学易金卷：高二数学上学期第一次月考02（全国通用，范围：人教A版选择性必修第一册空间向量与立体几何+直线的方程）

**基本信息** 以空间向量与立体几何为核心，融合"将军饮马"文化情境与分层设计，通过选择、填空、解答题梯度考查直线方程、空间向量运算及立体几何证明，适配高二选择性必修第一册阶段性检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|直线倾斜角、方向向量、空间向量基底|基础与中档题结合，多选考查空间直角坐标系及直线位置关系| |填空题|3题/15分|共面向量定理、平行线距离、文化情境应用|第14题以唐代诗句为背景，体现数学眼光观察现实世界| |解答题|5题/77分|直线方程综合、空间向量证明与计算|16题用基底表示向量并求证垂直，19题结合外接球求线面角，凸显数学思维与语言表达|

西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章前3节。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.直线x-√3y+5=0的倾斜角是() A.30° B.60° C.1209 D.150° 2.若经过A(1,-2),B(-m,6)两点的直线的方向向量为(1,4)，则实数m=（) A.5 B.-5 C.-3 D.-17 3.在四面体O-ABC中，设OA=,OB=b,OC=c,点M为AB的中点，ON=2NC,则MN=() A.-a-16+36 B.a 1a+16+c C.a+b+c D.a-b-c 223 22 4.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为棱AB的中点，F为棱CC1的中点，则异面直线DE与BF 所成角的余弦值为() A. B.25 C.vio D. 3W10 5 5 10 10 5.过点A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为() A.x-y+3=0 B.x+y-5=0 C.4x-y=0或x+y-5=0 D.4x-y=0或x-y+3=0 6.设点A(4,-3),B(-2,-2),直线1过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是() A及1酸≤4B.k1酸及≤-青 C.-4≤k≤1 D.4sk≤1 3 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AB,则下列数量积最大 的是() B A.BD.PC B.PB.PC C.BC.PC D.PA.PC 115 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 8.已知正方体ABCD-AB,CD外接球的表面积为48π，点P,Q分别是棱AB,CD的中点，动点E,F分 别在棱B,C1,AD上，且EF⊥B,C1,则四面体P-EFQ的体积为() A B. D.16W2 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是() A.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(1，-2，-3) B.在空间直角坐标系中，i=(1,0,0)是坐标平面Oxy的一个法向量 C.己知{a,,c是空间的一组基底，则a,i-a,a-c也是空间一组基底 D.以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形 10.已知直线l:x+y-a=0和直线1：x-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是() A始终过定点后剖 B.若1/112，则a=-3 C.若⊥2，则a=0 D.当a<0时，始终不过第三象限 11.在棱长为2的正方体ABCD-ABC1D中，点P满足BP=BC+BB,,且0≤1≤1,0≤u≤1，则下列 说法正确的是() D C A B …P D: B A.若+u=1,则AP/平面AC,D B.若+u=1,则AP⊥BC C.若元=u=行则P到平面ABD的距离为y 3 √3√6 D.若=1,0≤u≤1时，直线DP与平面ABD所成角为0，则sin6∈ 3 3 215 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间四边形OABC中，已知空间内一点P满足OP=}OA+1oB+0C(2eR),若PA,PB,PC共 面，则2= 13.若P,2分别为两平行直线：3x-4y-1=0,12:6x+w+3=0上任意一点，则m的值为；Pg 的最小值为 14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣 的数学问题一“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营， 怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点A(2,0)处出发，军营所在的位置 为B(2,3),河岸线所在直线的方程为y=3x+2,则将军饮马”的最短总路程为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在平面直角坐标系中，已知三点A(-3,4),B(3,2),C(1,0), (1)若直线4过点C(1,0)且与直线AB垂直，求直线的方程： (②)若直线马经过点A,且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程. 3/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.（15分) 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D中，AB=AD=2,AA'=3,∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA=60° D' C D 47- B (I)以A丽，AD,AA为基底向量，表示向量BD、AC: (2)求证：BD⊥AC': (3)求AC'的长 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧面ACCA是正方形，BC⊥平面ACCA, B B A A (I)证明：平面ABC1⊥平面ABC; (2)若BC=1,AC=3,求直线AB与平面ABC1所成角的正弦值. 415 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分) 已知直线1：(a-1)y=(2a-3)x+1. (1)求证：直线l过定点： (2)若P(2,1)到直线1的距离最大，求a的值： (3)若直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求1的方程. 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA=AB=AD=2,∠PAB=∠DAB=120°，M为PB 中点 D B A (1)求证：PD//平面ACM: (2)若平面DAB⊥平面PAB,求PD到平面ACM的距离 (3)若三棱锥P-ABC外接球半径为2，求直线PD和平面PAC所成角的余弦值. 5/5西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 C B B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10 11 ACD AB AD 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 7 12.15 13,8: 14.5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【答案】(1)3x-y-3=0:(2)4x+3y=0或x+2y-5=0 【详解】（1山)由4(-3,4)，B3,2)可得直线AB的斜率为k= 4-21 -3-33, -2分 ⊥AB 因为 ，故直线的斜率为3， -4分 则直线的方程为-0=3(x-）,即3-y-3=0 -6分 4x+3y=0 (2)当截距均为0时，直线方程为 ,符合题意， -8分 x+y=1 当截距不为0时，不妨设直线，方程为2b+6 -10分 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又点货L经过点4，散+言1，b-,所以直线L方酒为+2y-5=0: 5 -12分 x+3y=0x+2y-5=0 综上，所求直线方程为 或 13分 16.(15分) 【答案】0D=D-仍，4C仍+D+新，②答案见解折，③)2四 【详解】(1)在△ABD中，根据空间向量的减法运算可得BD=AD-AB, -2分 AC=AC+CC=AB+AD+AA 4分 ((1BD-AC-AD-AB)AB+AD+-AD-AB+AD+DA-AB-AB-AD-4BA4 =0+4+2×3×号-4-0-2×3×)=0 2 7分 BD⊥ACBD⊥AC 所以 ,则 -9分 (3)由(1)4C=历+D+A团 -10分 所以4C=店+0++2B4D+2B+2A0 -12分 54+4+9+0+2x2x3x)+2x2x3×)=29 -14分 所以AC=v2 ,即AC的长为V2网 -15分 17.(15分) 3√209 【答案】(1)答案见解析；(2)209 ACCA AC⊥AC 【详解】(1)因为侧面 是正方形，所以 -2分 因为BC士平面1 ACCA ACCACCA」 BC⊥AC 「平面 ，所以 -4分 4Cnc=C,4C6cC平面4BC,所 AC⊥ABC 因为 ,所以 平面 -6分 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AC ABC ABC,⊥ ABC 因为 平面 ，所以平面 平面 …7分 CC (2)方法一：如图，以C为坐标原点，CA, ,CB所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， B B 则13,00，C(0,30).43,30)B0,01) 所以=(30,1)，4C=(-33,0).4B=(←3,3，) -10分 设平面1BC的法向量为 i=(x,y,2) i·AB=0 「-3x+z=0 则AC=0,即-3x+3y=0,取x=1,得万=(1,1,3)： -12分 AB ABC 设直线 与平面 所成的角为0， 则sinB n·AB 3V209 4B V11×√19209， 3V209 即直线4B与平面4BC所成角的正弦值为209·. -15分 方法二：设 C与4C的交点为0连接OB, B B 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ABC,⊥ ABC AB ABC 因为平面 平面 ，所以直线 在平面 内的射影即直线OB ∠ABO AB ABC 则 即为直线 与平面 所成的角 -10分 因为1C=3,四边形4CC4是正方形，所以4C=3N5,04=0C=3 又BC=1, 所以OB=VBC2+OC2 32 .48=C+4-F46可- 22 2 所以n∠4OB=sin∠BO BC√22 -OB11. -12分 AB 40 在△AOB中，由正弦定理可得sin∠4OB sin.∠AB0 3V2 v19 2 即√22sinL4B0,解 11 sin∠4B0=3V209, 209 3√209 即直线AB与平面ABC所成角的正弦值为209 -15分 18.(17分) 【答案】(1)答案见解析：(2)a=2；(3)2x+y-4=0 :(a-1)y=(2a-3)x+1 【详解】(1)证明：由直线 整理可得： w-2-y+3r-1=0,即a0-2x)+(y+3x-l)=0 -2分 [y-2x=0 x=1 则由-y+3x-1=0,即y=2, 故直线过定点 21,2) 4分 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0(1,2) P(2,1) (2)当动直线满足定点 与直线外点 的连线垂直于时， P(2, 到直线的距离最大， -6分 2-1 因为4阳1-2-1，则k=1: -8分 因为1：a-y=(2a-3x+1,放女=2a3 1,解得a=2: a-1 -10分 (3)由(a-ly=(2a-3)x+1 得： 1 1 当y=0时，x=2a-3:当x=0时，y=。 a-1: -12分 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 1 >0 2a-3 1 ,解得，3： -14分 >0 1<a< a-1 2 5=1x-1x1= 此时三角形面积为5220-3水。22a-50+ ，-l5分 =2a2-5a+3 要使面积取最小值，只需取 的最小值即可： 8可知， 当a=5时， 4 y=2a2-5a+3 最小，比时面积取最小22-50+习2 S=- =4 6 时版方医为原小-子- ,即2x+y-4=0 -17分 19.(17分) 215 【答案】(1)证明见解析；(2)5；(3)2 【详解】(1) 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D -------B 设AC∩BD=O,连接OM 因为四边形ABCD为菱形，所以O为BD的中点. 在△PBD中，因为M为PB的中点，所以OM为△PBD的中位线，故MO1IPD,-2分 又因为MOC平面ACM,PD￠平面ACM, 所以PDII平面ACM: --4分 (2)方法一：向量法 D 以A为原点，以AB所在直线为x轴，在平面ABCD内过A作与AB垂直的直线为y轴， 过A作与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则4(0,00)，B(20,0),C5,0）.aB=(20,0).4c=5,0） 5分 在平面PAB内过P作PH⊥AB,交BA的延长线于H,连接DH. 因为平面DAB⊥平面PAB,平面DAB∩平面PAB=AB,PHC平面PAB, 所以PH⊥平面ABCD,所以PH/Iz. 因为∠PAB=∠DAB=120°，所以∠PAH=∠DAH=60°， 因为PA=AD,AH=AH,所以△PAH=△DAH, 所以PH=DH,∠DHA=∠PHA,即DH⊥AB,所以DHIly. 在RtPA H中，PA=2,所以4H=PAcos60=1,PH=P4sin60=5=DH 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 Dw50个1a.皮为w为p5中点.两传0写】 1 -6分 D=（15,0) 设平面4CM的法向量为 =(x,八，2） x+3y=0 AC=0 则 -z=0, 2 令x=-5,则y=lz=1,则i=5, -8分 设点D到平面ACM的距离为d, d- aD才-x5)+5x1+0xl_2_25 则 园 V-3+1+ 5 5 由(1)知PD1I平面ACM, 所以PD到平面ACM的距离即为点D到平面ACM的距离， 2W15 所以PD到平面ACM的距离为5； --10分 方法二：等体积法 由(1)知PD/I平面ACM, 所以PD到平面ACM的距离等于点P到平面ACM的距离，设为h, 因为M为PB中点，所以点P到平面ACM的距离等于点B到平面ACM的距离， VP-ACM =VB-4CMI =VM-ABC 即 -6分 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 在平面PAB内作PH⊥AB交直线BA的延长线于H,取HB中点M', 连接MM',CM',则MM'I/PH, 因为平面DAB⊥平面PAB,平面DAB∩平面PAB=AB,PHC平面PAB, 所以PH⊥平面ABCD,所以MM'⊥平面ABCD, 又CM'C平面ABCD,所以MM'⊥CM'. 在RtPAH中，PA=2,所以4H=PAcos60=1,PH=PA5n60=5 所以M到平面ABC的距离为 MMr=号PH=5 2 2 因为B=HA+B=3,所以8Mr= 在△MBC中，∠MBC=60,BC=2, 由余弦定理可得MC2=BM2+BC2-2BM',BCeose60= 4, 在RtAMMC中，CM=VMM+MC2=2 在△PAB中，PA=AB=2,M为中点，则AM⊥PB, 由余弦定理可得Pg2=Pf+AB-2P4 o120=2+2-2x2x2x》-12. 所以p8=25,所以4wP-(9-2-K阿可- 在，4CyC-2CW-24w=1,底边的高为yF-目- 2 2 3 4 -8分 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 c-号S.M=X)x 11 5×-×AB×BC×sin60°= x2x2x1 又因为 32 32 222 -9分 1V15,1 由V,Cw=VM-Aac可得写X4 h=2解得h=2 5 2V15 所以PD到平面ACM的距离为5： -10分 (3) VA 在（②）所建的坐标系中，设P(,则=(c), 因为PA=2,所以A=2+y+2=4 由∠P1B=120,AB=2,可得4PB=2x=APA6cos∠APB=2x2×cos120=-2 解得=-1，故 y2+z2=3 -12分 25 在正△ABC中，外接圆圆心为 外接圆半径”= 3· 设三棱锥p4BC外接球的半径为R,球心为3，么， 412 由球的性质R=户+兮可得4号+ ,解得 3, ---13分 2 因为点P在外接球上，则OP=R=2, 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =4 my-49j-… .-14分 设平面P4C的法向量为 m=(x,,) +3y=0 则0+2-0 mAC=0 令=1， 则x=5,z=2,即m=(5,-l 15分 设直线PD和平面PAC所成角为8， 0xV5+23 (-1)+ 2v6 x 3 3 PD-m 25√2 则sinO=cosPD,m +12+24 VO+ 3+1+2 2W62 PD 99 因为0[0引，所以6os0=-n0- 2 所以直线PD和平面PAC所成角的余弦值为2 -17分 10110: 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章前3节。 第一部分（选择题共58分） . .: 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 % 求的。 ·: 1.直线x-√3y+5=0的倾斜角是（) : : A.30° B.60° C.120° D.150° 2.若经过A(1,-2),B(-m,6)两点的直线的方向向量为(1,4)，则实数m=() : O A.5 B.-5 C.-3 D.-17 : 3.在四面体O-ABC中，设OA=a,OB=五，OC=c,点M为AB的中点，O=2NC,则MN=() 1 C.a+b+c D.a-b-c 斟 4.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为棱AB的中点，F为棱CC1的中点，则异面直线DE与BF : : 所成角的余弦值为() .: 4.5 8.35 C.vio D. 3v10 : 5 10 10 O 5.过点A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为() : A.x-y+3=0 B.x+y-5=0 C.4x-y=0或x+y-5=0 D.4x-y=0或x-y+3=0 ·: 区 6.设点A(4,-3),B(-2,-2),直线1过点P1,1)且与线段AB相交，则直线1的斜率k的取值范围是() Ak21或k≤4Bk21或k≤ C.-4≤k≤1 D.-4sk≤1 31 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AB,则下列数量积最大 的是() 试题第1页（共4页） : 可学科网·学易金卷做概微：限彩是鲁普 D e二- B A.BD.PC B.PB.PC C.BC.PC D.PA.PC 8.已知正方体ABCD-ABC1D外接球的表面积为48π，点P,Q分别是棱AB,CD的中点，动点E,F 分别在棱BC1,AD上，且EF⊥B,C1,则四面体P-EFO的体积为() 4 A.3 8.32 64 3 c. 3 D.16V2 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是() A.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(1，-2，-3) B.在空间直角坐标系中，i=(1,0,0)是坐标平面Oxy的一个法向量 c.已知{a,b,c}是空间的一组基底，则a,i-a,a-c也是空间一组基底 D.以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形 10.已知直线：x+y-4=0和直线l:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是() A.1始终过定点 B.若11l,则a=-3 C.若4⊥2，则a=0 D,当a<0时，l始终不过第三象限 11. 在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点P满足BP=BC+BB,,且0≤1≤1,0≤≤1，则下 列说法正确的是() D A B D 试题第2页（共4页） 列学科网·学易金卷做好德：就限是鲁 A.若1+=1，则AP//平面AC1D B.若+=1，则AP⊥BC C.若2=u= 下5，则P到平面4BD的距离为V3 3 D.若=1,0≤4≤1时，直线DP与平面ABD所成角为6，则sin0∈ 36 3’3 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间四边形OABC中，已知空间内一点P满足OP=OA+1OB+0C(2ER),若PA,PB,PC共 面，则=一 13.若P,Q分别为两平行直线：3x-4y-1=0,1:6x+w+3=0上任意一点，则m的值为；P0 的最小值为 14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有 趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军 营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，己知将军从山脚下的点A(2,O)处出发，军营所在的 位置为B(2,3),河岸线所在直线的方程为y=3x+2,则“将军饮马"的最短总路程为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在平面直角坐标系中，己知三点A(-3,4),B(3,2),C(1,0). (1)若直线4过点C(L,0)且与直线AB垂直，求直线的方程： (2)若直线2经过点A,且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线l2的方程. 16.(15分) 如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD中，AB=AD=2,AA'=3,∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°. D D B (1)以AB,AD,AA为基底向量，表示向量BD、AC: 试题第3页（共4页） (2)求证：BD⊥AC: O (3)求AC的长， 17.（15分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，侧面ACC,A是正方形，BC⊥平面ACCA· B B 兵 张 A (1)证明：平面ABC1⊥平面ABC: (2)若BC=1,AC=3,求直线AB与平面ABC1所成角的正弦值. 游 18.(17分) 已知直线1：(a-1)y=(2a-3)x+1. (1)求证：直线1过定点： (2)若P(2,1)到直线l的距离最大，求a的值： (3)若直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求1的方程. 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA=AB=AD=2,∠PAB=∠DAB=120°，M为PB 世 中点. O D B M (1)求证：PD/平面ACM; (2)若平面DAB⊥平面PAB,求PD到平面ACM的距离： (3)若三棱锥P-ABC外接球半径为2，求直线PD和平面PAC所成角的余弦值. 试题第4页（共4页） 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章前3节。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 3．在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又点M为AB的中点，所以. 所以 . 4．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，则各点坐标为： ， 又因为为中点，所以，因为为中点，所以， 即，， 设异面直线与所成角为，则 ． 5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 6．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 7．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，因为平面，所以，，，， 又底面是正方形，所以，， 对于A，； 对于B， ； 对于C，； 对于D，， 所以数量积最大的是， 故选：B. 8．已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体的棱长为， 由题意可得，解得， 以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设， 因为，所以，所以， 设点到直线的距离为， ，，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 设三棱锥的高为，则， 因为， 所以四面体的体积为. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C．已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D．以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 【答案】ACD 【详解】对于A，由空间中点的对称性可知，点关于轴对称的点的坐标为，故A正确； 对于B，在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量，故B错误； 对于C，因为是空间的一组基底，所以不共面，即其中任何一个向量都不能用另外两个向量线性表示，易得中任何一个向量也不能用另外两个向量线性表示， （若设，满足，则有，该方程无解），故C正确； 对于D，由题意可得， ，， 显然，且，则为等腰直角三角形，故D正确. 故选：ACD. 10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（       ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】AB 【详解】解：对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，取，直线：过第三象限，故D错误． 故选：AB. 11．在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则 C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】AD 【详解】连结，，，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于B，，， 则，得， 所以，，， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又，， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D，当，时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则， 当时，， 当时，， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则______. 【答案】 【详解】因为， 若，，共面，则，，，四点共面， 则，解得. 13．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 ； 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【详解】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）由，可得直线AB的斜率为， 因为，故直线的斜率为3， 则直线的方程为，即． （2）当截距均为0时，直线方程为，符合题意， 当截距不为0时，不妨设直线方程为， 又直线经过点A，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或． 16． （15分） 如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）由（1）得， 所以，则； （3）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为. 17． （15分） 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：设与的交点为O，连接OB，    因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线， 则即为直线与平面所成的角． 因为，四边形是正方形，所以，． 又， 所以，． 所以． 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18． （17分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【详解】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解； 方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可； （3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解. 【详解】（1） 设，连接． 因为四边形为菱形，所以 为的中点． 在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故， 又因为平面，平面， 所以 平面； （2）方法一：向量法 以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 在平面内过作，交的延长线于，连接. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 因为，，所以， 所以，，即，所以. 在中，，所以，， 则，因为为中点，所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，则. 设点D到平面的距离为， 则． 由（1）知平面， 所以到平面的距离即为点D到平面的距离， 所以到平面的距离为； 方法二：等体积法 由（1）知平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离， 即， 在平面内作交直线的延长线于，取中点， 连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，， 所以到平面的距离为. 因为，所以． 在中，， 由余弦定理可得， 在中，． 在中，，为中点，则， 由余弦定理可得， 所以，所以． 在中，，底边上的高为， 所以. 又因为. 由可得，解得， 所以到平面的距离为； （3） 在（2）所建的坐标系中，设，则， 因为，所以． 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径． 设三棱锥外接球的半径为，球心为． 由球的性质可得，解得，则， 所以，因为点在外接球上，则， 所以， 即，即． 解得，所以， 所以，. 设平面的法向量为． 则，即. 令，则，即． 设直线和平面所成角为， 则 因为，所以． 所以直线和平面所成角的余弦值为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D B D A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B Bi A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章前3节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 3．在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 6．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 7．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C．已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D．以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（       ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 11．在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则 C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则______. 13．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 16．（15分） 如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 17．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章前3节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 3．在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 6．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 7．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C．已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D．以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（       ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 11．在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则 C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则______. 13．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 16．（15分） 如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 17．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． / 学科网（北京）股份有限公司 $