江苏徐州市第一中学2025-2026学年第一学期高三年级1月检测数学试题

**基本信息** 高三1月检测数学卷，以篮球命中率、范数理论等真实与创新情境为载体，覆盖集合、复数、概率等核心知识，突出数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、圆锥表面积、统计分位数|第5题结合体育比赛数据考查分位数，体现数学眼光| |多选|3/18|条件概率、椭圆性质、函数与数列综合|第11题奇函数与等差等比数列交汇，考查推理能力| |填空|3/15|向量运算、随机变量期望|第14题颜色抽取模型，考查数据意识| |解答|5/77|解三角形、立体几何、函数导数、椭圆综合、新定义应用|第19题以范数和抽屉原理为材料，考查数学语言表达；第18题椭圆内切圆问题，体现模型观念|

徐州一中2025—2026学年度第一学期高三年级1月检测 数学试题参考答案 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，若，则实数a的值为(    ) A. 或3 B. 0或 C. 3 D. 【答案】C  2.已知，则的虚部为     A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C  【解析】解：因为， 所以，所以的虚部为 故选：C 3.“”是“”的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D  【解析】解：推不出，例如，但； 也推不出，例如，但， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选： 4.已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为(    ) A. B. C. D. 10 【答案】C  【解析】解：根据题意，圆锥的母线长为， 所以圆锥的表面积 故选： 5.一名职业篮球运动员在某8场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为p，且随机变量，则     A. B. C. D. 7 【答案】A  【解析】解：把8个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第5位数字，即， 即，所以 故选： 6.若，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为在R上单调递减，所以， 因为在上单调递增，所以， 且， 所以a、b、c的大小为 故选： 7.已知，，，则(    ) A. 1 B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意，， 则， 展开得到， 从而①， 而，解得②， 由①②解得或， 又由于，故 故选：C 8.在三棱锥中，平面BCD，，且，则三棱锥外接球表面积的最小值为     A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为平面BCD，则三棱锥可补成直三棱柱，其外接球半径满足： ，其中r为底面的外接圆半径，AD为侧棱长度， 因为，则为等腰三角形，设， 由正弦定理，得， 由，得，在中： ⟹， ， 令，得： ， 令，得：， 对函数，，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 则三棱锥外接球表面积的最小值为 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的，，，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的，，，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有(    ) A. 该学生的眼睛近视的概率为 B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为 C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为 D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 【答案】AC  【解析】解：对于：该学生的眼睛近视的概率为，故正确； 对于：该学生是高三年级且眼睛近视的概率为，故错误； 对于：如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为，故正确； 对于：如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为，故错误. 故选： 10.已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，为C上任意一点，且原点O为C的对称中心，则     A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 线段OP的中垂线不可能经过C的顶点 【答案】AC  【解析】解：对于A，由椭圆方程得：，，解得：且， 当时，，椭圆C焦点在y轴上，则其长轴长为，焦距为， 离心率，，解得：； 当时，，椭圆C焦点在x轴上，则其长轴长为2m，焦距为， 离心率，，整理可得：， 当时，，无解； 综上所述：，A正确； 对于B，由A知：椭圆， 设，， 其中，， 则当时，取得最小值，B错误； 对于C，， 则当或时，取得最大值，C正确； 对于D，，中点， 若P不是椭圆C顶点，则， 中垂线方程为：，即， 将代入方程得：，化简得：， 解得：或，又，， 中垂线可能经过椭圆C顶点，D错误. 故选： 11.已知定义在R上的奇函数满足当时，，若存在等差数列，其中，使得成等比数列，则a的取值可能为    A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】解：当时，则，因为函数是上的奇函数， 所以，即函数， 设等差数列的公差为d，不妨设， 因为，可得，解得，所以， 则， 又因为成等比数列，设公比为q， 可得， 由且函数为奇函数，所以点关于原点对称， 所以，即，解得， 所以， 因为，可得，所以， 即方程，即在上有解， 即在上有解， 令，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，， 所以，解得，所以A正确； 又由，，所以C正确，D错误； 令，可得，所以单调递减， 又因为，所以，即，可得， 又由，所以，所以B正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量，，若，则          . 【答案】或  【解析】解：已知，， 则， 因为，可得，即， 解得或. 当时，， 当时，，则 故答案为：或 13.随机变量，正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 14.现有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各4张，有放回地抽取4次，每次抽一张，则4次抽取的卡片颜色种数X的数学期望为          . 【答案】  【解析】解：由题意知，四次抽取的卡片颜色种数X的所有可能取值为， 当，即4次抽取的卡片颜色相同，故， 当，即4次抽取到2种不同颜色的卡片，故， 当，即4次抽取到3种不同颜色的卡片，故， 当，即4次抽取到的卡片颜色均不同，故， 所以四次抽取的卡片颜色种数X的数学期望 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， 求 若，求AB边上的高 【答案】解析因为，所以，所以，.....2分 由正弦定理得，所以，.........................................4分 所以；....................................................................6分 由正弦定理得，所以， 所以，...............................................................................8分 由余弦定理可得，..........................10分 因为，即，......................................12分 所以AB边上的高 ...............................................................13分 16.本小题15分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面PAD，且，，    证明：平面平面 若二面角的余弦值为，求棱AB的长. 【答案】解：证明：平面PAD，平面PAD，；...............2分 ，，，，；.............4分 平面PAB，，平面PAB，.............................5分 ，平面PAB， 平面PBC，平面平面..........................................7分 由知：平面PAD，，则两两互相垂直， 以A为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，   设，则，，，，.................9分 ，，， 设平面BPC的法向量， 则，令，解得：，，；.....11分 设平面PCD的法向量， 则，令，解得：，，；.....13分 ，解得：舍或， 棱AB的长为...........................................................................15分 17.本小题15分 已知函数， 若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围; 证明：有且仅有一个极值点. 【答案】解：因为， 所以....................3分 因为在时恒成立， 所以在时恒成立. 因为当时，，............................6分 所以，即 m的取值范围是.........................7分 证明：由可知 令，则................9分 当时， ，所以，单调递增； 当时， ，所以，单调递减........11分 又，，， 所以，即在上有且仅有一个零点，设为.......13分 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以有且仅有1个极值点. .......15分 18.本小题17分 已知椭圆C：的短轴长为2，与双曲线有相同的左右焦点、，点，是椭圆上的动点，的延长线的交点在椭圆C上. 求椭圆C的方程; 若点的纵坐标为，求内切圆的方程; 设分别为的内切圆半径，证明： 【答案】解：由题意得，即， 双曲线的标准形式为， 其焦点满足，即焦点为，.......2分 椭圆与双曲线共焦点，故椭圆的， 结合椭圆关系， 得， 因此，椭圆C的方程为；.......4分 因为点的纵坐标为，， 又，轴，.....................................6分 由对称性知，内切圆圆心在x轴正半轴上，且是切点， ， 且的周长为， 又，.........................8分 ，内切圆的圆心为， 内切圆的方程为；...................10分 证明：因为，...........11分 直线的方程为， 由，消y可得， 整理得，...................13分 所以，得， 所以， 同理可得， 则 ，...................15分 当且仅当时取等号; 则， 则当P为时可取等， 所以的最大值为， 又因为，所以，证明完毕. ...................17分 19.本小题17分 请阅读以下材料并完成以下问题： 【材料一】范数是定义在向量空间上的一个函数，它为向量空间中的每个向量赋予一个非负的实数值，直观上可以理解为向量的“长度”或“大小”. -范数：在维向量空间中，向量的-范数定义为，其中.如当时，得到1-范数，即，它表示向量各个分量绝对值之和，例如. 再以常见的二维欧几里得空间为例，对于向量，其欧几里得范数（也称为2-范数）定义为，这正是我们熟悉的从原点到向量终点的直线距离，符合我们对向量长度的直观认知. 【材料二】桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果.这一现象就是我们所说的“抽屉原理”. 抽屉原理是德国数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805~1859）首先提出来的，也称狄利克雷原理.抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素. 【材料三】在维向量空间中，对，其中，，定义. (1)若，且，其中，；记为奇数的向量个数为. ①求； ②求（用含的式子表示，其中）； (2)若正整数，若定义集合，其中，，，且；请求出的元素个数；若已知，满足对任意，都有，求的最大值. 【答案】解：（1）①当时，，则的个数为1， 根据乘法原理....................2分 当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即0的个数为0，2， 根据乘法原理和加法原理得到....................4分 ②当为偶数时，为奇数，则的个数为奇数，即0的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相减得到；...................6分 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，即0的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相加得到....................8分 综上所述：....................9分 （2）由题：（1）由，且，故， 中6个分量中恰有3个1， 的元素个数为. 又由，由集合元素互异性，，故可取， 若要满足条件，则中恰有一个相同位置的元素均为1. 猜想：列举其中一种， 若，则， ，， 而此时前面三位均已不可站位，由抽屉原理，不管怎么选都不能满足题意，故的最大值为4. 下证若，则中有三个分量为1，但要求中都恰好有一个分量与相同， 则由抽屉原理，必然有一个位置有两个分量与之相同， 即中至少有两个向量在相同的位置与有相同的分量1； 不妨设的第一个分量为1，此时的剩余6个分量要分配在5个不同的位置里， 但由抽屉原理，中至少有两个向量在两个相同的位置都有1， 不妨设这两个向量为，则， 与题设：“对任意，都有”矛盾，故. 当时， 令，满足题意. 故的最大值为4. 另解：由题：由，且，故中6个分量中恰有3个1， 故的元素个数为. 对于的非空子集. 设，这里是的第个分量， 定义，规定， 设， 令， 我们先证明引理：. 反证法：，令， 设满足，其中， ，即：，且， ，这与矛盾，引理证毕. 回到原题，由引理，解得， ， ，符合题意， 综上，当时，的最大值为4....................17分 ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州一中2025—2026学年度第一学期高三年级1月检测 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，若，则实数a的值为(    ) A. 或3 B. 0或 C. 3 D. 2.已知，则的虚部为     A. B. 2 C. 3 D. 6 3.“”是“”的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为(    ) A. B. C. D. 10 5.一名职业篮球运动员在某8场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为p，且随机变量，则     A. B. C. D. 7 6.若，，，则(    ) A. B. C. D. 7.已知，，，则(    ) A. 1 B. C. D. 8.在三棱锥中，平面BCD，，且，则三棱锥外接球表面积的最小值为     A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的，，，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的，，，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有(    ) A. 该学生的眼睛近视的概率为 B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为 C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为 D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 10.已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，为C上任意一点，且原点O为C的对称中心，则     A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 线段OP的中垂线不可能经过C的顶点 11.已知定义在R上的奇函数满足当时，，若存在等差数列，其中，使得成等比数列，则a的取值可能为    A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量，，若，则          . 13.随机变量，正实数满足，则的最小值为 . 14.现有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各4张，有放回地抽取4次，每次抽一张，则4次抽取的卡片颜色种数X的数学期望为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， 求 若，求AB边上的高 16.本小题15分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面PAD，且，，    证明：平面平面 若二面角的余弦值为，求棱AB的长. 17.本小题15分 已知函数， 若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围; 证明：有且仅有一个极值点. 18.本小题17分 已知椭圆C：的短轴长为2，与双曲线有相同的左右焦点、，点，是椭圆上的动点，的延长线的交点在椭圆C上. 求椭圆C的方程; 若点的纵坐标为，求内切圆的方程; 设分别为的内切圆半径，证明： 19.本小题17分 请阅读以下材料并完成以下问题： 【材料一】范数是定义在向量空间上的一个函数，它为向量空间中的每个向量赋予一个非负的实数值，直观上可以理解为向量的“长度”或“大小”. -范数：在维向量空间中，向量的-范数定义为，其中.如当时，得到1-范数，即，它表示向量各个分量绝对值之和，例如. 再以常见的二维欧几里得空间为例，对于向量，其欧几里得范数（也称为2-范数）定义为，这正是我们熟悉的从原点到向量终点的直线距离，符合我们对向量长度的直观认知. 【材料二】桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果.这一现象就是我们所说的“抽屉原理”. 抽屉原理是德国数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805~1859）首先提出来的，也称狄利克雷原理.抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素. 【材料三】在维向量空间中，对，其中，，定义. (1)若，且，其中，；记为奇数的向量个数为. ①求； ②求（用含的式子表示，其中）； (2)若正整数，若定义集合，其中，，，且；请求出的元素个数；若已知，满足对任意，都有，求的最大值. 高三数学试卷 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $