第3章实数培优卷2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 浙教版数学七年级上册第3章实数培优卷，覆盖无理数识别、平方根运算等核心知识点，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配新授课巩固与能力提升，体现数学抽象与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|无理数概念、平方根表示、实数估值（如第4题数轴定位）|结合生活情境（如第7题黄金比），注重概念辨析| |填空题|6题/18分|实数比较、新定义运算（如第14题）、无理数小数部分|融入数学文化，考查知识迁移能力| |解答题|8题/72分|实数分类、平方根与立方根综合（如第18题）、实际应用（如第20题长方形拼接）|设置阅读理解题（如第21题华罗庚求立方根），培养推理意识与应用能力|

浙教版数学七年级上册 第3章 实数 培优卷 一、选择题（每小题3分，共30分）(共10题；共30分) 1．（3分）（2026七下·融安期中）在实数、、π、、0.1212212221…（两个1之间依次多一个2）中，其中无理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（3分）（2026七下·常德期末）下列各式正确的是 (　　) A． B． C． D． 3．（3分）（2026七下·恩平期中） “16的算术平方根是4”，可用式子表示为（　　） A．（±4）2=16 B． C． D． 4．（3分）（2026七下·惠城期中）数轴上表示的点A的位置应在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 5．（3分）（2024八下·玉州期中） 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点所表示的数为（　　） A．2 B． C． D． 6．（3分）（2026·连云港）已知 以下对p的值估算正确的是（　　） A．3 < p <4 B．4 < p <5 C．5 < p <6 D．6 < p <7 7．（3分）（2025八上·东坡期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则下列估算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）（2026七下·江油期中）下表是利用计算器算出x与的对应值： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，若求的值，结果保留整数，则结果为（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 9．（3分）（2026七下·长沙期中）已知x满足|x|<π（x是整数），则x所有可能的值的绝对值之和为（　　） A．0 B．6 C．12 D．14 10．（3分）（2024七上·宁波期中）实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分）(共6题；共18分) 11．（3分）（2026·临高模拟）比较大小：　 　（填“”“ ”或“”）． 12．（3分）（2026七下·吉林期中） 如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为　 　． 13．（3分）（2025八上·开江期中）今年芳芳的奶奶给芳芳元压岁钱，芳芳想：“的算术平方根是多少呢”请你帮芳芳写出的算术平方根为　 　． 14．（3分）（2026七下·中山期中）定义新运算“ ”： ，则　 　． 15．（3分）（2026·遂宁）实数在数轴上对应点的位置如图所示，则　 　填“”、“”或“” 16．（3分）若 的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2024=　 　. 三、解答题（本大题有8小题，8+8+8+8+8+10+10+12共72分）(共8题；共72分) 17．（8分）（2025七下·永福期中）把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，，． 正有理数集合：｛ …｝ 非正整数集合：｛ …｝ 负分数集合： ｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝ 18．（8分）（2025七下·湘潭期中）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为2． （1）（4分）求m的值； （2）（4分）求的平方根， 19．（8分）（2025七上·武汉月考）（1）（4分）若有理数x，y满足|x|＝8，|y|＝3，且|x+y|＝|x|+|y|，求x+y的值； （2）（4分）若a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5，求的值． 20．（8分）（2024七下·上思期中）小梅用两张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为900cm2的正方形，如图所示，按要求完成下列各小题． （1）求长方形硬纸片的宽； （2）小梅想用该长方形硬纸片制作一个体积512cm3的正方体的无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用，求缺少的硬纸片的面积． 21．（8分）（2026七下·蓬江期中）综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： （1）（4分）填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； （2）（4分）仿照明杰的方法求238328的立方根． 22．（10分）（2025七下·防城期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： （1）（5分）和； （2）（5分）和 23．（10分）（2026七下·江油期中）阅读下列材料： ∵，即； ∴的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： （1）（5分）的整数部分是　 　，小数部分是　 　； （2）（5分）若，其中：a是整数，．求的值． 24．（12分）（2024七下·庐江期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3． （1）（3分）仿照以上方法计算：=　 　；=　 　． （2）（3分）若，写出满足题意的x的整数值　 　． （3）（3分）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1． 对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程． （4）（3分）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是　 　． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：无理数有：，， 0.1212212221…（两个1之间依次多一个2） ，共3个， 故选：B. 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，据此找出无理数，即可得出答案． 2．【答案】D 【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解：A、是求算术平方根，所以是8，故选项错误。 B、 ，故选项错误； C、负数开三次方根还是负数，即-7，故选项错误； D、 ，故选项正确。 故选：D. 【分析】根据算术平方根和立方根的定义逐项判断即可. 3．【答案】B 【知识点】求算术平方根 【解析】【解答】解：由题意可得： 16的算术平方根是4用式子表示为 故答案为：B 【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案. 4．【答案】B 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴点A的位置应在2与3之间 故答案为：B 【分析】估算无理数的范围即可求出答案. 5．【答案】D 【知识点】实数在数轴上的表示 【解析】【解答】解：∵ABCD为矩形，，， ∴BC=AD=1，∠ABC=90°， ∴， 又∵AC与AM均为以点为圆心的圆的半径， ∴， ∵A点为-1， ∴M点为， 故答案为：D. 【分析】利用勾股定理求出AC的长，再根据同圆半径相等可得AM的长，进而结合数轴上两点间的距离公式即可求解. 6．【答案】C 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：，且， ， ，即 ， 不等式三边同时加 ，得，即 ． 故答案为：C. 【分析】先化简 ，然后估算无理数的取值范围，即可得到 的取值范围解答即可． 7．【答案】C 【知识点】无理数的估值；近似计算的实际应用 【解析】【解答】∵ 2.2 2 = 4.84 ， 2.32 = 5.29 ， 4.84 <5<5.29 ， ∴ 2.2<<2.3， ∴1.2<-1<1.3， ∴ 即， 故选：C. 【分析】 根据计算 的近似值，再估算黄金比的值，最后与选项中的分数比较确定正确选项. 8．【答案】D 【知识点】计算器在数的开方中的应用 【解析】【解答】解：由表格可知： ∵18.42=338.56， ∴． ∵18.92=357.21， ∴1.892=3.5721，即． 因此，． 故答案为：D . 【分析】先根据表格中的x与x2的对应关系，找到338.56对应的算术平方根为18.4；再根据小数点移动规律，由18.92=357.21推出1.892=3.5721，得到；最后将两个结果相加并按要求保留整数，得出答案为20． 9．【答案】C 【知识点】实数的绝对值；绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解：∵π≈3.14，|x|<π且x为整数， ∴-3.14<x<3.14， ∴符合条件的整数x为-3，-2，-1，0，1，2，3， 分别取绝对值：|-3|=3，|-2|=2，|-1|=1，|0|=0，|1|=1，|2|=2，|3|=3， 求和：3+2+1+0+1+2+3=12． 故答案为：C． 【分析】先根据π≈3.14把绝对值不等式|x|<π转化为取值范围-3.14<x<3.14，再根据x是整数列出全部符合条件整数-3，-2，-1，0，1，2，3，最后依据绝对值求法算出每个数的绝对值并相加，得到总和12． 10．【答案】A 【知识点】绝对值的非负性；实数的绝对值 【解析】【解答】由数轴可知， ∴ ∴ 故答案为：A. 【分析】本题考查绝对值得化简，首先根据数轴判断a，b得大小，从而得到绝对值里每个整式得正负性，然后逐个化简整理即可. 11．【答案】 【知识点】实数的大小比较 【解析】【解答】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【分析】本题考查二次根式的大小比较，对于两个均为正数的二次根式，可通过比较二者平方的大小来判断原数的大小关系，平方值更大的原数也更大。分别计算和的平方值，比较两个平方结果的大小，即可得出两个数的大小关系。 12．【答案】3 【知识点】算术平方根的实际应用 【解析】【解答】解：设正方形A、B、C的边长分别为a、b、c， 由题意，a2=7，c2=15， ∴，. ∵正方形由内到外依次嵌套， ∴a<b<c，即 ∵，，且b为整数， ∴b=3 故答案为：3. 【分析】先根据正方形面积公式得到边长的范围，再利用“由内到外的嵌套关系”得到边长的大小关系，结合无理数的估算在范围内找出整数边长. 13．【答案】30 【知识点】算术平方根的实际应用 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴的算术平方根=， 故答案为：30． 【分析】根据算术平方根的概念即可得出答案. 14．【答案】4 【知识点】求算术平方根 【解析】【解答】解：根据题意： ； 故答案为：4. 【分析】本题采用新定义运算的形式考查算术平方根.解题关键是明确运算 的意思是ab等于a与b的乘积加1的算术平方根，代入数据即可求解. 15．【答案】 【知识点】实数在数轴上的表示 【解析】【解答】解：由数轴可知， ∴， ∴． 故答案为：<. 【分析】通过数轴上点的位置得到，即可得到，比较大小解答即可． 16．【答案】1 【知识点】无理数的估值；无理数的混合运算 【解析】【解答】解：，， ，所以 故应填：1 . 【分析】注意无理数的小数部分都是正数，所以的整数部分为3、小数部分为，而的整数部分为、小数部分变成，所以的小数部分还是，的小数部分还是。 17．【答案】解：，，， 正有理数集合：{，，，，…} 非正整数集合：{，0，，…}； 负分数集合：{，，…}； 无理数集合：{，…}． 故答案为：，，，；，0，；，；. 【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念；有理数中的“非”数问题 【解析】【分析】先利用绝对值的性质和去括号的计算方法化简，再利用正有理数、非正整数、负分数和无理数的定义逐项分析判断即可. 18．【答案】（1）解：∵和是某正数m的两个平方根， ∴， ∴， ∴​​​​​​​ （2）由题意，得：， ∴； 由（1）知：， ∴的平方根为． ​​​​​​​​​​​​​​ 【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；立方根的概念与表示 【解析】【分析】 （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可列出关于a的方程，求出a的值，进而求出m的值； （2）根据立方根的定义求出的值，再根据2a+b的值，最后求出2a+b的平方根即可． （1）解：∵和是某正数m的两个平方根， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，得：， ∴； 由（1）知：， ∴的平方根为． 19．【答案】（1）解：∵ |x|＝8，|y|＝3， ∴ |x+y|＝|x|+|y| =11， ∴x+y=11或x+y=-11. （2）解：∵ a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5， ∴a+b=0，cd=1，=5， ∴=-1，m=5或-5， 当m=5时， =0-1+（-1）×5=-6； 当m=-5时， =0-1+（-1）×（-5）=4； 因此的值为-6或4. 【知识点】相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法；实数的倒数 【解析】【分析】（1）根据题意得|x+y|=11，再根据绝对值的性质求出x+y的值即可. （2）根据题意得a+b=0，cd=1，从而得=-1，再代入代数式求值即可. 20．【答案】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，∴x=2y，且x2=900 ∴x=30， ∴y=15， （2）该正方体的边长为：cm， 共需要5个边长为8cm的面，总面积为：5×82=320， ∴剩余的纸片面积为：900﹣320=580cm2， 【知识点】求算术平方根；立方根的概念与表示；开立方（求立方根）；立方根的实际应用 【解析】【分析】（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据 拼接成一个面积为900cm2的正方形， 列出方程即，求得x与y的值，即可得到答案．（2）根据题意，先求出该立方体的边长为8cm，再求出5个边长为8cm的正方形的面积，进而求得剩余的纸片面积． 21．【答案】（1），，两，1 （2）解：∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划去后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62. 【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）；立方根的实际应用 【解析】【解答】（1）解：∵ ∴64的平方根是±8，立方根是4； ∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数字是1， 故答案为：±8，4，两，1； 【分析】（1）如果一个数x3=a，则x就是a的立方根；如果一个数x2=a（a≥0），则x就是a的平方根；据此求解64的平方根和立方根，再根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字； （2）模仿题干提供的解题步骤，先确定238328的立方根是几位数，再根据238328的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数． （1）解：∵ ∴64的平方根是，立方根是； ∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数字是1， （2）解：∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划去后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62， 验证：． 22．【答案】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 【知识点】实数的大小比较；无理数的估值 【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用作差法求出，再判断出，从而可得； （2）参照题干中的定义及计算方法利用作差法求出，再判断出，从而可得． （1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 23．【答案】（1）3； （2）解：∵52<33<62，即， ∴，即， 又∵，其中a是整数，0<b<1， ∴a=15，， ∴ 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：(1)∵32<14<42，即， ∴的整数部分是3，小数部分是 ． 故答案为：3；. 【分析】（1）先根据平方数估算的范围，由32<14<42推出；再根据整数部分和小数部分的定义，确定整数部分为3，小数部分为； （2）先估算的范围，由52<33<62推出；再结合的形式，确定整数部分a=15，小数部分；最后将a，b代入2a+b计算，得到结果． 24．【答案】（1）2；5 （2）1，2，3 （3）解：第一次：，第二次：，第三次：， ∴第3次之后结果为1； （4）255 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，5； （2）解：∵，，， ∴或或， 故答案为：1，2，3； （3）解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， ∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255． 故答案为：255. 【分析】（1）根据算术平方根的定义、估算无理数大小的方法和新规定可得答案； （2）根据，，即可得； （3）根据新规定逐步计算即可； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255． 学科网（北京）股份有限公司 $