1.4.1　充分条件与必要条件课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充分条件与必要条件”核心知识点，从命题概念及结构切入，通过定义解析、“有之必成立”等拓展理解和集合关系类比搭建学习支架，衔接逻辑用语前后知识脉络。 其亮点在于结合数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达），通过题型分类（判断、参数范围）、跟踪训练及“金版点睛”方法总结，如用集合包含关系解决参数问题。助力学生形成有条理的思维，教师可借助系统练习提升教学效率。

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 第一章　集合与常用逻辑用语 1 核心概念掌握 PART ONE 真命题 假命题 p q 真命题 p⇒q 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件 √ √ × × × 充分 必要 a≤1 充分 2 核心素养形成 PART TWO 题型一 充分条件的判断 解 解 解 题型二 必要条件的判断 解 解 题型三 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围 解 解 解 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解 解 4 课后课时精练 PART FOUR A级 学考水平合格练 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解 解 解 B级 学考水平等级练 答案 解析 答案 解析 解 解 解 解 本课结束 知识点一　命题的概念及结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做eq \x(\s\up1(01))______.判断为真的语句是eq \x(\s\up1(02))_________，判断为假的语句是eq \x(\s\up1(03))_________. (2)当命题表示为“若p，则q”时，eq \x(\s\up1(04))___是命题的条件，eq \x(\s\up1(05))___是命题的结论． 命题 知识点二　充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为eq \x(\s\up1(01))_________，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作eq \x(\s\up1(02))__________，并且说，p是q的eq \x(\s\up1(03))____________(sufficient condition)，q是p的eq \x(\s\up1(04))____________(necessary condition)． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作eq \x(\s\up1(05))_________此时，我们就说p不是q的eq \x(\s\up1(06))____________，q不是p的eq \x(\s\up1(07))____________. pq 1．p⇒q的含义 (1)“若p，则q”形式的命题为真命题． (2)由条件p可以得到结论q. (3)p是q的充分条件或q的充分条件是p； q是p的必要条件或p的必要条件是q. (4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的． (5)为得到结论q，具备条件p就可以推出． 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已． 2．对充分条件、必要条件的理解 (1)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (2)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分条件． 必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件． 3．充分条件、必要条件与集合的关系 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．(　　) (2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　) (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　　) (4)“x>1”是“x>3”的充分条件．(　　) (5)“x＝2”是“x2＝2x”的必要条件．(　　) 2．做一做 (1)若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件． (2)已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的_________条件． (3)若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________________. (4)“a>0，b>0”是“ab>0”的_____________条件． 例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a<b，则eq \f(a,b)<1； (3)若x>1，则x2>1； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC； (6)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. [解]　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，eq \f(a,b)>1；当b>0时，eq \f(a,b)<1， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． [跟踪训练1]　给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0； (4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？ 解　(1)因为相似的三角形不一定全等，所以pq，所以p不是q的充分条件． (2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q. 所以p是q的充分条件． (3)因为由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)因为由a>bac>bc，所以p不是q的充分条件. 例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若|x|＝|y|，则x＝y； (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若x＝1，则x－1＝eq \r(x－1)； (4)若a是自然数，则a是正整数． [解]　(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y， 因此pq，所以q不是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形，因此pq，所以q不是p的必要条件． (3)当x＝1时，x－1＝eq \r(x－1)＝0，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)因为0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，所以q不是p的必要条件． 必要条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． [跟踪训练2]　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若－2≤x≤5，则－1≤x≤5； (2)若△ABC为等边三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若x－2＝0，则(x－2)(x－3)＝0. 解　(1)当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件． (2)因为等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为(x－2)＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，所以p⇒q，q是p的必要条件. [解]　(1)记A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(3－m,2)<x<\f(3＋m,2)))， B＝{x|0<x<3}， 若p是q的充分条件，则A⊆B. 注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论： 例3　(1)已知p：关于x的不等式eq \f(3－m,2)<x<eq \f(3＋m,2)，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； (2)已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围． ①若A＝∅，即eq \f(3－m,2)≥eq \f(3＋m,2)，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意； ②若A≠∅，即eq \f(3－m,2)<eq \f(3＋m,2)，解得m>0， 要使A⊆B，应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)≥0，,\f(3＋m,2)≤3，解得0<m≤3.,m>0，)) 综上可得，实数m的取值范围是m≤3. (2)由已知可得 A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－\f(5,4)，x∈R))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≥－\f(5,4)))， B＝{x|x≥－2m}． 因为q是p的必要条件， 所以p⇒q，所以A⊆B， 所以－2m≤－eq \f(5,4)，所以m≥eq \f(5,8)， 即实数m的取值范围是m≥eq \f(5,8). 利用充分条件或必要条件求参数的思路 根据充分条件或必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 解　(1)解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3， 解mx＋1＝0得x＝－eq \f(1,m)， 令A＝{2，－3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))， 因为q是p的充分条件，所以B⊆A. [跟踪训练3]　(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值； (2)已知集合M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，命题p：x∈M，命题q：x∈N.若q是p的必要条件，求a的取值范围． 当－eq \f(1,m)＝2时，m＝－eq \f(1,2)；当－eq \f(1,m)＝－3时，m＝eq \f(1,3). 所以m＝－eq \f(1,2)或m＝eq \f(1,3). (2)因为q是p的必要条件， 所以M⊆N. 于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))从而可得－2≤a≤7. 故a的取值范围为－2≤a≤7. 1．若M，N是两个集合，则下列命题中真命题是(　　) A．如果M⊆N，那么M∩N＝M B．如果M∩N＝N，那么M⊆N C．如果M⊆N，那么M∪N＝M D．如果M∪N＝N，那么N⊆M 解析　用集合的相关定义理解、分析可知A为真命题，B，C，D为假命题． 2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 解析　当a＝1时，|a|＝1成立．因此“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件． 3．命题p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析　因为(a＋b)(a－b)＝0a＝b，所以pq．又因为a＝b⇒(a＋b)(a－b)＝0，即q⇒p，所以p是q的必要条件． 答案　充分 4．“m<－2”是“x2－x－m＝0无实根”的__________条件． 解析　∵方程x2－x－m＝0无实根， ∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0. 解得m<－eq \f(1,4).∵m<－2⇒m<－eq \f(1,4)， ∴“m<－2”是“x2－x－m＝0无实根”的充分条件． 解　(1)因为由|a|＝|b|a＝b，所以p不是q的充分条件，又因为由a＝b⇒|a|＝|b|，所以p是q的必要条件． (2)因为p⇒q，所以p是q的充分条件，又因为q⇒p，所以p是q的必要条件． 5．下列各题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？为什么？ (1)p：|a|＝|b|，q：a＝b； (2)p：内错角相等，q：两直线平行； (3)p：整数a能被4整除，q：a的个位数字为偶数； (4)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0. (3)若整数a能被4整除，则a为偶数，所以a的个位数字为偶数，即p⇒q，所以p是q的充分条件．因为qp，所以p不是q的必要条件． (4)由a2＋b2＝0得a＝0，b＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的充分条件．由a＋b＝0a2＋b2＝0，所以p不是q的必要条件． 解析　因为ac>bca>b，ac<bca<b，a>bac>bc，a<bac<bc，故A，C为假命题．ac＝bca＝b，a＝b⇒ac＝bc，故B为真命题，D为假命题． 一、选择题 1．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 2．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析　因为a和b都是奇数⇒a＋b是偶数，a＋b是偶数a和b都是奇数，所以A正确． 3．a<0，b<0的一个必要条件是(　　) A．a＋b<0 B．a－b>0 C．eq \f(a,b)>1 D．eq \f(a,b)<－1 解析　因为a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0，故选A. 4．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A．a>1 B．a>0 C．a<－1 D．a<1 解析　因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1x2<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－4a>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0.选项中只有a<－1⇒a<0，故选C. 5．(多选)有以下说法，其中正确的是(　　) A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件 C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件 D．“x>3”是“x2>4”的充分条件 解析　m是有理数⇒m是实数，故A正确；x∈Ax∈(A∩B)，故B不正确；x＝3⇒x2－2x－3＝0，故C正确；x>3⇒x2>4，故D正确． 答案　必要 二、填空题 6．已知△ABC，△A1B1C1，这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的____________条件． 解析　由这两个三角形的对应角相等△ABC≌△A1B1C1，反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.所以这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的必要条件． 答案　充分 7．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的____________条件．(填“充分”或“必要”) 解析　当m＝2时，A＝{1,4}，A∩B＝{4}，若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝2或m＝－2.所以m＝2⇒A∩B＝{4}，而A∩B＝{4}m＝2. 答案　a≥2 8．已知p：x≥a，q：x≤1或x≥2.若p是q的充分条件，则实数a的取值范围为______________. 解析　因为p是q的充分条件，所以p⇒q.所以a≥2. 三、解答题 9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？ (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解　(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立，即p⇒q，qp， 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件． (2)因为x2>1⇒x>1或x<－1，所以p⇒q，且qp. 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件． (3)△ABC中，有两个角相等时是等腰三角形，不一定是正三角形，即pq，但q⇒p， 所以p不是q的充分条件，但p是q的必要条件． (4)画出Venn图，如图， 结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA， 反之也成立．所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件． 解　记A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m>0)． ∵p是q的充分条件， ∴p⇒q，∴A⊆B. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤2，,1＋m≥10，))解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． 10．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 1．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 解析　x∈A⇒x∈C，但由x∈Cx∈A，所以B正确． 解析　如图所示，显然丙⇒乙⇒甲，但甲丙，所以丙是甲的充分条件，但不是必要条件． 2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解　记A＝{x|x>2或x<－1}，由4x＋p<0，得x<－eq \f(p,4)，记B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(p,4))).由题意得B⊆A，则－eq \f(p,4)≤－1，即p≥4，此时x<－eq \f(p,4)≤－1⇒x>2或x<－1，故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件． 3．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由． 解　先化简集合A， 由y＝x2－eq \f(3,2)x＋1，配方，得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq \f(7,16). 因为－eq \f(1,2)≤x≤2，所以eq \f(7,16)≤y≤2. 所以A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|\f(7,16)≤y≤2)). 4．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝x2－\f(3,2)x＋1，－\f(1,2)≤x≤2))，B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围． 因为B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，命题p是命题q的充分条件， 所以A⊆B. 所以m＋1≤eq \f(7,16)或m－1≥2， 解得m≤－eq \f(9,16)或m≥3. 故实数m的取值范围是m≤－eq \f(9,16)或m≥3. 解　p：3a<x<a，记集合A＝{x|3a<x<a}． q：－3≤x≤－2，记集合B＝{x|－3≤x≤－2}． 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a<－3，,a>－2，,a<0))⇒－2<a<－1， 所以实数a的取值范围是－2<a<－1. 5．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－3≤x≤－2.若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． $