精品解析：福建省泉州市泉港区第一中学2026届高三下学期最后一卷数学试题

泉港一中2026届高三（下）数学最后一卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，即，解得，所以， ，即，解得，所以， 所以. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】由于，其在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3. 已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 4. 已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】按分类，结合第百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3个数4，A可能； 对于B，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3、4个数的平均数4，B可能； 对于C，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第4个数4，C可能； 对于D，，无论取何值，该组数据由小到大排列的第5个数不可能为4，因此不可能为，D不可能. 5. 若随机变量，随机变量且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 因为，所以，则，则 6. 在平行六面体中，记三棱锥的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等体积方法计算，利用割补法计算. 【详解】设平行六面体的体积为，上下底面的面积为，高为， 则，， ， 故. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得， 由是定义在上的偶函数，得， 则，则， 所以， 而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为8. 8. 平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在轴上截得的弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】通过令，确定三个交点坐标，再设圆的一般方程，代入三个交点坐标，得到，，进而可求解. 【详解】与轴交点：令，得，设交点为； 与轴交点：令，得，判别式， 有两个不同实根，设交点，共三个不同交点， 设过三点的圆方程为 ， 将代入得：， 将代入， 得， 又， 对应相减得：， 因为，故系数必为0， 得，， 代入，解得，  令代入圆方程得：， 设两根为，由韦达定理：，， 弦长为：， 因此弦长为. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知两个平面和两条直线，满足，下列命题正确的是（ ） A. 若不垂直，则不可能垂直 B. 若垂直，则可能不垂直 C. 若不平行，则不可能平行 D. 若平行，则可能不平行 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中面面位置关系与线线位置关系的判定，可通过生活中的实物模型举反例结合空间几何基本定理判断各选项正误。 【详解】对于A，想象一本半打开的书（比如打开成 角），左边的书页是平面 ，右边的书页是平面，显然这两个平面不垂直， 在左边书页上，画一条直线 垂直于书脊（交线），在右边书页上，取书脊即交线为，此时互相垂直的， 因此平面不垂直，也可以垂直，故A错误； 对于B，想象教室的墙角，地面是平面，前面的黑板墙面是平面 ，它们互相垂直， 在地面上画一条直线，让它平行于墙脚线（交线），在黑板墙面上也画一条直线 ，让它也平行于墙脚线，此时，直线和直线是互相平行的， 因此即使平面垂直，可以平行，即可能不垂直，故B正确； 对于C，还是那本半打开的书，左右两页纸代表平面和，它们相交于书脊，肯定不平行， 在左页纸上画一条横线平行于书脊，在右页纸上也画一条横线平行于书脊， 根据几何公理（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行），和都平行于书脊，所以和互相平行， 因此哪怕平面相交（不平行），依然可以平行，故C错误； 对于D，想象教室的天花板是平面，地面是平面，这两个平面是平行的， 在天花板上画一条直线，方向是南北走向，在地面上画一条直线，方向是东西走向， 直线 a在头顶，直线在脚下，方向还互相交叉，它们既不会相交，方向也不一样，这种关系叫作异面直线，既然是异面，它们自然不平行， 因此平面平行，可以是异面的（即不平行），故D正确. 10. 将一颗质地均匀的骰子（点数为）连续拋掷3次，记录向上的点数，则（ ） A. 三个点数之积大于的概率为 B. 三个点数之和大于的概率为 C. 若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为 D. 若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用列举法结合古典概型逐项分析即可． 【详解】连续拋掷3次，总基本事件数为． 对于A，由，所以要三个点数之积大于的组合只有和， 若三个点数分别为时，即在这三个点数中选一个为，另外两个为，共有种； 若三个点数分别为时，共有种， 所以三个点数之积大于150的概率为，故A正确； 对于B，设三个点数为，其和的范围为， 由对称性，与的概率相等（因为，，对应的和为）， 所以和的概率相等，所以，故B正确； 对于C，不考虑点数的先后顺序，三个点数能构成等比数列的情况有： 若三个点数全相等，即有，，，，，，共有种， 若三个点数全不相等，仅有，即这三个点数全排列，共有种， 所以能构成等比数列的概率为，故C错误； 对于D，考虑点数的先后顺序，三个点数为等差数列等价于， 又三个点数之和是奇数的总基本事件数为，则在此条件下，为偶数，为奇数， 若时，，即三个点数为，共有种； 若时，，即三个点数为，，，，，共有种； 若时，，即三个点数为，，，共有种， 所以能构成等差数列的概率为，故D正确． 11. 已知函数，则（       ） A. 当时，是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 不存在整数，使得的最大值为2 D. 当时，在上恰有个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合周期函数定义判断即可，对于B，反设的图象关于直线对称，利用函数解析式证明，推出矛盾，即可判断，对于C，由的最大值为可得存在整数满足，由此推出矛盾，即可判断，对于D，化简方程求其解即可判断. 【详解】对于A，当时，， 对任意的，， 所以是  的一个周期，故A正确， 对于B，若的图象关于直线对称，则， 取，可得， 而，， ，矛盾，所以的图象不关于直线对称，故B错误， 对于C，若的最大值为2，需， ， 令，左边为奇数，右边为偶数，无整数解， 故不存在整数，使得的最大值为2，故C正确， 对于D，当时，， 令，则， 根据奇数幂的性质可知，即， 所以或 当时，， 结合可得，或， 当时，， 结合， 可得， 综上，发现只有个值符合题意，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式，若，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】先通过二项式定理求出展开式各项系数，再根据系数的大小关系列不等式求解正整数的最小值. 【详解】根据二项式展开定理，将 展开得， 因此对应各项系数为，，，， 因为， 所以， 因为是正整数， 解得，所以， 所以正整数的最小值是4. 13. 抛物线上的A，B两点均位于第一象限，点在轴正半轴上，满足．且．若的面积为9，则点坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出并设出点的坐标，借助复数乘法与旋转关系确定坐标关系，再利用点在抛物线上列出方程组求解. 【详解】在中，，由的面积为9，得， 则，设，不妨令， ，所对复数分别为， 可视为绕点逆时针旋转而得，则， 因此，即，由点都在抛物线上， 得，两式相减得，整理得， 于是，整理得， 则，，， 所以，点坐标为. 14. 已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 【答案】 4 【解析】 【分析】利用等比数列下标和相等则对应项乘积相等的性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q，由数列各项都为正数得. 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）若，求的面积； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将条件化简得到，由，求出及，即可根据三角形的面积公式求出的面积； （2）由可得或，在的条件下求出和的取值范围，将化为二次函数形式，再求出其值域即可. 【小问1详解】 因为， 则， 即， 化简可得． 若，则，因为，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以或． ①若，由可得，与矛盾，故舍去； ②若，则， 若，则，解得，则． 则此时， 设，则， 可知当时，取到最小值；当时，； 当时，， 因为，所以， 即的取值范围为． 16. 已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求出即可； （2）直线，联立双曲线方程，结合韦达定理表示出化简即可得解. 【小问1详解】 由渐近线方程为得， 左顶点坐标为，则点到渐近线的距离， 解得，则， 双曲线的标准方程为 【小问2详解】 设点， 依题意知直线的斜率不为0，设直线，与双曲线联立， 化简得， 则，， 根据韦达定理，可得 点坐标为 直线与直线的交点坐标为， 同理可得点. 17. 正项数列的前项和，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知写出的表达式，与作差可得到与的关系，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可求出的通项公式，再由与的关系求出的通项公式，代入得，利用裂项相消即可求解. 【小问1详解】 证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，， ，即， ，即， 所以数列是等差数列． 【小问2详解】 由（1）知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， ，， ， 则. 18. 已知设备可在两种电压和下生产某种零件，现有、两个工厂，工厂设备用电压生产一小时得个零件，工厂设备用电压生产一小时得个零件为了了解两种电压下生产的零件情况，通过分层抽样的方式共抽取个零件作为样本，测量其尺寸后，按照以下区间分为九组：；；；：；；；；.得到频率分布直方图如下，已知抽取的零件中尺寸小于的有个． 优等品 非优等品 总计   总计 （1）求的值，如果把尺寸在内作为优等品的标准，对抽取的个零件，完成列联表据此资料，你是否认为有把握认为电压与零件优等品率有关？ （2）从厂设备的生产流水线上随意抽取个零件，把抽样的频率看作概率，试计算其中优等品个数的数学期望； （3）从厂抽取的样本中随意抽取个零件，计算其中非优等品个数的分布列和数学期望． 参考公式及临界值表：，其中． 【答案】（1） ，列联表如下： 优等品 非优等品 总计 总计 有 的把握认为电压与零件优等品率有关 （2） （3） 的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）先求出抽取的零件中尺寸小于的频率，根据频率，频数和样本容量的关系求，根据分层抽样性质结合频率分布直方图求出列联表中所需数据，补充列联表，根据独立性检验方法判断结论； （2）根据二项分布期望公式求结论； （3）确定的可能取值，求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望定义求期望. 【小问1详解】 由已知尺寸小于的区间为和，组距为， 对应频率分别为和， 因此尺寸小于的频率为，  已知该部分共个零件，故， 由分层抽样规则，、厂每小时生产零件数为和， 因此抽样比例为，总样本个，得厂抽取个，厂抽取个， 优等品区间的频率为， 即总优等品数为，总非优等品数为， 结合已知厂优等品、非优等品， 所以厂优等品、非优等品， 补全列联表如下： 优等品 非优等品 总计 总计 零假设为：电压与零件优等品率之间无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到  根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即可以认为电压与零件优等品率有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 厂样本共个，其中优等品个，因此抽样得到的优等品频率为， 将该频率作为流水线任意抽取个零件为优等品的概率， 则随意抽取个零件，优等品个数服从二项分布， 因此数学期望； 【小问3详解】 厂样本共个，其中非优等品个，从厂样本中任取个， 非优等品个数服从超几何分布，的可能取值为， ，​，​ ， 因此的分布列为： 0 1 2 数学期望：  19. 已知函数． （1）当时，求函数的最值； （2）讨论方程解的个数； （3）若方程存在两个非零解，且满足，证明：． 【答案】（1）最大值，无最小值． （2）当，方程有一个解；当，方程有三个解． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对时的函数求导，根据导数符号判断单调性，进而得到函数的最值； （2）利用奇函数性质将方程解的问题转化为时的情况，构造辅助函数，通过导数分析其单调性，分和两种情况讨论零点个数，再结合奇函数对称性得到方程总解数； （3）由（2）的结论设方程的两个非零解，，将待证不等式转化为 ，利用方程解的条件消去参数，构造新函数并通过导数判断其符号，从而证明不等式. 【小问1详解】 当时，，求导可得 函数在单调递增，在单调递减． 函数有最大值，无最小值． 【小问2详解】 函数是奇函数，始终是方程的一个解． 不妨令， ，可化简为 构造函数， 求导可得 ， ，令 ，则， ①当 恒成立，因此在单调递增． 故在单调递增，故． 即方程在无解． 根据函数是奇函数可知在也无解. ②当，由，可得在单调递减，在单调递增． 由 可得，存在使． 当 单调递减；当 单调递增． ，函数在有一个零点． 即方程在有一个解． 根据函数是奇函数可知在有另一个根． 综上，当，方程有一个解；当，方程有三个解． 【小问3详解】 由（2）可得此时，且． ． 即证： ． 因为是方程的解，代入可得． 消可得， 设， ， 函数在单调递增，所以 ． 又因为 ，所以 ， 即原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉港一中2026届高三（下）数学最后一卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 5. 若随机变量，随机变量且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 在平行六面体中，记三棱锥的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 8. 平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在轴上截得的弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知两个平面和两条直线，满足，下列命题正确的是（ ） A. 若不垂直，则不可能垂直 B. 若垂直，则可能不垂直 C. 若不平行，则不可能平行 D. 若平行，则可能不平行 10. 将一颗质地均匀的骰子（点数为）连续拋掷3次，记录向上的点数，则（ ） A. 三个点数之积大于的概率为 B. 三个点数之和大于的概率为 C. 若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为 D. 若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为 11. 已知函数，则（       ） A. 当时，是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 不存在整数，使得的最大值为2 D. 当时，在上恰有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式，若，则正整数的最小值为____________． 13. 抛物线上的A，B两点均位于第一象限，点在轴正半轴上，满足．且．若的面积为9，则点坐标为____________． 14. 已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）若，求的面积； （2）若，求的取值范围． 16. 已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17. 正项数列的前项和，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 18. 已知设备可在两种电压和下生产某种零件，现有、两个工厂，工厂设备用电压生产一小时得个零件，工厂设备用电压生产一小时得个零件为了了解两种电压下生产的零件情况，通过分层抽样的方式共抽取个零件作为样本，测量其尺寸后，按照以下区间分为九组：；；；：；；；；.得到频率分布直方图如下，已知抽取的零件中尺寸小于的有个． 优等品 非优等品 总计   总计 （1）求的值，如果把尺寸在内作为优等品的标准，对抽取的个零件，完成列联表据此资料，你是否认为有把握认为电压与零件优等品率有关？ （2）从厂设备的生产流水线上随意抽取个零件，把抽样的频率看作概率，试计算其中优等品个数的数学期望； （3）从厂抽取的样本中随意抽取个零件，计算其中非优等品个数的分布列和数学期望． 参考公式及临界值表：，其中． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最值； （2）讨论方程解的个数； （3）若方程存在两个非零解，且满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $