1.4 正方形的性质与判定（第1课时 ）正方形的性质 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质，通过复习定义及几何图形转化关系，结合几何画板动态演示平行四边形到矩形、菱形再到正方形的转化过程，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以图形转化培养几何直观（数学眼光），通过性质证明和例题推理发展推理能力（数学思维），用表格与几何语言规范表达强化模型意识（数学语言）。含例1全等证明、作图探究等实例，资料结构清晰，助力学生理解知识联系，提升应用能力，也便于教师高效教学。

第1课时 正方形的性质 44444 正方形的性质与判定 4 新北师大版九年级上册 复习导入 还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢? 正方形的定义： 有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 复习导入 一个角是直角 平行四边形 距形 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 菱形 正方形 几何画板.GSP 几何画板.GSP （1）正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？ （2）你认为正方形有哪些特殊的性质？与同伴进行交流。 思考·交流 由正方形的定义可知，正方形既是菱形，又是矩形，它具有矩形与菱形的所有性质。 探究新知 相关图形性质的关系 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 边 角 对角线 对边平行且相等 四条边相等 对角线互相垂直平分且相等 四个角都是直角 正方形的性质 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. AB = BC = CD = DA ∴∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90° AO = BO = CO = DO，AC=BD，AC⊥BD 几何语言： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理 正方形的对角线相等并且互相垂直平分。 ∵四边形 ABCD 是正方形， 你能证明吗？ 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形。 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角。 证明：∵四边形 ABCD 是正方形。 ∴∠A = 90°，AB = AD， 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴正方形是矩形，正方形是菱形。 ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°， AB = BC = CD = AD。 A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形。对角线 AC、BD 相交于点 O。 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD。 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AO = BO = CO = DO。 ∵正方形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥ BD。 A B C D O AB = BC = CD = DA ∴∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90° AO = BO = CO = DO，AC⊥BD 几何语言： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理 正方形的对角线相等并且互相垂直平分。 ∵四边形 ABCD 是正方形， 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都 相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. 数量关系和位置关系 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. （2）延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE ≌ △DCF. ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90°. ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°. ∴BE ⊥ DF. 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (1)请在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别 与点 A，C 重合，并与同伴交流你的思考过程。 A B C D O 连接对角线 AC、BD。 在线段BD上截取，使 BE = DF 。 依次连接 A、E、C、F、 A， 四边形 AECF 即为所求菱形。 还有别的画法吗 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (2)请在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边AB，BC，CD，DA上，并与同伴交流你的思考过程。 分别在正方形的四条边上截取 AE = AH = CF = CG， 依次连接 E、F、G、H， 四边形 EFGH 即为所求矩形。 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (3)请在图中画一个正方形 EFGH，使正方形的四个顶点E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边AB，BC，CD，DA上，并与同伴交流你的思考过程。 A B C D 分别在正方形的四条边上截取 AE = BF = CG = DH。 顺次连接 E、F、G、H 四点， 四边形 EFGH 即为所求正方形。 1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点， 连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其 中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC， △FCD与 △FCB， △FAD 与 △FAB。 【选自教材P18 随堂练习 第1题】 巩固练习 1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点， 连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其 中一对进行证明. 选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下： ∵正方形 ABCD， ∴AD = AB，∠DAF =∠BAF， 又∵AF = AF， ∴△FAD≌△FAB。 【选自教材P18 随堂练习 第1题】 2. 如图，在菱形 ABCD 中，将 A，C 两点沿对角线 AC 分别移动到 A′，C′ 的位置，得到正方形 A′BC′D。已知菱形 ABCD 的面积为 120 cm2，正方形 A′BC′D 的面积为 50 cm2，求 AC 的长。 【选自教材P18 随堂练习 第2题】 正方形的面积 = = 两条对角线乘积的一半 解：∵S正方形A′BC′D = 50 cm2。 ∴ S正方形A′BC′D = ×BD2 = 50 cm2， 解得 BD = 10 cm。 又∵S菱形ABCD = 120 cm2， S菱形ABCD = ×BD×AC ， 解得 AC = 24 cm。 【选自教材P21 习题1.4 第1题】 1. 对角线长为 2 cm 的正方形，边长是多少？ 解：∵ABCD 是正方形， ∴AB = BC，∠B = 90° △ABC是等腰直角三角形， AB2 + BC2 = AC2 = 4， ∴AB = 习题1.4 【选自教材P21 习题1.4 第2题】 2. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形， 求∠AEB 的度数. 证明: ∵△BEC 是等边三角形， ∴BE = EC = BC = AB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 ° ∴∠AEB = = 75 ° 5. 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上。仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC，BP，AQ 是两条直路。证明 BP = AQ，且 BP⊥AQ。 数学理解 证明: 如图， AQ 与 BP 交于点 O。 在正方形 ABCD 中， ∵PD ＝ QC， ∴DQ ＝ AP 。 又∵AB ＝ AD ，∠D ＝∠PAB ＝ 90°， ∴△ABP ≌△DAQ。 ∴BP ＝AQ，∠DAQ＝∠ABP ． ∵∠ABP ＋∠APB＝ 90°＝∠DAQ＋∠APB。 ∴∠AOP ＝90°。 ∴BP ＝AQ 且 BP ⊥ AQ． 6. 作两条直线，将正方形分成大小、形状完全相同的四部分。你有几种方法（至少说出三种）？ 问题解决 正方形是旋转对称图形，其最小旋转角是90，因此，过正方形两条对角线的交点任意作两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分。 课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？ 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. $