1.3 证明 课时作业 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，以A组基础巩固、B组能力提升、C组拓展探究分层，覆盖证明的含义、步骤及常用依据，通过从单一知识点到综合应用的进阶设计，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|证明定义、步骤、基本依据|选择填空夯实基础，如证明依据判断、内角和计算| |B组|平行线与三角形性质综合|解答题深化推理，如角平分线与内角和定理应用| |C组|外角和、高线与角平分线关系|探究题培养创新，如外角和证明及规律猜想|

浙教版数学八年级上册 第1章 1.3 证明 课时作业 第1章 三角形 1.3 证明 课 时 作 业 班级：____________ 姓名：____________ 得分：__________ 用时：________分钟 学习目标 1. 了解证明的含义，知道证明必须步步有据；2. 会根据几何语句画出图形，会写出"已知"和"求证"；3. 掌握证明的一般格式，能完成简单的几何证明；4. 会用三角形内角和定理、外角性质、平行线的性质与判定进行推理论证。 一、知识梳理 知识点 1 什么是证明 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这样的过程叫做证明。 要点 ① 举例验证不能代替证明。无论验证多少个例子，都不能保证对所有情况都成立；② 证明的每一步都必须有根据，这些根据只能是：已知条件、定义、基本事实或已经证明过的定理；③ 度量、观察所得的结论只能作为猜想，不能作为证明的依据。 例如，观察下图容易"看出"两条线段一样长，但眼睛可能欺骗我们，只有推理才靠得住。 知识点 2 证明的一般步骤 图 1-1 证明的一般步骤 步　骤 具　体　做　法 ① 审　题 读懂命题，分清哪部分是条件，哪部分是结论 ② 画　图 根据命题画出图形，并在图上标出已知条件（用字母表示相关的点、线、角） ③ 写已知、求证 结合图形，用符号语言把条件写成"已知"，把结论写成"求证" ④ 写证明过程 从已知出发，一步一步推理，每一步都在括号里注明依据，直到推出求证的结论 书写格式 证明：∵（原因一），　∴（结论一）（依据）；　　　∵（原因二），　∴（结论二）（依据）；……其中"∵"读作"因为"，"∴"读作"所以"。每一步后面的括号里要写清楚用了哪条定义、基本事实或定理。 知识点 3 证明中常用的依据 图 1-2 三线八角：同位角、内错角、同旁内角 类　别 内　　容 平行线的性质 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补 平行线的判定 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 角的关系 对顶角相等；邻补角互补；同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等 三角形 三角形内角和等于 180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 易错提醒 平行线的"性质"与"判定"方向相反，千万不要用反：由"平行"推"角相等"用的是性质；由"角相等"推"平行"用的是判定。 知识点 4 证明的示范 下面用一个完整的例子说明证明的书写格式。 命题：三角形的内角和等于 180°。 图 1-3 内角和定理的证明（作 CE ∥ AB） 已知：如图，△ABC。 求证：∠A + ∠B + ∠ACB = 180°。 证明：延长 BC 到点 D，过点 C 作 CE ∥ AB。 ∵ CE ∥ AB， ∴ ∠1 = ∠A（两直线平行，内错角相等）， 　 ∠2 = ∠B（两直线平行，同位角相等）。 ∵ ∠ACB + ∠1 + ∠2 = 180°（平角的定义）， ∴ ∠ACB + ∠A + ∠B = 180°（等量代换）。 这样就证明了三角形的内角和等于 180°。 二、典例精析 例 1 写出已知与求证 对于命题"两直线平行，内错角相等"，请画出图形，写出已知和求证（不必证明）。 【解】图形如图 1-2 中的第二个图。 已知：直线 l₁ ∥ l₂，直线 l₃ 分别与 l₁、l₂ 相交，∠3 与 ∠4 是内错角。 求证：∠3 = ∠4。 【解析】写"已知"就是把命题的条件用符号语言结合图形写出来；写"求证"就是把结论用符号语言写出来。注意"已知"中不能出现结论，"求证"中也不能出现条件。 例 2 完成一个完整的证明 如图，AB ∥ CD，AC 与 BD 相交于点 O。求证：∠1 = ∠2。 图 1-4 例 2 用图 【证明】 ∵ AB ∥ CD（已知）， ∴ ∠1 = ∠2（两直线平行，内错角相等）。 【解析】本题只需一步。关键是认清 ∠1 与 ∠2 是直线 AB、CD 被直线 BD（或 AC）所截形成的内错角，从而直接用平行线的性质。写证明时，"（已知）"和依据的名称都不能省略。 例 3 利用内角和与外角性质证明 如图 1-3，∠ACD 是 △ABC 的一个外角。求证：∠ACD = ∠A + ∠B。 【证明】 ∵ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理）， ∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠ACB。 ∵ ∠ACD 与 ∠ACB 是邻补角， ∴ ∠ACD + ∠ACB = 180°（邻补角互补）， ∴ ∠ACD = 180° - ∠ACB。 ∴ ∠ACD = ∠A + ∠B（等量代换）。 【解析】本题的思路是"分别把两个式子都化成 180° - ∠ACB 的形式，再用等量代换"。等量代换是几何证明中最常用的手段之一：如果 a = c，b = c，那么 a = b。 例 4 综合应用 如图 1-4，AB ∥ CD，∠1 = 40°，∠D = 65°。求 ∠BOC 的度数。 【解】 ∵ AB ∥ CD（已知）， ∴ ∠1 = ∠2（两直线平行，内错角相等）， ∴ ∠2 = 40°。 在 △COD 中，∠BOC 是它的一个外角， ∴ ∠BOC = ∠2 + ∠D（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴ ∠BOC = 40° + 65° = 105°。 【解析】这类"平行线 + 三角形"的综合题，常见思路是：先用平行线的性质把角"搬"到需要的位置，再用内角和或外角性质求解。做题时可以在图上把已知角度标出来，把要求的角圈出来，思路会更清晰。 三、课时作业 A 组 基础巩固 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 下列说法中，正确的是（　　） 　　A. 用量角器量出三角形三个内角的和是 180°，这就是证明 　　B. 举出 100 个例子都成立，就可以断定这个命题是真命题 　　C. 证明中的每一步都必须有依据 　　D. 通过观察得到的结论可以直接作为证明的依据 2. 证明的依据不能是（　　） 　　A. 已知条件　　　B. 定义　　　C. 基本事实　　　D. 假命题 3. 由 "AB ∥ CD" 推出 "∠1 = ∠2（内错角）" 的依据是（　　） 　　A. 内错角相等，两直线平行　　　B. 两直线平行，内错角相等 　　C. 对顶角相等　　　　　　　　　D. 等量代换 4. 由 "∠1 = ∠2（同位角）" 推出 "AB ∥ CD" 的依据是（　　） 　　A. 两直线平行，同位角相等　　　B. 同位角相等，两直线平行 　　C. 邻补角互补　　　　　　　　　D. 三角形内角和定理 5. 在 △ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，则 ∠C 的外角等于（　　） 　　A. 70°　　　B. 110°　　　C. 120°　　　D. 130° 6. 命题"如果 ∠1 与 ∠2 是对顶角，那么 ∠1 = ∠2"的求证部分应写为（　　） 　　A. 已知 ∠1 = ∠2　　　B. 求证 ∠1 与 ∠2 是对顶角 　　C. 求证 ∠1 = ∠2　　　D. 已知 ∠1 与 ∠2 是对顶角 7. 下列推理中，正确的是（　　） 　　A. ∵ ∠1 = ∠2，∴ ∠1 与 ∠2 是对顶角 　　B. ∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∴ ∠1 与 ∠2 是邻补角 　　C. ∵ a ∥ b，b ∥ c，∴ a ∥ c 　　D. ∵ a ⊥ b，b ⊥ c，∴ a ⊥ c 8. 在 △ABC 中，若 ∠A = ∠B = 2∠C，则 ∠C 等于（　　） 　　A. 30°　　　B. 36°　　　C. 45°　　　D. 72° 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 9. 从一个命题的条件出发，通过________，得出它的结论成立，这样的过程叫做证明。 10. 证明的依据可以是________、________、________和已经证明过的定理。 11. "∵"读作________，"∴"读作________。 12. 在 △ABC 中，∠A = 70°，∠B = 45°，则 ∠C = ________度，∠B 的外角 = ________度。 13. 已知 AB ∥ CD，∠A = 55°，则与 ∠A 是内错角的角等于________度。 14. 三角形的一个外角是 100°，与它不相邻的两个内角的和是________度。 15. 在 △ABC 中，若 ∠A ∶ ∠B ∶ ∠C = 1 ∶ 1 ∶ 2，则 △ABC 是________三角形。 三、解答题（共 28 分） 16.（8 分）对于命题"三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角"，请： 　　（1）画出图形，并在图上标出必要的字母； 　　（2）写出已知和求证； 　　（3）写出证明过程。 图 1-5 第 16 题参考图 17.（10 分）如图，AB ∥ CD，AC 与 BD 交于点 O，∠1 = 35°，∠D = 70°。 图 1-6 第 17 题用图 　　（1）求 ∠2 的度数，并写出依据； 　　（2）求 ∠BOC 的度数； 　　（3）求 ∠AOB 的度数。 18.（10 分）已知：如图，在 △ABC 中，∠B = ∠C，AD 平分 ∠BAC。 图 1-7 第 18 题参考图（左图） 　　（1）若 ∠B = 65°，求 ∠BAC 的度数； 　　（2）求 ∠BAD 的度数； 　　（3）求 ∠ADB 的度数，并写出每一步的依据。 B 组 能力提升 19.（8 分）已知：如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。 图 1-8 第 19 题参考图 　　（1）由 ∠1 = ∠2 可以得到哪两条直线平行？依据是什么？ 　　（2）由 ∠3 = ∠4 可以得到哪两条直线平行？依据是什么？ 　　（3）请你说明"平行线的性质"与"平行线的判定"有什么区别。 20.（8 分）在 △ABC 中，∠A = 60°，∠B、∠C 的平分线交于点 I。 　　（1）求 ∠ABC + ∠ACB 的度数，写出依据； 　　（2）求 ∠IBC + ∠ICB 的度数，写出依据； 　　（3）求 ∠BIC 的度数，并把整个过程写成完整的证明格式。 21.（8 分）阅读下面的"证明"，指出其中的错误并改正。 　　命题：直角三角形的两个锐角互余。 　　小明的证明：我量了好几个直角三角形，发现两个锐角的和都是 90°， 　　所以直角三角形的两个锐角互余。 　　（1）小明的做法能不能算作证明？为什么？ 　　（2）请你写出已知和求证； 　　（3）请你写出正确的证明过程。 C 组 拓展探究 22.（10 分）已知：如图，在 △ABC 中，∠B = 40°，∠C = 60°，AD 是 BC 边上的高线，AE 平分 ∠BAC（点 D、E 都在 BC 上，且点 E 在点 D 与点 C 之间）。 　　（1）求 ∠BAC 的度数； 　　（2）求 ∠BAE 的度数； 　　（3）求 ∠BAD 的度数； 　　（4）求 ∠DAE 的度数，并猜想 ∠DAE 与 ∠C - ∠B 之间的数量关系。 23.（8 分）小华发现了一个有趣的结论： 　　"三角形三个外角的和等于 360°。"（每个顶点处各取一个外角） 　　（1）取一个具体的三角形（如三个内角分别为 50°、60°、70°）验证这个结论； 　　（2）设三角形的三个内角分别为 ∠A、∠B、∠C，请写出证明过程； 　　（3）你能类似地猜想四边形四个外角的和是多少吗？（只写结论，不必证明） 四、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1. C　2. D　3. B　4. B　5. B　6. C　7. C　8. B 详解： 1. A 是度量，不是推理；B 举例再多也不能代替证明；D 观察所得只能是猜想； 　　C 正确：证明的每一步都必须有依据，选 C。 2. 假命题本身就不可靠，不能作为推理的依据，选 D。 3. 由"平行"推"角相等"，用的是平行线的性质，选 B。 4. 由"角相等"推"平行"，用的是平行线的判定，选 B。 5. ∠C = 180° - 50° - 60° = 70°，∠C 的外角 = 180° - 70° = 110°； 　　也可直接用外角性质：∠C 的外角 = ∠A + ∠B = 50° + 60° = 110°，选 B。 6. "求证"写的是结论，即 ∠1 = ∠2，选 C。 7. A 错，两角相等未必是对顶角；B 错，互补的两角未必是邻补角（还需有公共顶点和公共边）； 　　D 错，在同一平面内 a ⊥ b、b ⊥ c 时应有 a ∥ c；C 正确（平行于同一条直线的两条直线平行），选 C。 8. 设 ∠C = x°，则 ∠A = ∠B = 2x°。 　　由内角和定理得 2x + 2x + x = 180，即 5x = 180，所以 x = 36，∠C = 36°，选 B。 二、填空题 9. 推理（讲道理） 10. 已知条件；定义；基本事实 11. 因为；所以 12. 65；135 ∠C = 180° - 70° - 45° = 65°；∠B 的外角 = 180° - 45° = 135°。 13. 55 两直线平行，内错角相等，所以与 ∠A 是内错角的角也等于 55°。 14. 100 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以这两个内角的和就是 100°。 15. 直角（等腰直角） 设三个角为 x°、x°、2x°，则 x + x + 2x = 180，4x = 180，x = 45， 　　三个角为 45°、45°、90°，是等腰直角三角形。 三、解答题 16. 见解析 （1）图形：△ABC 中，延长 BC 到点 D，得到外角 ∠ACD（如图 1-5）。 （2）已知：如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角。 　　求证：∠ACD ＞ ∠A，且 ∠ACD ＞ ∠B。 （3）证明： 　　∵ ∠ACD 是 △ABC 的一个外角， 　　∴ ∠ACD = ∠A + ∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。 　　∵ ∠A、∠B 都是三角形的内角， 　　∴ ∠A ＞ 0°，∠B ＞ 0°， 　　∴ ∠ACD = ∠A + ∠B ＞ ∠A，∠ACD = ∠A + ∠B ＞ ∠B。 17.（1）∠2 = 35°　（2）105°　（3）75° （1）∵ AB ∥ CD（已知）， 　　∴ ∠1 = ∠2（两直线平行，内错角相等）， 　　∴ ∠2 = 35°。 （2）在 △COD 中，∠BOC 是它的一个外角， 　　∴ ∠BOC = ∠2 + ∠D（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 　　∴ ∠BOC = 35° + 70° = 105°。 （3）∵ ∠AOB 与 ∠BOC 是邻补角， 　　∴ ∠AOB = 180° - ∠BOC = 180° - 105° = 75°。 18.（1）50°　（2）25°　（3）90° （1）∵ ∠B = ∠C = 65°（已知）， 　　∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 65° - 65° = 50°（三角形内角和定理）。 （2）∵ AD 平分 ∠BAC（已知）， 　　∴ ∠BAD = ∠BAC = × 50° = 25°（角平分线的定义）。 （3）在 △ABD 中， 　　∵ ∠BAD + ∠B + ∠ADB = 180°（三角形内角和定理）， 　　∴ ∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠B = 180° - 25° - 65° = 90°。 　　说明：这说明在等腰三角形中，顶角的平分线同时也是底边上的高线。 B 组 能力提升 19. 见解析 （1）∠1 与 ∠2 是同位角，由 ∠1 = ∠2 可以得到 l₁ ∥ l₂， 　　依据是"同位角相等，两直线平行"（平行线的判定）。 （2）∠3 与 ∠4 是内错角，由 ∠3 = ∠4 可以得到 l₁ ∥ l₂， 　　依据是"内错角相等，两直线平行"（平行线的判定）。 （3）区别在于推理的方向不同： 　　判定是"由角的关系推出两直线平行"，条件是角相等（或互补），结论是平行； 　　性质是"由两直线平行推出角的关系"，条件是平行，结论是角相等（或互补）。 　　解题时先看已知给的是"平行"还是"角相等"，就能确定该用哪一个。 20.（1）120°　（2）60°　（3）120° （1）∵ ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），∠A = 60°， 　　∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - 60° = 120°。 （2）∵ BI 平分 ∠ABC，CI 平分 ∠ACB（已知）， 　　∴ ∠IBC = ∠ABC，∠ICB = ∠ACB（角平分线的定义）， 　　∴ ∠IBC + ∠ICB = (∠ABC + ∠ACB) = × 120° = 60°。 （3）在 △IBC 中， 　　∵ ∠BIC + ∠IBC + ∠ICB = 180°（三角形内角和定理）， 　　∴ ∠BIC = 180° - (∠IBC + ∠ICB) = 180° - 60° = 120°。 21. 见解析 （1）不能算作证明。因为小明只是通过度量几个具体的直角三角形得出结论， 　　这属于观察和验证，只能作为猜想。无论量多少个，都不能保证对所有直角三角形都成立， 　　而证明必须从条件出发，通过推理对一切符合条件的情形都成立。 （2）已知：如图，在 △ABC 中，∠C = 90°。 　　求证：∠A + ∠B = 90°。 （3）证明： 　　∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）， 　　∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠C。 　　∵ ∠C = 90°（已知）， 　　∴ ∠A + ∠B = 180° - 90° = 90°， 　　即 ∠A 与 ∠B 互余。 C 组 拓展探究 22.（1）80°　（2）40°　（3）50°　（4）∠DAE = 10° （1）∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°。 （2）∵ AE 平分 ∠BAC，∴ ∠BAE = × 80° = 40°。 （3）∵ AD 是高线，∴ ∠ADB = 90°， 　　在 △ABD 中，∠BAD = 180° - ∠ADB - ∠B = 180° - 90° - 40° = 50°。 （4）∠DAE = ∠BAD - ∠BAE = 50° - 40° = 10°。 　　猜想：∠DAE = (∠C - ∠B)。 　　检验： × (60° - 40°) = × 20° = 10°，与所求相符。 　　（说明：这是一个常用的重要结论——高线与角平分线的夹角等于另两个内角之差的一半。） 23.（1）验证：360°　（2）见证明　（3）四边形的四个外角和也是 360° （1）三个内角为 50°、60°、70°，对应的三个外角分别为 　　180° - 50° = 130°，180° - 60° = 120°，180° - 70° = 110°， 　　三个外角的和为 130° + 120° + 110° = 360°，结论成立。 （2）证明：设三角形的三个内角分别为 ∠A、∠B、∠C， 　　在每个顶点处各取一个外角，分别记为 ∠1、∠2、∠3。 　　∵ 每个外角与相邻的内角互补（邻补角互补）， 　　∴ ∠1 = 180° - ∠A，∠2 = 180° - ∠B，∠3 = 180° - ∠C， 　　∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = (180° - ∠A) + (180° - ∠B) + (180° - ∠C) 　　　　　　　　　　 = 540° - (∠A + ∠B + ∠C)。 　　∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）， 　　∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° - 180° = 360°。 （3）猜想：四边形的四个外角的和也等于 360°。 　　（提示：四边形的内角和是 360°，用同样的方法可得 720° - 360° = 360°。） 本课时小结 （1）度量和举例只能得到猜想，证明必须靠推理，且每一步都要写清依据；（2）证明四步走：审题 → 画图 → 写已知求证 → 写证明过程；（3）平行线的性质与判定方向相反：由平行推角相等用性质，由角相等推平行用判定；（4）三角形内角和定理、外角性质、邻补角互补、等量代换，是本节最常用的四件"工具"；（5）遇到"平行线 + 三角形"的综合题，先用平行把角搬到位，再用内角和或外角性质计算。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $