第3章 实数 单元卷 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学实数单元复习培优卷，90分钟100分，覆盖无理数、平方根等核心知识，通过分层题型与综合应用考查数学抽象、运算能力及创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、平方根性质、数轴表示|基础概念辨析，如第2题无理数识别、第7题平方根关系| |填空题|6/18|零指数幂、绝对值、新定义运算|运算与抽象结合，如11题实数混合运算、16题“整数部分”规律探究| |解答题|7/52|数轴动点、网格面积、新定义应用|综合能力提升，如23题动点问题（方程思想）、22题“根整数”创新应用|

第3章 实数 单元全真模拟培优卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算： 的结果是（　　） A．1 B． C．0 D．-1 2．下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D． 3． 介于两个连接整数（　　）之间． A．27和29 B．3和5 C．4和5 D．5和6 4．已知：，且a，b为两个连续的整数，则（　　） A． B． C． D． 5． 已知，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．如图，实数在数轴上表示时，位于哪两个字母之间（　　） A．A与E B．A与B C．B与C D．C与D 7．已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，则这个正数为（　　） A．4 B．±7 C．﹣7 D．49 8．下列命题中，正确的是（　　） A．两个无理数的和是无理数 B．两个无理数的积是实数 C．无理数是开方开不尽的数 D．两个有理数的商有可能是无理数 9．已知 、 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 10．代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　） A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．计算：(π+1)0+| -2|-( )-2=　 　 12．已知和是一个正数的平方根，则这个正数为　 　． 13．计算： 　 　． 14．若，为实数，且，则的值为　 　． 15．方程 的解是　 　． 16．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．计算： （1）-3+2-（-1） （2）-22+|-1|+ 18．已知的立方根是，的算术平方根是． （1）求，的值； （2）求的平方根． 19．把下列各数分别填入相应的集合中： ﹣（+7），，2018，﹣0.10，﹣|﹣5|，0，0.10101000⋯，，． （1）非正整数集合：{ ⋯}； （2）负分数集合：{ ⋯}； （3）无理数集合：{ ⋯}． 20． 如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了 2个单位长度到达点 B，点A 表示 设点B所表示的数为m。 （1）实数 m 的值是　 　。 （2）求|m+1|+|m-1||的值。 （3）在数轴上还有 C，D两点分别表示实数c 和d，且有|2c+d|与 互为相反数，求2c-3d的平方根。 21． 如图1，的网格由9个边长为1的小正方形组成。 （1） 图1中阴影正方形的顶点都在网络的格点上，则阴影正方形的面积是　 　，它的边长是　 　； （2） 如图2所示，点A表示的数是　 　； （3） 请你在 4×4 的网格中画出一个面积为10的正方形. 22．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，. （1）仿照以上方法计算：　 　；　 　. （2）若，写出满足题意的的一个整数值　 　. 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止. 例如：对10连续求根整数2次 ，这时候结果为1. （3）对100连续求根整数，　 　次之后结果为1. （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是　 　. 23．如图，数轴上有A．B两点，AB=12，原点O是线段AB上的一点，OA=2OB． （1）写出A，B两点所表示的实数； （2）若点C是线段AB上一点，且满足AC=CO+CB，求C点所表示的实数； （3）若动点P、Q分别从A．B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动． ①当t为何值时，2OP﹣OQ=4； ②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数． 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算： 的结果是（　　） A．1 B． C．0 D．-1 【答案】C 【解析】【解答】解：原式= - =0. 【分析】根据绝对值的意义，二次根式的性质分别化简，再根据有理数的减法法则算出结果。 2．下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：A、，是有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有限小数，即分数，属于有理数，不符合题意； D、，是有理数，不符合题意； 故答案为：B． 【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，再对各选项判断即可 3． 介于两个连接整数（　　）之间． A．27和29 B．3和5 C．4和5 D．5和6 【答案】D 【解析】【解答】解： ＜ ＜ ＜ ＜ 故答案为： 【分析】由 ＜ ＜ 可得 ＜ ＜ 从而可得答案． 4．已知：，且a，b为两个连续的整数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】∵ ∴ ∴ ∵，且a，b为两个连续的整数， ∴a=-5，b=-4， ∴a+2b=(-5)+2×(-4)=-13. 故答案为：B. 【分析】本题考查估算无理数得大小，首先利用夹逼法估算无理数d得取值范围，再根据题意而得到a，b得值，最后再计算a+2b得值即可. 5． 已知，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：因为 故 故C正确，ABD错误。 故答案为：C。 【分析】根据，不等式各项减1，得出结论。 6．如图，实数在数轴上表示时，位于哪两个字母之间（　　） A．A与E B．A与B C．B与C D．C与D 【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴表示的点在数轴上表示时，所在B与C两个字母之间． 故选：C． 【分析】估算无理数的范围即可求出答案. 7．已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，则这个正数为（　　） A．4 B．±7 C．﹣7 D．49 【答案】D 【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15， ∴a+3+2a﹣15=0， 解得：a=4， a+3=7， 则这个正数为49， 故选D． 【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出a+3+2a﹣15=0，求出a，即可得出答案． 8．下列命题中，正确的是（　　） A．两个无理数的和是无理数 B．两个无理数的积是实数 C．无理数是开方开不尽的数 D．两个有理数的商有可能是无理数 【答案】B 【解析】【解答】解：两个非零有理数的商一定是有理数，不可能是无理数；选项B正确，无理数属于实数，因此两个无理数的积一定是实数。故答案为：B 【分析】根据无理数的定义，对各选项逐一判断，可解答。 9．已知 、 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】由数轴可知，b<a<0， A、 ，故A选项不符合题意； B、a-b>0，故B选项符合题意； C、ab>0，故C选项不符合题意； D、 ，故D选项不符合题意， 故答案为：B. 【分析】观察数轴可知b<a<0，继而根据有理数加、减、乘、除法的法则逐一进行判断即可. 10．代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　） A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在 【答案】C 【解析】【解答】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3； 当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1； 当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3. ∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b， ∴a＝3，b＝﹣3. 故答案为：C. 【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．计算：(π+1)0+| -2|-( )-2=　 　 【答案】-1- 【解析】【解答】解：原式=1+2- -4=-1- ． 【分析】利用零指数幂，绝对值，负整数指数幂计算求解即可。 12．已知和是一个正数的平方根，则这个正数为　 　． 【答案】4或 【解析】【解答】解：当和是同一个平方根时， ∴， 解得 ， ∴； 当 和 是不同的平方根时 解得 ， ∴， ∴或 ， 故答案为： 或 . 【分析】分两种情况：当 和是同一个平方根时或当和是不同的平方根时，据此分别解答即可. 13．计算： 　 　． 【答案】0 【解析】【解答】解： = =0， 故答案为：0． 【分析】利用零指数幂的性质以及乘方的法则进而得出答案． 14．若，为实数，且，则的值为　 　． 【答案】0 【解析】【解答】解∶∵， ∴， 解得∶，， ∴ 故答案为：0． 【分析】本题根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，即可分别确定x和y的值，最后计算即可。 15．方程 的解是　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解： ， ， ， ， 故答案为：2． 【分析】利用立方根的计算方法求解即可。 16．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为　 　． 【答案】-22 【解析】【解答】解：∵即时，，此时n=1，2，3， ∴； ∵即时，，此时n=4，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15， ∴=； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴=-44， ∴ =1-2+3-4+5-6+…+43-44 =(1-2)+(3-4)+…+(43-44) = =-22， 故答案为：-22． 【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．计算： （1）-3+2-（-1） （2）-22+|-1|+ 【答案】（1）解：原式=-3+2+1=0 （2）解：原式=-4+1+3=0 【解析】【分析】（1）利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果. （2）先算乘方和开方运算，再利用有理数的加法法则进行计算. 18．已知的立方根是，的算术平方根是． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴， 解得 ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【解析】【分析】（1） 一个正数x的平方等于a，这个正数x就是a的平方根；一个数x的立方等于a，这个数x就是a的立方根，据此列出关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值； （2）将a、b的值代入a+2b按含加减乘除混合运算的运算顺序算出结果，再根据平方根定义“一个数x的平方等于a，这个数x就是a的平方根”算出a+2b的平方根即可. （1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 19．把下列各数分别填入相应的集合中： ﹣（+7），，2018，﹣0.10，﹣|﹣5|，0，0.10101000⋯，，． （1）非正整数集合：{ ⋯}； （2）负分数集合：{ ⋯}； （3）无理数集合：{ ⋯}． 【答案】（1）非正整数集合：{﹣（+7），﹣|﹣5|，0，⋯}； （2）负分数集合：{﹣0.10，⋯}； （3）解： ， ，无理数集合：{0.10101000⋯， ⋯}． 【解析】【分析】非正整数包含负整数、0，负分数是小于0的分数，无理数是无限不循环小数，据此解答. 20． 如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了 2个单位长度到达点 B，点A 表示 设点B所表示的数为m。 （1）实数 m 的值是　 　。 （2）求|m+1|+|m-1||的值。 （3）在数轴上还有 C，D两点分别表示实数c 和d，且有|2c+d|与 互为相反数，求2c-3d的平方根。 【答案】（1） （2）解：∵∴m+1>0，m-1<0， 因此|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2。 （3）解：∵∴|2c+d|=0， 解得c=-2，d=4，或c=2，d=-4， ①当c=-2，d=4时， 2c-3d=-16，无平方根。 ②当c=2，d=-4时， 2c-3d=16， ∴2c-3d的平方根为±4。 【解析】【解答】解：(1)，即实数m的值是. 故答案为：（1）。 【分析】(1)按平移规则“左减右加”列式即可； (2)把m代入算式，然后分析出m+1和m-1的正负性，最后去掉绝对值进行计算即可； （3）根据绝对值的非负性和算数平方根的非负性，并根据 |2c+d|与 互为相反数，即可计算出c和d的值，然后代入计算即可。 21． 如图1，的网格由9个边长为1的小正方形组成。 （1） 图1中阴影正方形的顶点都在网络的格点上，则阴影正方形的面积是　 　，它的边长是　 　； （2） 如图2所示，点A表示的数是　 　； （3） 请你在 4×4 的网格中画出一个面积为10的正方形. 【答案】（1）5； （2） （3）解：如图 3，若这个正方形的面积为10. 【解析】【解答】解：（1）S阴=3×3-4×=5，5的算术平方根为， 故答案为：5；. （2）据题意知：-1到A的距离为， ∴0到A的距离为， 故答案为：. 【分析】⑴根据“割补思想”计算阴影部分面积，从而确定其边长. ⑵根据题意知-1到A的距离，从而确定0到A的距离即A表示的数. ⑶根据题意，绘制边长为的正方形. 22．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，. （1）仿照以上方法计算：　 　；　 　. （2）若，写出满足题意的的一个整数值　 　. 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止. 例如：对10连续求根整数2次 ，这时候结果为1. （3）对100连续求根整数，　 　次之后结果为1. （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是　 　. 【答案】（1）2；5 （2）2 （3）3 （4）255 【解析】【解答】解：（1）∵，∴；∵，∴. 故答案为：2、5； （2）由 ，需满足，平方得，由于x为整数，所以x的取值可能为1，2，3，任选其一. 故答案为：2（或1，3）； （3），，，故 对100连续求根整数，3次之后结果为1. 故答案为：3； （4）设该数为，则 ，，.（a、b、c均为正整数） ∵，而，即， ∴最大为3，即. 又∵，而，即， ∴b最大为15，即. 又∵，而，即， ∴a最大为255. 故答案为：255. 【分析】（1）由，j结合根整数的定义即可得到结果； （2）由、可得x=1，2，3； （3）按题意对100连续求根整数至到结果为1即可得到所求答案； （4）根据根整数定义，设该最大正整数为a，并设，，.（a、b、c均为正整数），先求出最大的c，然后依次求出最大的b、a. 23．如图，数轴上有A．B两点，AB=12，原点O是线段AB上的一点，OA=2OB． （1）写出A，B两点所表示的实数； （2）若点C是线段AB上一点，且满足AC=CO+CB，求C点所表示的实数； （3）若动点P、Q分别从A．B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动． ①当t为何值时，2OP﹣OQ=4； ②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数． 【答案】（1）解：∵AB=12，AO=2OB， ∴AO=8，OB=4， ∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4 （2）解：设C点所表示的实数为x， 分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，如图1， ∵AC=CO+CB， ∴8+x=﹣x+4﹣x， 3x=﹣4， x=﹣ ； ②点C在线段OB上时，则x＞0，如图2， ∵AC=CO+CB， ∴8+x=4， x=﹣4（不符合题意，舍）； 综上所述，C点所表示的实数是﹣ （3）解：①当0＜t＜4时，如图3， AP=2t，OP=8﹣2t，BQ=t，OQ=4+t， ∵2OP﹣OQ=4， ∴2（8﹣2t）﹣（4+t）=4， ∴t= =1.6， 当点P与点Q重合时，如图4， 2t=12+t，t=12， 当4＜t＜12时，如图5， OP=2t﹣8，OQ=4+t， 则2（2t﹣8）﹣（4+t）=4， t=8， 综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4； ②当点P到达点O时，8÷2=4，此时，OQ=4+t=8，即点Q所表示的实数为8， 如图6，设点M运动的时间为t秒， 由题意得：2t﹣t=8， ∴t=8， 此时，点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16， ∴点M行驶的总路程为：3×8=24， 答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16． 【解析】【分析】（1）根据OA=2OB，AB=12，即可求出OB和OA的长度，既而得出A和B点所表示的实数。 （2）C点可以在OA上，也可以在OB上，所以分类讨论，设C点表示的数为x，根据AC=CO+CB列方程，求出C点的数值，根据题目要求做出取舍即可。 （3）①分三种情况：当P在AO中时，当PQ两点重合时，当P在BQ上运动时；根据2OP﹣OQ=4列方程，即可求出t的对应数值。 ②由题可知，P点到O点时，即可求出Q所代表的数；可设点M运动的时间为t秒，根据题意，P和Q停止时，解出t的数值，得出M点所对应的实数。 $