25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 传播与平均变化 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与一元二次方程”中的传播与平均变化率问题，通过病毒传播实例导入，衔接一元二次方程解法，搭建从实际情境到数学建模的学习支架，梳理等量关系分析与方程应用的脉络。 资料以生活实例（如病毒传播、产值增长）驱动教学，突出数学建模思想，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过推理与运算构建(1+x)²等模型，强化结果检验培养理性思维，助力学生提升解决实际问题能力，为教师提供结构化教学流程与实用模型参考。

25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 传播与平均变化 教案 教学目标 1.会根据具体问题，找到传播问题及平均变化率问题中的等量关系，列出一元二次方程并求解，进一步掌握列方程解应用题的关键和步骤。 2.由传播、增长率变化等实际问题建立数学模型，并通过配方法、公式法或因式分解法解决实际问题。 3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，进一步体会数学中的建模思想。 重点难点 重点：列一元二次方程解传播问题、平均变化率问题。 难点：在实际问题中精准找准等量关系，根据实际意义检验方程结果是否符合题意。 教学过程 情景导入 病毒传播过程中，1个人经过两轮传染后共有121个人被感染。若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，你能列出方程求出每轮单人传染的人数吗？以此引入本节课一元二次方程在传播与平均变化问题中的应用。 探究新知 探究点一 用一元二次方程解决传播问题 【例1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（） A.10   B.11   C.12   D.13 【解析】设每轮传染中平均一个人传染x个人。依题意，得 1+x+x(1+x)=144，整理，得 (1+x)²=144，解得 x₁=11，x₂=-13（不合题意，舍去）。 【答案】B 【方法总结】若初始有1个传染源，每1个传染源每轮传染x人，经过两轮传播后，总数量为(1+x)²。此类问题需注意：传播问题结果为正，负数解无实际意义，必须舍去，切勿遗漏检验步骤。 探究点二 用一元二次方程解决平均变化率问题 【例2】某工厂今年1月份的产值为200万元，3月份的产值达到242万元，若每月产值的增长率保持相同，求每月的平均增长率。 【解析】设每月产值的平均增长率为x，根据“初始产值×(1+增长率)²=两次增长后产值”的等量关系列方程求解，最后结合实际舍去不合理的解。 【解】设每个月产值的平均增长率为x。 由题意，得200(1+x)²=242， 整理得(1+x)²=1.21， 解得 x₁=0.1=10%，x₂=-2.1（不合题意，舍去）。 答：每月产值的平均增长率为10%。 【方法总结】平均变化率通用模型：设原有基数为a，变化率为x，经过两次变化后总量为b。连续两次增长：a(1+x)²=b；连续两次下降：a(1x)²=b。变化率取值范围为0<x<1，超出范围的解均不符合实际，需舍去。 课堂训练 1. 有一个人携带病毒，经过两轮传染后共有64人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（） A.6   B.7   C.8   D.9 2. 某药品原价每盒100元，经过连续两次降价以后，每盒售价变为81元，两次降价百分率相同，求该药品每次降价的百分率。 板书设计 第2课时 传播与平均变化 1. 解一元二次方程应用题的一般步骤 2. 列一元二次方程解决传播问题 3. 列一元二次方程解决平均变化率问题 4. 例题讲解 课堂小结 本节课学习了用一元二次方程解决传播问题和平均变化率问题，掌握了两类实际问题的数学建模方法，熟练掌握列方程、解方程、检验结果的完整解题流程，能够结合实际情境取舍方程的解。 教学反思 本课时通过生活中常见的病毒传播、产值增长、商品降价等实际问题，引导学生掌握一元二次方程在变化类实际问题中的应用。课堂以问题驱动教学，层层递进分析数量关系，帮助学生建立标准化的数学模型。教学中注重引导学生理解公式本质，而非机械套用，强化学生检验解的合理性的解题习惯，渗透数学建模思想，有效提升学生分析问题、解决实际问题的能力。 答案 课堂训练 1. B 2. 解：设该药品每次降价的百分率为x。 依题意，得100(1x)²=81， 整理得(1x)²=0.81， 解得 x₁=0.1=10%，x₂=1.9（不合题意，舍去）。 答：该药品每次降价的百分率为10%。 学科网（北京）股份有限公司 $