5.1.2 弧度制【提升题】同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦弧度制核心概念，通过基础认知、概念深化、综合应用三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的进阶，培养数学运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|角度弧度互化、扇形基本计算|选择题1-8题，如角度化弧度（第4题）、扇形面积（第1题），夯实运算能力| |概念深化|终边相同角、象限角判定|多选题9-11题结合填空题12-14题，如终边相同角集合（第12题），强化推理意识| |综合应用|扇形最值、实际问题建模|解答题15-16题，如铭牌截面面积优化（第16题），体现数学语言表达现实世界的应用意识|

5.1.2 弧度制【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.已知圆心角为36°的扇形的弧长为则该扇形的面积为（      ） A. B. C. D. 2.关于弧度制，下列说法正确的是 （      ）  A.正角或者负角的弧度数都是正数 B.四分之一圆所对的圆心角是 C.角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于2π D.用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 3.下列说法中，错误的是(　　) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 4.－210°化为弧度是 （      ）  A.－ B.－ C.－ D.－ 5.将弧度化成角度为（      ）  A.30° B.60° C.120° D.150° 6.下列各角中，终边相同的角是 （      ）  A.π和240° B.-和314° C.-π和π D.3和3° 7.（2025-2026·四川遂宁高一上期末）将弧度化为角度为（） A. B. C. D. 8.（2024-2025·湖南衡阳高一下期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.下列命题正确的是 （      ）  A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.5弧度的角是第四象限角 C.α是第一象限角，则-α也是第一象限角 D.-1弧度角是锐角 10.下列命题正确的是 （      ）  A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为｛α|α=2kπ，k∈Z｝ B.终边落在y轴上的角的集合为｛α|α=90°+kπ，k∈Z｝ C.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315° D.第三象限角的集合为 11.下列说法正确的是 （      ）  A.角的终边在第二象限或第四象限的充要条件是 B.圆的一条弦的长度等于半径，则这条弦所对的圆心角为 C.经过4小时，时针转了 D.若角和角的终边关于对称，则， 三、填空题（共3小题） 12.终边落在图中阴影部分(包含边界)的角的集合为(用弧度制表示)                   .  13.                   度. 14.在直径为20cm的圆中，的圆心角所对弧的长为                    cm. 四、解答题（共2小题） 15.已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R. (1)若α＝，R＝6cm，求该扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为12 cm，问当 α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积． 16.某企业欲做一个介绍企业发展的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10 m，OB＝x m(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30m，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x的函数解析式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 弧度制【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知圆心角为36°的扇形的弧长为则该扇形的面积为（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为36°=所以该扇形的半径为r==4， 因此该扇形的面积为S=×4=. 2.关于弧度制，下列说法正确的是 （      ）  A.正角或者负角的弧度数都是正数 B.四分之一圆所对的圆心角是 C.角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于2π D.用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 【答案】B 【解析】正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，A错误；整圆的圆心角是2π，故四分之一圆所对的圆心角是，B正确；角的终边顺时针旋转一周得到的角是－2π，角的终边逆时针旋转一周得到的角是2π，C错误；无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，D错误．故选B. 3.下列说法中，错误的是(　　) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【答案】D 【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，对于D，长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，故D错误． 4.－210°化为弧度是 （      ）  A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】B 【解析】－210°＝－210×＝－.故选B. 5.将弧度化成角度为（      ）  A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】C 【解析】rad＝×°＝120°.故选C. 6.下列各角中，终边相同的角是 （      ）  A.π和240° B.-和314° C.-π和π D.3和3° 【答案】C 【解析】对于A选项，=120°，不合题意； 对于B选项，-=-36°，314°-(-36°)=350°，不合题意； 对于C选项，π-=4π，符合题意； 对于D选项，3≈3×57.30°=171.90°，171.90°-3°=168.90°，不合题意. 7.（2025-2026·四川遂宁高一上期末）将弧度化为角度为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由弧度与角度的换算关系得,. 8.（2024-2025·湖南衡阳高一下期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由150分钟，时针转一圈为12小时=720分钟， 得时针转过的圈数为. 因为时针转一圈的弧度数为 故转过的弧度数为. 又因为时针顺时针转动， 所以弧度数为负，即. 答案为D. 二、多选题（共3小题） 9.下列命题正确的是 （      ）  A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.5弧度的角是第四象限角 C.α是第一象限角，则-α也是第一象限角 D.-1弧度角是锐角 【答案】BC 【解析】A选项，1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角，A错误. B选项，因为<5<2π，所以5弧度的角是第四象限角.B正确. C选项，因为α是第一象限角，即2kπ<α<2kπ+，k∈Z，所以-2kπ-<-α<-2kπ，k∈Z，-2kπ<-α<-2kπ+，k∈Z.所以-α也是第一象限角.C正确. D选项，因为-1弧度角是负角，所以不是锐角.D错误. 10.下列命题正确的是 （      ）  A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为｛α|α=2kπ，k∈Z｝ B.终边落在y轴上的角的集合为｛α|α=90°+kπ，k∈Z｝ C.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315° D.第三象限角的集合为 【答案】AC 【解析】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为，故A正确；由于角度制和弧度制不能混用，故B错误；所有与45°角终边相同的角可以表示为，则在-720°~0°范围内，取k=-2，-1，得α=-675°，α=-315°，故C正确；第三象限角的集合为，故D错误. 11.下列说法正确的是 （      ）  A.角的终边在第二象限或第四象限的充要条件是 B.圆的一条弦的长度等于半径，则这条弦所对的圆心角为 C.经过4小时，时针转了 D.若角和角的终边关于对称，则， 【答案】ABD 【解析】对于，若，则或故角的终边在第二象限或第四象限，充分性成立，易知必要性也成立，故正确； 对于，圆的一条弦的长度等于半径，故由这条弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以这条弦所对的圆心角为，故正确； 对于，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，所以经过4小时应旋转，故错误；易知正确. 故选. 三、填空题（共3小题） 12.终边落在图中阴影部分(包含边界)的角的集合为(用弧度制表示)                   .  【答案】 【解析】结合图象，设终边落在阴影部分(包含边界)的角是α，满足条件的角的集合是 . 13.                   度. 【答案】 【解析】由弧度与角度的换算关系得,. 14.在直径为20cm的圆中，的圆心角所对弧的长为                    cm. 【答案】 【解析】由弧长公式l＝｜α｜R可得，弧长为×＝(cm). 四、解答题（共2小题） 15.已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R. (1)若α＝，R＝6cm，求该扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为12 cm，问当 α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积． 【答案】解：(1)l＝ αR＝×6＝2π(cm)， 即扇形的弧长为2π cm. (2)依题意，得2R＋l＝12，则l＝12－2R， 扇形的面积S＝lR＝(12－2R)R＝－R2＋6R， 所以当R＝3 cm时，S有最大值， 此时弧长l＝6 cm，得 α＝＝2， 即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为9 cm2. 16.某企业欲做一个介绍企业发展的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10 m，OB＝x m(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30m，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x的函数解析式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值． 【答案】解：(1)根据题意，可算得＝x·θ(m)，＝10θ(m)． 因为BA＋CD＋＋＝30， 所以10－x＋10－x＋xθ＋10θ＝30， 所以θ＝(0<x<10)． (2)依据题意，知y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝θ×102－θx2， 化简得y＝－x2＋5x＋50＝－＋. 所以当x＝时，ymax＝(m2)． 故当x＝时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为m2. 学科网（北京）股份有限公司 $