第25章 一元二次方程 单元自测培优卷 - 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级一元二次方程单元复习卷，融合赵爽弦图文化传承与马年销售等生活应用，适配分层教学与基础测试需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|根的概念、韦达定理、函数图像|第3题结合直角三角形，考查根与几何的综合应用| |填空题|6/18|配方、根的判别式、动态几何|第14题创新“邻根方程”概念，培养推理意识| |解答题|7/58|解法综合、实际建模、文化探究|20题以赵爽弦图为载体，分层次考查数学眼光与模型意识；21题围建菜地问题，强化数学语言表达现实世界的能力|

第25章 一元二次方程单元自测培优卷【分层作业】 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·四川德阳·阶段检测）若关于x的方程的两根互为相反数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边上的高是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东潍坊·模拟预测）函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，若已知点，则下列结论一定不成立的是 A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为288万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程的两根为，则等于______． 10．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 11．（2026·江西上饶·三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 12．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知m，n是方程的两个根，则________． 13．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 14．（23-24九年级上·四川达州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值为____． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分））（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 16.（8分）（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 17.（8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的方程有实数根，求的取值范围． 18.（8分）（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 19.（8分）（25-26九年级上·四川成都·期末）2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 20.（8分）（25-26八年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 21.（10分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）育高农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地． (1)如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一段篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程单元自测培优卷【分层作业】 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 2．（24-25九年级上·四川德阳·阶段检测）若关于x的方程的两根互为相反数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】据方程两根互为相反数知两根和为0，可得关于的方程，解方程求得的值，要注意检验方程是否有两根． 解：∵方程的两根互为相反数， ∴，可得：， 当时，，符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查方程的根与系数的关系，根据题意知两根和为0得关于的方程是关键，要注意检验方程是否有两根． 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、为方程的两个根，利用根与系数的关系得，，再利用勾股定理得到斜边长为，利用完全平方公式变形得到斜边，然后利用整体代入的方法计算求得斜边，最后根据三角形面积公式即可解答．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，勾股定理，完全平方公式，熟练运用一元二次方程的根与系数关系是解题的关键． 解：设直角三角形的两直角边分别为、，斜边上的高为， ∵一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根， ∴，， ∴直角三角形斜边长为， ∴，， ∴， 解得：， 这个直角三角形的斜边上的高是， 故选：． 4．（2025·山东潍坊·模拟预测）函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据函数图象可得函数中，，再运用一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，，有两个相等的实数根，，方程无实数根的方法进行判定即可求解． 解：根据图示可得，函数中，， 关于的一元二次方程， ∴， ∴有两个不相等的实数根． 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，若已知点，则下列结论一定不成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可得：，再利用配方法求解的最小值，再求解的最小值，从而可得答案． 解：由勾股定理可得： 当时，有最小值 ∴的最小值为 所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键． 6．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为288万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增长公式：增长后的量增长前的量增长率，分别表示出每个月的营业额，再结合三个月总营业额列方程即可． 【详解】设平均每月营业额增长率为， 月份营业额为万元， 月份营业额为，月份营业额为， 又月、月、月总营业额为万元， 可得方程． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1的非负数解”的条件列出不等式组，求解即可得到的取值范围． 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程的两根为，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，直接开方法求出方程的根，进而确定的值，再求和即可． 解：由题意，有根， ∴， ∴， ∵方程的根为， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法、多项式相等的条件以及代数式求值，熟练掌握配方法的步骤和多项式系数对应相等的性质是解题的关键． 先将配方后的方程展开，再与原方程比较对应项的系数，求出和的值，最后计算的值． 解：， ， ∵与是同一个方程， ∴，． ∴，． ∴． 故答案为：． 11．（2026·江西上饶·三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】首先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根得到根的判别式，联立计算即可求出的值． 解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根 ， ， 其中，， ，代入得 ， 解得，满足． 12．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知m，n是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系得出， ，再通过完全平方公式变形所求代数式，代入计算得到最终结果． 解： 整理得： ， 这里 , , ∴ ， ∴， ∴ ． 13．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 14．（23-24九年级上·四川达州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值为____． 【答案】0或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，通过对完全平方公式变形求值．由“邻根方程”定义可得，由根与系数的关系可得，，再根据即可求出m的值． 解：中， ， 方程有两个实数根， 设是“邻根方程”的两个根，， 则，，， ， ， ， 解得或， m的值为0或． 故答案为：0或． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分））（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 原方程整理得． 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 16.（8分）（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)当时，代数式的值最小，最小值为1 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键． （1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数； （2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：令， ∴， ∵， ∴函数开口向上，有最小值， ∴当时，最小值为1． 17.（8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】分，两种情况讨论，最后合并取值范围． 解：已知有实数根， 当，方程为，，有实数根； 当，方程有实数根，则，解得， 综上，． 18.（8分）（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)不存在满足条件的实数 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可； （2）假设存在实数使得，则，由可得，与矛盾，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，． ∴且， ∵， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为且； （2）解：假设存在实数使得， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴ 解得， 由（1）得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 不存在实数使得． 19.（8分）（25-26九年级上·四川成都·期末）2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 【答案】(1) (2)80元或90元 【分析】本题考查了一次函数与一元二次方程的应用． （1）根据销售量与降价金额的关系列出函数关系式即可； （2）根据利润的计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设销售单价为x元，则降价了元， ∴多销售的个数为个， 依题意得：， 化简得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：依题意得：， 解得，， ∴当售价单价定为80元或90元时，每天可获利1200元． 20.（8分）（25-26八年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 【答案】(1)ABC (2)1；6 (3)原矩形的长和宽分别为6和4 【分析】（1）根据方程变形及题意，结合图形依次判断即可； （2）根据题意得出矩形较长边长为：，大正方形的边长为：，然后建立方程求解得出，再结合题意代入求解即可； （3）设矩形较短边长为m，较长边长为n，得出大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，然后建立方程得出，再将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．确定，联立求解即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意：方程变形得， A．所用矩形的长为，宽为x，正确，符合题意； B．中间小正方形的边长为，面积为，正确，符合题意； C．外围大正方形的边长为，正确，符合题意；     D．四个矩形的总面积为，选项错误，不符合题意； （2）解：∵中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x， ∴矩形较长边长为：， ∴大正方形的边长为：， ∵大正方形的周长为20， ∴， 解得：， ∴， ∴形如的方程为， 即； （3）解：设矩形较短边长为m，较长边长为n， ∴大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∵大正方形面积与内部小正方形面积之和为104， ∴①， ∵将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24． ∴②， 联立①②， 解得：， ∴原矩形的长和宽分别为6和4． 21.（10分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）育高农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地． (1)如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一段篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】（1）设，则，根据菜地面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设，则，根据菜地面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵墙的长为， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为； （2）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵由墙和一段篱笆构成， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $