广东揭阳第一中学、汕头金中海湾学校联考2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试卷

2026-2027学年度高三级摸底考试数学科参考答案 1.A2.A3.D4.D5.D6.A7.C8.D 9.ABD 10.BC 11.ACD 12.240 13.306 14.0 15.(1)证明：由题意，PA⊥矩形ABCD所在的平面，AB,ADc平面ABCD, 则有PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊥AD 以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系， 2 C B 可得4(0,00），B(20,0),C(21,0).D(0,10).P(0,02) …2分 可得CD=(-2,0.0）,PC=(2,L-2）,由于N是AB的中点，可得NL0,0), 设PW=APC=(21,元，-21)<0≤元≤1)，可得M(2元，元，2-2)，则m=(1-2,-元，2元-2)， 由w160,吸而-20-2刘=0，得2-号 …2分 可得M是PC的中点，可得PM=MC,得证.5分（几何法请酌情给分） (2)解：当CM=2MP时，可 PN-PC ,设M(cyz) M214 白4，PW=6-2).P元=21-2).可55 …6分 可得B=(2,00) MM三3设平面MMB的法向量为G) AB·n=2x=0 -214 可得( -x+写+=0.令=4.可i=04- …9分 可得平面PAB的法向量为D=(0,10)】 。。。。。。。。 …10分 AD.n cos(D,n)- 4417 AD 1×√717 4v17 可得 ，则平面PAB和平面MAB夹角的余弦值为17. …13分 16.解：(1)bcosC+ccos B=2 acos A」 由正弦定理得sin BcosC+sin Ccos=2 sin Acos,即sin(B+C)=2 sin Acos A 1 :在△ABC中，sin(B+C)=sinA>0∴cosA= A= 2,又0<A<元， 3,…5分 b V3 -=2 ·A=π sin B sinC (2) :A=3,Q=V3,结合正弦定理，得 3 b=2sin B,c=2sinC. …7分 在△ABC中， s血C=n(i+)=smB+) b+e=2an8+2snC-2an8+2n(8+写}-3sn8+5cs8=25sn8+8 …12分 0<B 0<C= ,△ABC为锐角三角形， -B<<B< 3 6 . …13分 则363， .-15分 17.解：(1)已知数列a,}的前n项和为S。,4,=8,2S,=(a1-) 当n=2时，2(a+a)=2×(8-1),a+a,=7 当n=1时，2a=4-1,.a=2.42=5 …3分 当n≥2时，2S=(n-l(a,-),2a,=2S,-2S1=n(a1-)-(n-10(a,-1） 0-m-1）4+l-t出 iatD)a,=ndmn-1.n ntl n at1) nn+1. …6分 an+1) 当n=1时也符合上式，数列nJ是常数列，… 7分 a+1=3.a=3n-1”3n+1 (2)由(1)知n, 2 ,…9分 2 2-2(11} b,=9m+3m-2(3n+2)(3n-33n-13n+2) …12分 通临80号1非2 _n 3n+2…15分 18.解：1)由PF+PF=4,所以2a=4,c=1,即a=2,6=a2-c2=3, 2+y=1 故点P的轨迹为椭圆，且其方程为43； …3分 y=kx-k x2 y2 =1 2)设A(,4),B(3),联立4+3 x1+X2= 8k2 3+4k2 4k2-12 则（6+4)产-83x+4-12=0,故=3+4 ,…6分 当1时，=554 27,%=-1=-3 3 7,故 op=- 4 y=- 故直线OD的方程为： …9分 x= 、、3 k1= =k-3.1 (i)证明：因为x-12x-1, =6-3.1 2x2-1 8k2 飞+k=2张-3131=2k-3+8-2 26-x-为+/3、J 3+4k2~2 -=2k-1 2x-12x2-1 24k2-12 8k2 故 3+4k23+4k+】 …13分 3 y=kx-k yN=3k 联立(r=4 ，则（七w=4 w2=k-月 k2= w-1 2 ，故 …15分 故+人=2，放，，人成等差数列。…17分（其他解法请酌情给分 19.1)当a=3时，函数()=3r-血x,定义域为x>0,求导得 ()=3- ,令f'(四)=0，解 0<x 当 3时，()<0，（单调递减：当>3时，∫'(）>0，f(单调递增， 1 因此，(：)在一3处取得极小值，也是最小值， --=1+ln3 最小值为 、3 3×3 ,无最大值： …4分 》对阳到=-h家号将四=a-0.方因g餐./-0e (0,+0上有解， x=(a>0)0<x< 解得a ，当 a时，f()水0，f(四单调递减，当>a时，f()>0,f)单 调递增， x= 1+lna 因此，f()在a处取得极小值， …6分 对8()=e-ar+2,求导得8'()=e-a,因为8（存在极值，则8'(）=0有解，解得x=na( a>0), 当x<lna时，8'()<0,8()单调递减，当x>1na时，8'()>0,8()单调递增， 因此，8()在x=lna处取得极小值3（血a)=a-alna+2 …8分 因为(x和8()极值相等，则1+lna=a-alna+2,即(a+血a-a-1=(a+l血a-)=0,因 为a>0,因此lna-l=0,即a=e,因此，实数a的值为e: …10分 (3)证明：由h()=r-f()+a=x-x(a-lh)+a,令(x)=l-ax+lnx-a+1=0. 即2+nx-2ax=0,因为函数h(t)有两个不同的极值点，。， 故2+lhx-2a=00,2+lhx-2a=0@, -12分 X2二t 令X③，则七=，代入②得：2+lnt+lnx=2a,由O①得：2+ln=2, 2+=I 两式相减：h1=2a些亿-)因此2m=11,因此四 nx=1-27 t-1,因此 又七=，得h=lnt+nx,则 nx =In/+Int-2 +1-12,要证>e,即证nx+2n>-3, 2*2a+-2小 即证t-1 21nt+3.nt>3 ,化简得 t-11 即C2-m+3n13-24h+n>3-3.m2+n3-3.因n>2+ 1942-5t+1_(4t-10t-0 令0n13m022gR为55风型 2t+1, t=龙>1 X1 mo)=（-1=90 因此t-1>0,4t-1>0, t(2t+1)月 ,因此m(0在山，+∞)上单调递增。 所以m()>m(0)=0,因此m(>0,得证. …17分（其他解法请酌情给分 2026-2027学年度高三级摸底考试数学科试卷 命题人：揭阳一中高三数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知（i为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 3．在中，，若，则实数x的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．直线与圆相切，则b的值是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．已知正数m，n满足，则的最小值为（ ） A．24 B．18 C．16 D．12 7．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ） A． B． C． D． 8．若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是（ ） A．如果，那么， B．如果A与B互斥，那么， C．如果A与B相互独立，那么 D．如果A与B相互独立，那么， 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，，为抛物线E上两动点，下列说法正确的是（ ） A．l的方程为： B．若轴，则 C．若直线的斜率为1，则 D．以为直径的圆与l相切或相交 11．如图，已知正方体的棱长为2，M，N，P分别为棱，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A．若O是正方体表面上的动点，且，则长度的最大值为3 B．四面体的体积为 C．平面截正方体所得截面的面积为 D．平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．二项式的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 13．等比数列的前n项和为，且，，则__________． 14．已知函数（，），若为偶函数，的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列．将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数的图象，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）如图，矩形所在的平面，点N是的中点，点M是线段上的一动点，且． （1）若，证明：； （2）当时，求平面和平面夹角的余弦值． 16．（本小题15分）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且． （1）求角A的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围． 17．（本小题15分）已知数列的前n项和为，，． （1）证明：是常数列； （2）设，求数列的前n项和． 18．（本小题17分）设，两个点的坐标分别为，，动点P满足，其中O为坐标原点，记动点P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）若直线m的斜率为，设线段的中点为D，求直线的方程； （ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记，，的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列． 19．（本小题17分）已知函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值； （3）若函数有两个不同的极值点，，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $