04基本不等式及不等式的应用题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式及不等式应用核心考点，涵盖基本不等式、重要不等式链条、最值求解策略及恒成立等问题，按知识逻辑梳理与题型分类相结合的架构编排。通过考点系统梳理、解题方法指导（如配凑法、常数代换法）、分层真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破应用难点。 讲义以数学思维培养为核心，创新采用题型分类突破策略，针对配凑法、两次使用不等式等高频技巧设计专题训练，通过“知识梳理-方法提炼-真题演练”闭环教学，强化学生逻辑推理与模型构建能力。基础题与综合题分层设置，配合详细解析，既保障复习效率，又为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升高考应试能力。

基本不等式及不等式的应用 一、知识梳理 1. 基本不等式及其应用 1. 基本不等式 ,当且仅当 时,“=”成立. 其中 为正数 的算术平均数, 为正数 的几何平均数,基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2. 几个重要不等式 (1) ，当且仅当 时取等号. (2) ,当且仅当 时取等号. (3) ,当且仅当 时取等号. (4) ,当且仅当 时取等号; ,当且仅当 时取等号. 注:运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立. 另外，等号成立仅用来验证最值是否能取到，不能用来求值. 3. 一个重要的不等式链条 上述链条中的任意两个中有将 “和式” 转化为 “积式” 或将 “积式” 转化为 “和式” 的放缩功能,并且有很多不同的变形,如: 等，所以利用基本不等式及其变式求最值 (或证明不等式) 既方便又具有很强的技巧性. 4. 应用基本不等式求解最值 已知 . (1) 如果积 是定值 ,那么当且仅当 时, 有最小值 (简记: 积定和最小). (2) 如果 是定值 ,那么当且仅当 时, 有最大值 (简记: 和定积最大). 注:1. 求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”. 所谓“一正”是指两数均为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指必须满足等号成立的条件. 2. 连续使用基本不等式时，等号要同时成立. 三元均值不等式 5. 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略 1. 恒成立问题 若 在区间 上存在最小值,则不等式 在区间 上恒成立 ; 若 在区间 上存在最大值,则不等式 在区间 上恒成立 . 2. 能成立问题 若 在区间 上存在最大值,则在区间 上存在实数 使不等式 成立 若 在区间 上存在最小值,则在区间 上存在实数 使不等式 成立 . 3. 恰成立问题 不等式 恰在区间 上成立 的解集为 ; 不等式 恰在区间 上成立 的解集为 . 4. 双变量的恒成立与存在性问题 (1)若 恒成立，则 . (2) 若 ,使得 ,则 . (3) 若 ,使得 ,则 . (4) 若 ,使得 ,则 . (5) 已知 在区间 上的值域为 在区间 上的值域为 ,若 , 使得 成立,则 . 二、练习题 基础题 1. 若对任意 恒成立,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 2. 已知函数 ,设 ,若存在 ,使 ,则 的取值范围是 ___. 3. 已知函数 ， ，若对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是___. 4. 已知 ,对任意的 ,存在 ,使得 ，则 的取值范围是___. 题型1　基本不等式 5. 在下列函数中,最小值为 2 的是 ( ) A. B. C. D. 6. 已知 ,则 的最大值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. (多选) 设 ,则下列不等式中一定成立的是 ( ) A. B. C. D. 题型2　配凑法求最值 8. 实数 满足 ,则 的最小值是 ( ) A. 4 B. 6 C. D. 9. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化, 经常应用于高中数学竞赛, 主要用来处理分式不等式. 其表述如下: 设 ,则 ,当且仅当 时等号成立. 根据权方和不等式可以比较容易得出，函数 的最小值为( ) A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 题型3　常数代换法求最值 10. 已知 ,且 ,则 的最小值是 ( ) A. 1 B. 2 C. D. 11. 已知定义在 上的偶函数 ,若正实数 满足 , 则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 12. (多选) 已知 ,且 ,则下列命题正确的是 ( ) A. B. 的最小值为 16 C. 的最小值为 9 D. 的最小值为 2 题型4　两次及以上使用基本不等式求最值 13. 函数 的最小值为 ( ) A. B. C. 4 D. 题型5　恒成立与能成立共存问题 14. (多选) 已知函数 ,下列结论正确的是 ( ) A. 恒成立,则实数 的取值范围是 B. ,则实数 的取值范围是 C. ,则实数 的取值范围是 D. 15. 已知函数 ,若 ,使得 , 则实数 的取值范围是 ___. 题型6　函数最值与不等式结合问题 16. 已知 ,且 ,若 恒成立,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 17. (多选) 已知正数 满足 ,若存在正数 使得 成立,则实数 的可能取值是 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 18. 已知 ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 参考答案与解析 1. 选 B. 对任意 ,有 . 当且仅当 ,即 时,等号成立,即 的最大值为 . 由对任意 恒成立,所以 ,即 的取值范围是 . 2. 填 . 若存在 ,使 ,则 . 由 得 ,即 . 因为 . 所以 时， ，则 . 3. 填 . 对任意的 ,都有 ,转化为 . 则 ,令 . 易证 在 上为减函数,故 . 所以 . 4. 填 . 由 . 所以易得 的值域为 的值域是 . 对任意的 ,存在 ,使得 . 所以 的值域包含 的值域,即 . 所以 ,解得 ,故 . 5. 选 C. 对于 时, 为负数, 不符合题意. 对于 时, ,所以 ,但不存在 使 成立, B 不符合题意. 对于 , 当且仅当 ,即 时等号成立, 符合题意. 对于 时, ,所以 ,但不存在 , 使 成立, 不符合题意. 6. 选 C. 因为 ,所以 (当且仅当 时取等号),即 ,则 ,所以 ,又 , 所以 ，所以 的最大值为 3. 7. 选 ACD. 对于 ,当且仅当 时,等号成立,故 正确; 对于 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立,故 错误; 对于 ,当且仅当 时,等号成立,故 正确; 对于 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,故 正确. 8. 选 D. 令 ,则 ,且 ,所以 当且仅当 时取等号. 9. 选 B. 因为 ,所以 ,于是得 , 当且仅当 ,即 时取 “ ”,所以函数 的最小值为 25. 10. 选 C. 当且仅当 ,即 时,等号成立. 故 的最小值为 . 11. 选 B. 函数 是偶函数，则 ，所以 ，又 ， ，且 ,所以 ,所以 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取 “=”. 12. 选 ABD. 对于 ,由已知得 ,由于 ,所以 ,解得 或 ,又 ,所以 ,故该选项正确. 对于 ,由于 ,所以 (当且仅当 ,即 时等号成立). 所以 ,即 . 所以 的最小值为 16,故该选项正确. 对于C , ,当且仅当 ,即 时等号成立,故该选项不正确. 对于 D. 由已知得 ,又 ,所以 ,即 ,又 , 所以 . 又 ,所以 ,所以 (当且仅当 时等号成立),故该选项正确. 13. 选 C. 因为 ,当且仅当 ,即 时等号成立,所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,故 的最小值为 4. 14. 选 ABC. 对于 ,因为 是单调递减函数,所以 ,因为 恒成立,所以 ,故 A 正确; 对于 ,因为 是单调递减函数,所以 ,因为 ,所以 ,故 正确; 对于 ,函数 ,所以 ,所以 的值域为 ,因为 ,所以 ,故 正确; 对于 ,等价于 的值域是 的值域的子集,因为 的值域是 的值域是 ,所以 错误. 15. 填 . ,使得 ,使得 . 对函数 求导得 ,则 ,所以函数 在 上单调递减,可得 在 上单调递增,所以 ,所以 ,解得 . 所以实数 的取值范围是 . 16. 选 B. 由设知, ,当且仅当 时等号成立,所以要使 恒成立,只需 ,故 , 所以 . 17. 选 CD. 由题可知存在正数 使得 成立,所以 . 因为正数 满足 ,所以 ,当且仅当 时,取等号,所以 . 18. 选 A. 因为 ,且 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立. 又不等式 恒成立,所以 ,即 ,解得 . 学科网（北京）股份有限公司 $