25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），课堂导入先复习方程一般形式、求根公式及判别式，通过“根与系数是否有其他关系”的提问和韦达发现“秘密”的故事，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于遵循“观察—猜想—验证—应用”研究方法，结合求根公式代数推导与因式分解法验证定理，培养推理能力与抽象能力。例题涵盖代数式求值等应用，渗透模型意识，韦达事迹激发探究兴趣，助力学生养成严谨思维，教师可高效开展教学。

第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.2 降次------解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1 学习目标 1. 通过计算具体一元二次方程的根与系数的和、积，归纳猜想根与系数的关系，再通过代数推导验证猜想，理解韦达定理的推导过程与成立条件，发展数学抽象和逻辑推理能力. 2. 掌握韦达定理并运用解决“已知一根求另一根及参数”“已知根的和与积构造方程”等问题，提升方程应用能力和数学建模意识. 3. 通过探究根与系数的关系，体验“观察—猜想—验证—应用”的数学研究方法，养成严谨的思维习惯和主动探究的学习态度. 2 课程导入 1. 一元二次方程的一般形式? 2. 一元二次方程的求根公式是什么? ax²+bx+c = 0(a≠0) x = (b2 －4ac≥0) 3. 如何利用判别式 b2 －4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程ax²+bx+c = 0(a≠0)： b2 －4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根. b2 －4ac = 0时，方程有两个相等的实数根. b2 －4ac ＜0时，方程无实数根. 方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？ 3 4 课程导入 同学们，韦达在几百年前就发现了一个关于一元二次方程的“秘密” .你们是否好奇，一个方程的 “根” ，和构成方程的那些“系数”之间，藏着怎样的联系呢？ 5 新知探究 思考 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m－n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 观察求根公式 x = ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发? 6 新知探究 x1 = ， x2 = 因为 所以 x1＋ x2 = ＋ = = － . x1x2 = · = = = . 7 新知探究 一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的两个根x1和x2与其系数a，b，c有如下关系： x1＋ x2 = － ，x1x2 = . 【注意】能用根与系数的关系的前提条件为b2 －4ac ≥ 0. 8 新知探究 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的左边可以分解因式为 a(x－x1)(x－x2)，那么方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2. 反过来，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2 ， 那么 ax2+bx+c= a(x-x1)(x -x2)， 即 ax2+bx+c =ax2 － a(x1+x2)x+ax1x2. 由此可得 －a(x1+x2)=b， ax1x2 =c. 因此 x1+x2= －， x1x2= . 这个关系通常被称为韦达定理. 9 新知探究 法国著名数学家，被后人誉为近代代数之父. 在韦达之前，代数仅靠文字表述，没有统一符号.韦达首次系统使用字母符号代表数字，开创符号代数，推动数学发展迈入全新阶段. 他潜心研究方程理论，发现一元 n 次方程根与系数之间普遍存在内在联系. 初中我们学习的一元二次方程根与系数的关系，就是其中特例，后世将这一规律称为韦达定理. 弗朗索瓦・韦达 1540—1603 10 新知探究 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15=0； (2) 3x2+7x－9=0； (3) 5x－1=4x2. 解：(1) x1 ＋ x2 = －(－6)=6， x1x2 = －15. (2) x1 ＋ x2 = －， x1x2 = =－3. (3)方程化为4x2 －5x＋1=0，所以x1 ＋ x2 = － = ， x1x2 = . 11 新知探究 常见的求值： (1) (x1+1)(x2+1) = x1x2+x1+x2+1 (2) + = (3) x1 2+ x2 2 = (x1+x2)2 － 2 x1x2 (4) + = = (5) (x1 － x2)2= (x1+x2)2 － 4 x1x2 (6) | x1 － x2 |= = 步骤： 1.根据方程的系数求出两根之和与两根之积； 2.把代数式化成只含两根之和与两根之积的形式; 3.代入数值进行计算. 12 新知探究 例 设x1、x2为方程x2 － 4x+1=0的两个根，则： (1) x1+x2 = . (2) x1 · x2 = . (3) x12 + x22 = . (4) (x1 +1)(x2 +1) = . 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 4 1 14 6 13 随堂演练 1.已知a、b满足a2 － 6a+2=0，b2 － 6b+2=0，则 + = ( ) A. －6 B. 2 C. 16 D. 16或2 2.若α ， β是方程x2+2x － 2005=0的两个实数根，则α2+3α +β的 值为( ) A.2005 B.2003 C. －2005 D.4010 D B 14 随堂演练 3.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. 4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= . -3 1 -2 15 随堂演练 5. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－3x=15； (2) 3x2 +2=1－4x； (3) 5x2 － 1=4x2－x； (4) 2x2 － x+2=3x+1. 解：(1)方程变形为 x2－3x － 15 =0， 根据根与系数的关系，得x1+x2= －(－3)=3， x1 · x2 =－15. (2)方程变形为3x2 + 4x ＋ 1 =0， 根据根与系数的关系，得x1+x2= －， x1 · x2 = . 16 随堂演练 5. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－3x=15； (2) 3x2 +2=1－4x； (3) 5x2 － 1=4x2－x； (4) 2x2 － x+2=3x+1. 解：(3)方程变形为x2 +x － 1=0， 根据根与系数的关系，得x1+x2= －1， x1 · x2 =－1. (4)方程变形为2x2 － 4x+1=0， 根据根与系数的关系，得x1+x2= － = 2， x1 · x2 = . 17 随堂演练 6.已知x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4(k - 1)2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 18 随堂演练 7.已知关于x的一元二次方程x2－x－1=0的两根分别为x1，x2，试求下列代数式的值：(1) + ； (2) x12+x22 . 解：在方程x2－x－1=0中，a =1，b =－1，c =－1， ∴ x1+x2 = － =1， x1x2 = = －1， (1) + = = = －1. (2) x12+x22 =(x1+x2 )2 －2 x1x2 =12－2×(－1)=1+2=3. 19 随堂演练 8. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋5x－p2＝0 的两个实数根为 x1，x2，当 x1＋x2＝x1x2 时，求 p 的值． 解：在方程x2＋5x－p2＝0中，a=1，b=5，c=－p2. ∴ x1＋x2 =－ =－5， x1x2 = = －p2 ， ∵ x1＋x2＝x1x2 ∴ －5= － p2 解得p= ± . 20 课程小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 应 用 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1和x2 ，那么 x1+x2= －， x1x2= . (1) (x1+1)(x2+1) = x1x2+x1+x2+1 (2) + = (3) x1 2+ x2 2 = (x1+x2)2 － 2 x1x2 (4) + = = (5) (x1 － x2)2= (x1+x2)2 － 4 x1x2 (6) | x1 － x2 |= = 21 第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.2 降次------解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 22 $