山东省日照市2027届高三上学期开学考试数学试卷

参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 2024级高三上学期开学考试 数学 2026.09 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3、考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x∈Nx≤5}，集合B={x|x(x-3)>0,则A∩B= A.{3,4,5} B.{4,5} C.[3,5) D.(3,5] 2.命题“]x>0,x2-x+1>0”的否定为 A.3x≤0，x2-x+1≤0 B.Vx≤0，x2-x+1≤0 C.3x>0,x2-x+1≤0 D.x>0,x2-x+1≤0 3.“lnx<ny”是“2*<2y”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、为了得到函数y=2s如2x的图像，只要把函数)=25如m2x+令图像上所有的点 A.向左平移汇个单位长度 B.向右平移：个单位长度 9 C。向左平移名个单位长度 D.向右平移名个单位长度 5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2(a cosC+ccosA)cosA=C, C=. 6则A 5π A. 12 B. c D. 高三数学试题第1页共6页 己知函数f)=2+士则使得不等式/2m)<fm+D成立的实数m的陬 值范围是 A.) c.(0,-3Ul,+o) D.(-o,2U0,+o∞) 7在A1BC中，∠B4C-骨而-号而，P为线段CD上一点，且满足 3 2AP=2mAC+AB.若△ABC的面积为V5,则|亚的最小值为 A.6 B.2 5 C. D.2 2 2 8.已知关于x的不等式cos(5x-3(ar2+br+d≥0(a≠0)对任意x∈[0,6]恒成立，则 不等式cx2+ax+b>0的解集为 C. D.(←o,Ug+四) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.若a>b,c>d,则a+c>b+d 8者a>6:周时分 C.若ac2>bc2,则a>b D.若b>a>0,m>0,则b+m<b a+m a 高三数学试题第2页共6页 10.已知函数f(x)=-x3+bx2+cx(b,c∈R),下列说法正确的是 A.若f(x)是奇函数，则b=0 B.若f(x)是减函数，则b2+3C≤0 C.f(x)所有零点的平方和等于b2+3c D.当b2+3c>0时，存在两条互相垂直的直线都与曲线y=f(x)相切 1.已知数列a}的前m项和为S,若4=2，am=a,0eN,则 B.数列{an}为递减数列 C.数列{a,}的最大项是2，最小项是0D.对任意n∈N, nsas-4 n+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量a=(x,l),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=」 13.函数f(x)=lnx与函数g(x)=e*-2公切线的斜率为 14.己知数列{an}为等差数列，bn=sin(an),存在正整数t,使得bn=bn(n∈N) 若集合{x|x=bn,n∈N}有3个元素，则t的可能取值有 个 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,V3cosx),设f(x)=a·b. (1)求函数y=f(x)的单调递增区间； (2)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知f()=V5, b=√5，△4BC的面积为，求△ABC的周长. 高三数学试题第3页共6页 16.(15分) 已知函数f(x)=x2-(m+2)x+mlnx,m∈R (1)当fI)=0时，求f(x)的单调区间； (2)若函数y=f(x)在(O,+o)上存在极大值，求实数m的取值范围. 17.(15分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且2n-2,Sn,4an成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=l0g2(1-4n),从数列他}中依次取出第2项，第4项，第8项，，第2” 项，按原来顺序组成新数列{cn},求使得不等式c+c2+C3+…+cn>2026成立的最小 正整数n的值. 高三数学试题第4页共6页 18.(17分) 已知函数fe=6c-30e-a2-2x-3),aeR. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)当a≤e2时，若函数f(x)有3个零点，求实数a的取值范围： (3)当a>1时，对任意的x,<0n∈N),满足∑=-1.证明： 2)ka-8m-2). 高三数学试题第5页共6页 19.(17分) 定义域为R的可导函数y=(x)在其图像上存在三个不同的点A(xy),B(x2y2), C(xy3)(x<x2<x3),使得直线AC与曲线y=p(x)在点B处的切线平行（或重合）.若 x,x2,x3成等差数列，则称(x)为“等差函数”；若x,x2,x3成等差数列且x,x2, x?均为整数，则称p(x)为“整数等差函数”. (1)设f(x)=x2-3x,判断f(x)是否为“整数等差函数”，并说明理由； (2)当为≠0时，若f=1 (m>O)为“整数等差函数”，求m的最大值； mx2+1 (3)若对任意的，x2∈R,当x<x,时，总有n(x)≤m(x2),则称y=m(x)为R 上的不减函数.若f(x)的导函数f'(x)是R上的不减函数，且存在一个正常数T，使得 对任意x∈R,f(x+T)=f'(x)成立.证明：f(x)为“等差函数”的充要条件是f(x) 为常值函数。 高三数学试题第6页共6页2024级高三上学期开学考试 数学试题答案 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1-4 BDAD 5-8 BCAB 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ACD 10.ABD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.√2 13.1或e 14.4或者无数个 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：(1)由题意，f(x)=a.b=sinxcosx+√3cos2x …1分 _sn2r+51+cos2对) 22 sin 2x+ π)，√5 +32 ……4分 令2：子2x+骨<2k+号解得：k 12sr≤kr+ 121 放y-)的单调递增区间为k:晋k红+音k:刀 …6分 (2)由f(A)=V5得sm2A+）=3 32 因为4Q0,所以24受-管）解将4= …8分 因为esind=方xe×分5，所以c=4, ……………………10分 由余弦定理得ad=B+c-2bc0s4=√厅+4-2×4W55=7,所以a=万.…12分 2 故△ABC的周长为a+b+c=√7+√5+4. …13分 16.解：(1)因为f(1)=0,故1-1m-2+0=0,故=-1，…1分 f(x)=x2-x-Inx, 求导得f(x)=2x-1-上-区-2x+D,x∈(0，+0) …2分 令f(x)>0得x∈(1，+∞)，此时f(x)单调递增： 令f'(x)<0得x∈(0,1)，此时f(x)单调递减： 所以，f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0,1)…6分 高三数学试题第1页共5页 (2)f)=2-m+2)+m-2=m+2r+m2x-m)-1) …7分 若m≤0，则x∈(0,1)时，f'(x)<0,x∈(1，+o)时，f'(x)>0, 故x=1为f(x)的极小值点，无极大值点，故舍： …9分 若0<受<1即0<m<2,则xe(受fk0, xe0)u+o)时，f0, 故x-受为了(y的极大值点，符合题设要求： …11分 若m=2,则x∈(0，+n)时，f'(x)≥0，f(x)无极值点，舍；…12分 若空1即m>2,则xe1时，了0， eo经+oj时.f国>0， 故x=1为f(x)的极大值点，符合题设要求： …14分 综上，m的取值范围是{>0且≠2}. …15分 17.解：(1)因为2n-2,Sn,4a.成等差数列， 所以2Sn=2n-2+4an→Sn=h-1+2a(*), 当n≥2，neN*时，Sn-1=n-2+2a-1(**), (*)-(*),得4.=1+20-20-1→20n-1=1+4.→an-1=20n-1-2…3分 →4.-1=2(a-1-1), 由Sn=n-1+2a,得S=4=1-1+2a→a1=0, 所以数列{a。-1}是首项为4-1=0-1=-1≠0，公比为2的等比数列.…5分 4-1=-1×21→4=1-2"-1， …6分 (2)b.=log2(1-a)=log2(1-1+2m-1)=n-1, …7分 由题意可知：G1=2-1,c2=4-1,c3=8-1,,Cn=2”-1,…8分 G+C3+C3+…+Cn>2026→2-1+22-1+22-1+…+2”-1>2026 -20-2”-m>202632H-2-m>2026 …10分 1-2 设Tn=2”1-n-2, I41-T,=[22-(n+1)-2]-(2-n-2)=2-1, 因为n∈N*,所以2+-1>0， 即T,#1-Tn>0→T+1>Tn, 高三数学试题第2页共5页 所以数列T,}是递增数列， …12分 因为T=210-9-2=1013<2026,I10=21-10-2=2036>2026, 所以使得不等式C,+C3+C3+…+cn>2026成立的最小正整数n的值为10.…15分 18.解：(1)因为f"(x)=e*(x-2)-ar+2a=(e*-a(x-2) 故f(0)=3(a-1),f'(0)=2(a-1), 因此曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程为：y-3(a-1)=2(a-1)x-0) 即y=(a-1)(2x+3). …………………4分 (2)f(x)的定义域是R,f'(x)=e(x-2)m+2a=(e-a)(x-2), ①当1≤0时，函数f(x)在(-0,2)上递减，在(2，+0)上递增， 故函数f(x)至多有两个零点，不合题意，舍去： …5分 ②当0<a≤e2时， ()当a=e2时，lna=2,f'(x)≥0恒成立， 故函数f(x)在R上单调递增，不合题意，舍去： ……6分 (i当0<a<e时，lna<2, 当x∈(-o,ha时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 当xe(lha,2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f倒在x=ha处取得极大值fa)-oda(6-la, 在x=2处取得极小值f(2)=-e2+5a. f(Ina)>0 故要使得函数f(x)有3个零点，需要 (/2)<0即 Lalna(6-ma)>0 5a-e2<0 1<a<e 解之得 …8分 a< ,故1<a<5 5 此时=空0到=号品0 所以3x∈(2,3)，使得f(:)=0,即f(x)在(2，+∞)上有1个零点： x,∈(lna,2),使得f(s)=0,即f(x)在(ha,2)上有1个零点： 3x3∈(-1，nad,使得f()=0,即f()在(-o,ha)上有1个零点. 所以，f(x)有3个零点时，实数a的取值范围是a,) …10分 高三数学试题第3页共5页 (3)由(1)知f(x)在(0，f(0)处的切线方程为y=(a-1)(2x+3), 设g(x)=(a-1)(2x+3),下面证明：当x<0时，f(x)<g(x) 设h(x)=g(x)-f(x), 则h(x)=g(x)-f'(x)=-(x-2)(e*-a+2a-2,…12分 设t(x)=h(x),则t(x)=-(x-l)e+a, 显然a>1,x<0时，t'(x)>0,所以t(x)递增，则t(x)<t(0)=0,即l(x)<0, 所以h(x)递减，则h(x)>h(0)=0,从而g(x)-f(x)>0,即f(c)<g(). 所以f()<g(i),f()<g(6),…,f(x)<g(x),… …15分 得f(s)+f(s)+…+(s)<(a-1)(2x+3)+(a-1)(2x+3)+…+(a-1)(2x.+3) =(a-1)(2x1+2x3+…+2xn+3n0. 即∑f(x)<(a-13n-2). ……………17分 i 19.解：)对于f,直线4C的斜率ke=当=雪3-+3延=x,+,-3, x3-x1 x3-x 因为f'(x)=2x-3,所以曲线y=f(x)在点B处的切线斜率为k=2x2-3, 由题意k4C=k可得+x-3=2x-3即x+x=2x,所以，，x成等差数列， 取x=2,d=1,则x,6,x成等差数列且均为整数， 故∫(x)是“整数等差函数” ………4分 (2)因为f(x)为“整数等差函数”，所以x,x,x成等差数列且x,x,x均为整数， 设公差为d,则d=x-x=x-x>0,且deN, 1 直线4C的斜率kc=五-m+1mr+ (x1+x3) 水3-x x3-x (x+1(nx+1) …5分 2nx 因为f'(x)= (mr2+1 21x, 所以曲线y=f(x)在点B处的切线斜率为a= (x号+1 2， …6分 由题意，k4c=kBP m(x+x3) 2x2 (n+1)(nx+1 (+1 因为x≠0，>0 所以转化为(x+1=(mx+1)(mc+1）又x=-d,=+d, →mx+2x=m(x-d'(x+d+mx-d+(x+d） 高三数学试题第4页共5页 2 →m= 2x-d …………9分 因为x,∈Z,d∈N,所以(2x-d)∈Z,又m>0,所以(2x-d)的最小值为1， 可取2=d=1使等号成立，故的最大值为2·…10分 (3)①充分性：因为f(x)为常值函数，所以f'(x)=0, 任意取等差数列，，，则直线4AC的斜率40=台-当=0， x3-x 曲线y=f(x)在点B处的切线斜率为k=∫'(x)=0, 所以4C=g,所以f(x)为“等差函数”.…12分 ②必要性：因为f(x)为“等差函数”，所以x,x2,x3成等差数列， 设公差为d,则d=名-书=-名>0，直线4C的斜率元c=为出=f飞）f】 x3-x1 x3-x1 曲线y=f)在点B处的切线斜率为。=了(5)，由题意，友0，→，-f)了x) x3-xj f(x:+d)-f(x2-d)=2df(x2), 令g(x)=f(x+x)-f(x-x)-2f'(x),x>0, g(x)=f'(x+x)+f'(x-x)-2f'(x) =f(x3+x+T)+f(x-x+T)-2f(x+T), h(x)=f(x2+x+T)+f(x-x+T)-2f(x+T), (x)=f(x+x+T）-f(-x+T),…14分 因为f(x)在R上为不减函数，所以H(x)≥0，h(x)在(0，+n)上为不减函数， 因为h(0)=0,所以g'(x)=h(x)≥0，g(x)在(0+)上为不减函数， 因为g(0)=0,所以g(x)≥0在(0，+∞)上恒成立， 又g(d)=0,由g(x)的单调性知g(x)=0,x∈(0，d), 故g(x)=0,x∈(0，d),(x)=0,x∈(0，d), f'()=C,x∈(x-d+T,x+d+T),C为常数， f(x)=C,xE(x2-d+2T,x+d+2T),f(x)=0,xE(x-d+2T,x+d+2T), f(x)=0,x∈(x,-d+3T,x+d+3T), …16分 接下来，一方面，因为f(x+T)=f'(x),且(x)在R上为不减函数， 所以f(x)在R上为不减函数，故f'(x)≥0，f(x)≥0， 由f(x)=0,x∈(x-d+3T,x+d+3T),可得f(x)=0,x∈(-o,x+d+3T), 另一方面，因为f(x+T)=f'(x), 所以f'(x)=0,x∈(-o,x3+d+3T),可得f(x)=0,x∈(-n,x+d+4T), 以此类推，f(x)=0在R上恒成立，即f(x)为常值函数. 综上，由①②知，f(x)为“等差函数”的充要条件是f(x)为常值函数，…17分 高三数学试题第5页共5页