根据题意，得． 由或， 则或 解得或 所以实数的取值范围是或 假设存在实数，使得是的必要不充分条件， 所以，即， 则． 解得： 故存在实数，使得是的必要不充分条件．  17.本小题分 设集合，． 当时，求与； 当时，求实数的取值范围． 【答案】解：， 当时，， 所以，； 因为，分以下两种情况讨论： 当时，， 解得， 当时，由可得， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或．  18.本小题分 已知：存在，使为假命题． 求实数的取值集合； 设为非空集合．若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】解：，使为假命题， 则，为真命题， 即关于的方程无解， 当时，方程有解，故不成立， 当时，，解得， 所以实数的取值集合． 为非空集合， 则，解得， 因为是成立的充分不必要条件， 所以，则 解得， 故的取值范围为．  19.本小题分 已知集合，． 若，求实数的取值范围； 若命题：“，都有”为真命题，求实数的取值范围； 若，求实数的取值范围． 【答案】解：因为，可得， 则， 解得， 所以实数的取值范围为； 由命题：“，都有”为真命题，则， 当时，， 解得， 当时，则， 此时方程组无解， 综上所述，实数的取值范围为； 因为， 则或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为．  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级必修一数学单元自测(人教B版专用) 第一章 集合与常用逻辑用语 培优提升卷 建议用时：90分钟，满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.若集合，则的真子集个数为  (    ) A. B. C. D. 3.命题：，，则命题的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 5.若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为(    ) A. B. C. D. 6.已知，则的一个充分不必要条件为(    ) A. B. C. D. 7.设“，”，“”，则是成立的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.某电脑安装了“”和“”两个独立的操作系统每个系统可能正常或不正常，至少有一个系统正常该电脑才能使用．设表示“”系统正常，表示“”系统正常．以表示系统正常，表示系统不正常，用，分别表示“”和“”两个系统的状态，表示电脑的状态，则 (    ) A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.以下满足，则(    ) A. B. C. D. 10.下列结论不正确的是(    ) A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，”是假命题 C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 11.已知全集，，，，，，则下列选项正确的为(    ) A. B. 的不同子集的个数为 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，则集合中的元素个数为          ． 13.已知集合，，若，则实数的取值范围是          ． 14.若“不等式成立”的充分不必要条件为“”，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合． 若集合中有两个元素，求实数的取值范围 若集合最多有两个子集，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知集合，集合． 若，求实数的取值范围； 是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 17.本小题分 设集合，． 当时，求与； 当时，求实数的取值范围． 18.本小题分 已知：存在，使为假命题． 求实数的取值集合； 设为非空集合．若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19.本小题分 已知集合，． 若，求实数的取值范围； 若命题：“，都有”为真命题，求实数的取值范围； 若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $