学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（湖南专用，范围：新教材湘教版八上第1～2章）

**基本信息** 聚焦湘教版八年级上册第1~2章，以因式分解与分式为核心，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合几何直观与实际应用，适配月考学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解概念、分式意义、几何解释公式|第7题借图形变化解释平方差公式，体现几何直观| |填空题|6/18|因式分解、分式值为0、大小比较|第15题通过看错系数情境考查因式分解推理意识| |解答题|8/72|分解因式、分式方程、实际应用、配方法|第21题商场进货方案渗透模型意识，24题分组分解法培养创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 3．使分式有意义的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．小明解分式方程的过程如下． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项、合并同类项，得．③ 系数化为1，得．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 5．已知，则的值为（     ） A．8 B．16 C．50 D．32 6．若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 7．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 8．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 9．若（，，均为常数）的计算结果为，则的值为（     ） A． B． C．3 D．7 10．利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：________． 12．若代数式的值等于0，则_________． 13．分式方程的解是_______． 14．已知，若，则M与N的大小关系是M___________N． 15．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 16．有一组数据：，，，，．记，则__． 三﹑解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 3、 17．分解因式： (1) (2) 18．解分式方程： (1)； (2)． 19．利用因式分解求值． (1)已知，，求值． (2) 20．化简，再求值：，其中． 21．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有哪几种进货方案，请列举出来？ 22．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 23．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 24．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][C][D] 10.A[B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.IA][B1[C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11. 12. 13 44 15 16. 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第 21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分.) 17.(6分) (1)4x2y-4x2y2+ (2)m(x-2)+n(2-x) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 0)3 5 x+1x+3 @+141. x-1x2-1 19.(8分) 20. (8分) a2+4a+4 a+1 a+1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 15. ______________ 12. ___________ 16. ___________ 13. _________________ 14. ________________ 3、 解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．） 17.（6分） (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） (1)； (2)． 19．（8分） 20．（8分） 21．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C B D B B B D C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三﹑解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）【详解】（1）解：原式 （2分） ． （3分） （2）原式 （5分） ． （6分） 18．（6分）【详解】（1） 解：两边同乘以得，， 解得，， （2分） 当时，， ∴是分式方程的解； （3分） （2） 解：两边同乘以得，， 解得，， （5分） 当时，， 经检验是增根， ∴原分式方程无解． （6分） 19．（8分）【详解】（1）解：∵，， （2分） ∴； （4分） （2）解： （6分） ． （8分） 20．（8分）【详解】解： ， （5分） 当时，原式． （8分） 21．（10分）【详解】（1）解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为元/件， ， 解得：， （3分） 经检验是原方程的解且符合题意． ∴． （4分） 答：甲种玩具的进价是15元/件，乙种玩具的进价是25元/件； （5分） （2）解：设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件， ， 解得． （8分） ∵y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数， ∴y取20，21，22，23， 共有4种方案即：①甲玩具20件，乙玩具28件；②甲玩具21件，乙玩具27件；③甲玩具22件，乙玩具26件；④甲玩具23件，乙玩具25件． （10分） 22．（10分）【详解】（1）解： ； （3分） （2）解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （7分） （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． （10分） 23．（12分）【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （4分） （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． （12分） 24．（12分）【详解】（1）解： ． （6分） （2）， ， ， ∴ 解得， ∴是等腰三角形． （12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，理解并掌握因式分解的定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式），根据定义进行判定即可求解． 【详解】解：A、不是因式分解，不符合题意； B、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意； 故选：D ． 2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，能运用平方差公式分解因式； B、不能运用平方差公式分解因式； C、不能运用平方差公式分解因式； D、不能运用平方差公式分解因式． 3．使分式有意义的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴. 4．小明解分式方程的过程如下． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项、合并同类项，得．③ 系数化为1，得．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ 去分母得，步骤①正确. ∵ 去括号得， ∴ 所得结果与步骤②不符，步骤②为首次出错的步骤. 5．已知，则的值为（     ） A．8 B．16 C．50 D．32 【答案】D 【分析】先对所求多项式因式分解，再将已知条件整理后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴将代入得原式． 6．若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程，再得出分式方程的增根，则可得一个关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 7．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：． 8．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先求出顺流、逆流的实际航速，再根据时间相等的等量关系列方程． 【详解】解：顺流航速为，逆流航速为， ∵顺流航行与逆流航行所用时间相等， ∴可列方程． 9．若（，，均为常数）的计算结果为，则的值为（     ） A． B． C．3 D．7 【答案】D 【分析】先将左侧三个分式通分，公分母为，将分子展开并整理，得到．由左右分式相等且分母相同，可知分子对应项系数相等，据此列出三元一次方程组，解得，，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 10．利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，先进行因式分解，再根据题干给定方法，进行求解即可． 【详解】解：∵， 当x取12，y取14时，，，， ∴三个数为12、2、26． 所有组合数字：12226、12262、21226、22612、26122、26212，其中最大数字为26212． ∴ 密码为26212， 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：________． 【答案】 【分析】先运用完全平方公式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 12．若代数式的值等于0，则_________． 【答案】 【分析】由分式值为0得出分式分子为0，且分母不为0，列出不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 13．分式方程的解是_______． 【答案】 【详解】解：去分母，方程两边同乘最简公分母，得 展开得 移项合并同类项得 系数化为得 经检验是原分式方程的解 14．已知，若，则M与N的大小关系是M___________N． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的大小比较，通过作差法及因式分解，结合已知条件分析即可. 【详解】解：由    ∵ ∴，即 ∴ 故答案为：. 15．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 甲看错了b，但a正确，从甲分解的结果可得a的值；乙看错了a，但b正确，从乙分解的结果可得b的值，再计算即可． 【详解】解：甲分解的结果为，展开得，因甲看错了b，但a正确，故． 乙分解的结果为，展开得，因乙看错了a，但b正确，故． 则． 故答案为：． 16．有一组数据：，，，，．记，则__． 【答案】 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【详解】解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 三﹑解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用公式法分解即可求解． （2）先提取公因式，再利用公式法分解即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法分解因式是解题的关键． 18．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解． 【分析】（1）先去分母，解得到的整式方程，再检验，即可得到答案； （2）先去分母，解得到的整式方程，再检验，即可得到答案． 【详解】（1） 解：两边同乘以得，， 解得，， 当时，， ∴是分式方程的解； （2） 解：两边同乘以得，， 解得，， 当时，， 经检验是增根， ∴原分式方程无解． 【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键，注意不要忘记检验． 19．利用因式分解求值． (1)已知，，求值． (2) 【答案】(1)15 (2)4049 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，正确因式分解是解答的关键． （1）先将原式化为，再整体代入求解即可； （2）利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解： ． 20．化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 21．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有哪几种进货方案，请列举出来？ 【答案】(1)甲种玩具的进价是15元/件，乙种玩具的进价是25元/件 (2)共有4种方案：①甲玩具20件，乙玩具28件；②甲玩具21件，乙玩具27件；③甲玩具22件，乙玩具26件；④甲玩具23件，乙玩具25件 【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为元/件，根据“用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同”列方程求解即可； （2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件，根据“甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为元/件， ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意． ∴． 答：甲种玩具的进价是15元/件，乙种玩具的进价是25元/件； （2）解：设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件， ， 解得． ∵y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数， ∴y取20，21，22，23， 共有4种方案即：①甲玩具20件，乙玩具28件；②甲玩具21件，乙玩具27件；③甲玩具22件，乙玩具26件；④甲玩具23件，乙玩具25件． 22．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，式有最小值，最小值为1； 【分析】（1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 23．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 24．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，平方的非负性，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先分组，并根据完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）将化为，再根据平方的非负性，得到则，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）， ， ， ∴ 解得， ∴是等腰三角形． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 3．使分式有意义的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．小明解分式方程的过程如下． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项、合并同类项，得．③ 系数化为1，得．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 5．已知，则的值为（     ） A．8 B．16 C．50 D．32 6．若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 7．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 8．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 9．若（，，均为常数）的计算结果为，则的值为（     ） A． B． C．3 D．7 10．利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：________． 12．若代数式的值等于0，则_________． 13．分式方程的解是_______． 14．已知，若，则M与N的大小关系是M___________N． 15．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 16．有一组数据：，，，，．记，则__． 三﹑解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．分解因式： 18．解分式方程： (1)； (2)． 19．利用因式分解求值． (1)已知，，求值． (2) 20．化简，再求值：，其中． 21．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有哪几种进货方案，请列举出来？ 22．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 23．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 24．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $