25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，课堂导入先复习求根公式及判别式，通过提问“两根与系数还有其他关系吗”搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然衔接前后知识。 其亮点在于采用特殊到一般的探究方法，从具体方程计算发现规律到用求根公式推导韦达定理，培养数学思维中的推理能力。拓展环节通过整体代换求两根平方和、倒数和，强化模型意识。分层作业设计兼顾基础与创新，助力学生提升运算能力，也为教师提供清晰的教学流程和实践素材。

第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 授课教师：吴智林 日期：2026年9月X日 人教版义务教育课程标准教科书九年级数学上册 学习目标 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系，理解定理适用条件，能直接进行基础计算； 2. 经历定理推导过程，体会特殊到一般、整体代换等数学思想，提升逻辑推理与运算能力； 3. 能够灵活变形代数式解决相关习题，形成严谨规范的解题习惯。 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？ (b2-4ac ≥0) 新课引入 探索一元二次方程的根与系数的关系 解下列方程并完成填空： （1）x2-5x+6=0; (2)x2+3x-4=0; (3)x2+6x+8=0. 一元二次方程 两 根 两根的和 两根的积 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 x2+3x-4=0 x2+6x+8=0 2 3 1 -4 -4 x1+x2=5 x1x2=6 x1+x2=-3 x1+x2=6 x1x2=-4 x1x2=8 -2 Yishanyishang 以上方程有什么共同点，你从中发现了什么？ 三个方程的二次项系数都是1，他们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. 新知探究 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q. 思考 猜一猜 （2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 根据求根公式可知： 由此可得： x1+x2=+ = = - x1x2= = = 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ (1)不是一般式的，要化成一般式； (2)在方程有实数根的条件下应用，即b²−4≥0； (3)在使用x₁+x₂=- 时，注意 “−”不要漏写. 思考 因此，方程的两个根x1 、x2和系数a、b、c有如下关系： x1+x2= - , x1x2= 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. x1+x2= - , x1x2= 验证 解：=2，b=−3，c=1． 解方程2x2-3x+1=0 ，验证上述关系？ Δ= b2 - 4ac =(−3)²−4×2×1=1>0 方程有两个不等的实数根： = 即 x1=1，x2= x1+x2=1+ =， x1x2 =1×= 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2的和与积： (1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2 解：(1) x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15. (2) x1+x2=- , x1x2= =-3 (3) 方程化为 4x2-5x+1=0. x1+x2==- = ，x1x2== 例题 练习 下列一元二次方程的两根和两根积各是多少？ (1) x2-3x+1=0 (2) 3x2-2x=2 (3) 2x2+3x=0 (4) 3x2-=1 解：(1) x1+x2=3 x1x2=1 (2) x1+x2= x1x2=- (3) x1+x2=- x1x2=0 (4) x1+x2= 0 x1x2=- 在使用根于系数的关系时：（1）不是一般式的要化成一般式；（2）在使用x₁+x₂=- 时，注意 “−”不要漏写. 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 拓展提高 解：根据根于系数关系可知： x1+x2=- , x1x2=- （1）∵（x1+x2）2= x12+2 x1x2 +x22 ∴ x12+x22 =（x1+x2）2-2 x1x2 =（- ）2-2×（- ）= （2） ===（- ）÷（- ）=3 课堂小结 1. 知识总结：掌握了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当 Δ= b2- 4ac ≥0，时，方程两根x1、x2 满足x1+x2= - , x1x2= 3. 方法总结：学会了特殊到一般的探究方法、整体代换的解题方法、代数推理的证明方法. 2. 前提条件：牢记公式使用两大前提：二次项系数不为0、方程有实数根. 二、拓展性作业： 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___. 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= . m =____. 3.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 作业设计 一、基础性作业：课本16页练习； 三、创新性作业： 根据 | x1 -x2| $