专题06 有理数的运算 章末48道压轴题型专训（6大题型） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数运算6大压轴题型，通过48道典例构建从概念理解到综合应用的递进训练体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义运算|8道|自定义规则转化与验证|从有理数概念延伸至符号抽象| |含乘方混合运算|8道|运算顺序与符号处理综合|乘方意义与四则运算融合| |运算律巧算|8道|交换律/结合律/分配律应用|运算律本质与简算技巧衔接| |运算规律探究|8道|数列/等式规律归纳推理|观察分析与数学表达结合| |实际应用|8道|经济/统计/行程等场景建模|运算技能与实际问题转化| |近似数与科学记数法|8道|数据处理与单位换算|数感培养与现实数据解读|

专题06 有理数的运算章末48道压轴题型专训（6大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、有理数的新定义运算 1 题型二、含乘方的有理数混合运算综合问题 2 题型三、有理数中的运算律巧算问题 3 题型四、有理数运算规律探究 4 题型五、有理数四则混合运算的实际应用 5 题型六、近似数、科学记数法实际综合应用 6 【经典例题一 有理数的新定义运算】 1．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）对于有理数，定义一种新运算“”．如下，求的值． 2．（25-26七年级上·吉林松原·期中）小明同学借助于有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：对于任意有理数，都有． (1)求的值； (2)试用，说明，新定义的运算不满足交换律． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 4．（25-26七年级上·青海海东·期中）定义一种新运算：． 例如． 求下列各式的值： (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）我们定义一种新运算：． (1)________；________；________； (2)求的值． 6．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 7．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完（有理数）后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，帮助有理数的运算，定义：一种新运算“⊕”，规则如下：，（a，b不相等） (1)___________；___________；___________． (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 8．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知m，n为有理数，如果规定一种新运算#，定义．解答下列各题． (1) ； (2) ； (3)探索：任意选取两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列〇和◇内，并比较两个运算结果，你能发现什么？ 和 【经典例题二 含乘方的有理数混合运算综合问题】 9．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）对于任意有理数、，规定一种新运算法则※．a※．例如：1※2＝． (1)求2※（－5）的值； (2)求的值． 10．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为厘米，中间有一个直径为6厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸展开后大约是多少米？（得数精确到小数点后一位小数，取） 11．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）一个无盖的圆柱型铁皮水桶，高24厘米，底面周长56.52厘米，底面圆的半径为a．（） (1)求a的值； (2)求做10个这样的水桶要用到铁皮多少平方厘米； (3)若用这种水桶运输水，则一次性装完至少需要多少个这样的水桶． 12．（25-26七年级上·重庆江北·期中）进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n()进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数，记作， 七进制数，记作． (1)请将以下两个数转化为十进制：______，______． (2)若一个正整数可以用三进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示． 13．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国年人均用纸量约为，每个初中毕业生离校时大约有废纸；用废纸造出的再生好纸所能节约的木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．如果我市初中毕业生中有5万人环保意识较强，他们离校时把自己的全部废纸送到回收站，使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？ 15．（2024七年级·全国·模拟预测）某商店积压了100件某种商品，为尽快脱手，采用了如下的销售方案：先将价格提高到原来的倍，再作三次降价处理：第一次降价，标出“亏本价”；第二次降价，标出“破产价”；第三次降价，标出“跳楼价”．三次降价销售结果如下： 降价次数 一 二 三 销售件数 10 30 一抢而光 请问： (1)跳楼价占原价的百分比是多少？ (2)该商店按新方案销售与原价销售（售完），哪一种方案更盈利？ 16．（2025七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例如，十进制数3721表示为：（规定当，）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一．例如，二进制数10000转化为十进制数为：． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数10111转换为十进制数为______；其他进制也有类似的算法． (2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满4进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图知，他所放牧的羊的只数是多少？ 【经典例题三 有理数中的运算律巧算问题】 17．（25-26七年级上·福建福州·期末）用“⊗”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，，其中等号右边的运算律与运算法则和有理数的运算律与运算法则一致． 例如，，求下列各式的值． (1)； (2)． 18．（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下图． 利用这种运算律可以得到． (1)它的计算过程可以解释________这一运算律； (2)请你利用这种运算律计算：． 19．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 20．（25-26七年级上·河北保定·期中）阅读以下内容： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1：； 例2：． 请你参考以上解法，用运算律进行简便计算． (1)． (2)． 21．（24-25七年级上·湖南·阶段检测）在学习了有理数的乘法之后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1    ; 例2   ． (1)任务一：例1，例2都用到的运算律是______； (2)任务二：请你参照上述例1，例2，用运算律简便计算下列式子：； (3)． 22．（25-26七年级上·北京西城·期中）一种新运算定义如下： (1)计算：______； (2)计算：______；（括号内的式子先进行运算） (3)我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足交换律：______（填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足结合律：______（填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 23．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． 请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 24．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）阅读下列内容，并完成相关问题： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可） 【经典例题四 有理数运算规律探究】 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）由；；；；…想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以得出什么规律？请用n（n为正整数）的等式把这一规律写出来． 26．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算： ；；；；…… (1)利用上述规律计算：； (2)计算：． 27．（25-26六年级上·上海青浦·期中）阅读计算下面各组题目，并找出规律．        (1)你能写出类似的算式吗？ = ； = ． (2)利用你发现的规律计算： 28．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）规律探索： 有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”． (1)试计算：=？，=？，=？（要写出计算过程哦）； (2)由你发现的规律，请计算是多少？ 29．（25-26七年级上·广东佛山·期中）观察下列等式：；；； ；… (1)根据上述规律，可以得出 ＝ ． (2)请直接用一个含有n（n为正整数）的等式表示这个规律． (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 30．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，…① ，，，，，，…② ，，，，，，…③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是______； (2)第②③行与第①行分别有什么关系？ (3)取每行中的第个数，计算这三个数的和． 31．（24-25六年级上·上海·阶段检测）小丽是个爱思考的学生，最近，她发现一些特殊的两位数乘法，如：           …… (1)根据上述算式的规律请计算：________． (2)试写出一个与上述算式具有同样特征的算式：_________． (3)为了反映上述规律，如果设其中一个因数十位上的数字为m，个位上的数字为n，那么该因数可表示为：________，另一个因数可表示为__________，计算结果可表示为_____________． 32．（25-26七年级上·河南南阳·期中）经过研究人们发现：从2开始连续的偶数相加，可以得到如下表的结果： 加数的个数n 连续偶数的和（记为S） 1 2 3 4 5 (1)如果，那么S的值为_______； (2)根据表中的规律猜想：用含的代数式表示S的公式为_______； (3)运用上面的规律计算： ①； ②； ③． 【经典例题五 有理数四则混合运算的实际应用】 33．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克? 34．（2026七年级上·四川泸州·模拟预测）某班50人在一次考试后进行成绩统计：每人以80分为准，超过的分数记作正数，不足的分数记为负数（记录如下）．问全班总分是多少？全班平均分是多少分？ 记录的分数 人数 15 14 6 1 12 2 35．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 36．（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 37．（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 38．（25-26七年级上·河北邢台·期末）为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)求这辆新能源汽车这7天行驶的总路程； (3)该汽车行驶完这7天后，求行车电脑上显示的剩余电量的百分比． 39．（25-26七年级上·广东佛山·期末）某超市零食区同一排货架上放有薯片、巧克力、饼干、果冻等零食，其中薯片位于货架正中间左侧4米处，巧克力在薯片右侧7米处，饼干的位置到货架正中间的距离与巧克力到货架正中间的距离相等，且饼干在货架左侧．小明去超市买东西，他发现如果将这排货架按“左负右正”标注位置（单位：米），货架正中间作为原点，那么这些零食的位置就可以在数轴上表示出来．若薯片、巧克力、饼干、果冻分别用点，，，表示，请回答下列问题： (1)请你帮小明画出数轴，并在数轴上分别标出，，的位置及其对应的数； (2)如果果冻与饼干距离4米，那么果冻与巧克力距离多少米？ (3)如果小明从原点出发，先后拿了饼干、薯片、巧克力，且他每走2米需要3秒，他完成取货全程步行共需要多少时间? 40．（25-26七年级上·广西防城港·阶段检测）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员一星期的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，少于50单的部分记为“”，下表是该外卖员一星期的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)该外卖员这一星期送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ (2)该外卖员这一星期一共送餐多少单？ (3)若每送一单能获得元的酬劳，请计算外卖员这一星期的收入． 【经典例题六 近似数、科学记数法实际综合应用】 41．（25-26七年级上·河南周口·期中）据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于亩森林木材的造纸量．某市今年大约有名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，那么至少可使多少亩森林免遭砍伐？ 42．（26-27七年级上·全国·课后作业）中国以占世界不到的耕地，养活了占世界多的人口．其中“杂交水稻之父”袁隆平立下了汗马功劳，他一路攻坚克难，水稻亩产量从最初的300千克左右提高到500千克、700千克、800千克如今的最高纪录约是1600千克，与最初相比，如今的最高纪录提高了百分之几？（百分号前保留两位小数） 43．（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 44．（24-25七年级上·甘肃庆阳·阶段检测）某粮店有10袋玉米准备出售，称得质量如下（单位：千克）： 182，178，177，，183，184，181，185，，180． (1)若以180作为基准数，用正、负数表示这10袋玉米的质量与它的差； (2)试计算这10袋玉米的总质量是多少千克 (3)若每千克玉米的售价为元，则这10袋玉米能卖多少元（精确到1元）？ 45．（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 46．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 47．（25-26六年级上·山东威海·期中）商人吴某于上周日买进某农产品10000斤，每斤2.2元．下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日的批发价格为每斤2.5元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） (1)星期四该农产品价格为每斤多少元？ (2)本周内该农产品的最高价格为每斤多少元？最低价格为每斤多少元？ (3)吴某在本周的买卖中共赚了约多少钱？（精确到百位） 48．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）： ，，，，， (1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？ (2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油升，当天从出发到收工共耗油多少升？若汽油价格为元升，该检修小组该天的油费是 元． (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电度，且使用充电桩充电的价格是每度电元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 有理数的运算章末48道压轴题型专训（6大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、有理数的新定义运算 1 题型二、含乘方的有理数混合运算综合问题 2 题型三、有理数中的运算律巧算问题 3 题型四、有理数运算规律探究 4 题型五、有理数四则混合运算的实际应用 5 题型六、近似数、科学记数法实际综合应用 6 【经典例题一 有理数的新定义运算】 1．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）对于有理数，定义一种新运算“”．如下，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据新定义列出算式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级上·吉林松原·期中）小明同学借助于有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：对于任意有理数，都有． (1)求的值； (2)试用，说明，新定义的运算不满足交换律． 【答案】(1)60 (2)不满足，理由： ； ； ∴， 所以此运算不满足交换律． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）计算出与两式的值，即可做出判断． 【详解】（1）解： ． （2）略 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解并按照新运算的规则进行计算． （1）按照新运算规则计算． （2）先计算，再将结果与进行新运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26七年级上·青海海东·期中）定义一种新运算：． 例如． 求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)32 (2)39 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可． 【详解】（1）解：； （2） ． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）我们定义一种新运算：． (1)________；________；________； (2)求的值． 【答案】(1)7，，9 (2)1 【分析】本题考查有理数新定义的运算，理解新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义的运算计算即可； （2）先计算，则，根据新定义的运算计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ； 故答案为：7，，9 （2）解：∵， ∴ ． 6．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完（有理数）后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，帮助有理数的运算，定义：一种新运算“⊕”，规则如下：，（a，b不相等） (1)___________；___________；___________． (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【答案】(1)，， (2)40 (3) 新运算“”不满足交换律． ， ， ， 新运算“”不满足交换律． 【分析】本题考查了新运算，有理数的混合运算． （1）根据逐一计算可得； （2）根据法则，先计算，再计算可得； （3）计算和即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，，. 故答案为：，，； （2） ； （3）略 8．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知m，n为有理数，如果规定一种新运算#，定义．解答下列各题． (1) ； (2) ； (3)探索：任意选取两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列〇和◇内，并比较两个运算结果，你能发现什么？ 和 【答案】(1) (2)44 (3) 设〇为2，◇为， ∴，， ∴和的运算结果相同． 【分析】（1）根据题中新运算法则计算即可； （2）先根据题中新运算法则计算，再根据新运算法则计算即可； （3）任意选符合条件的两个数计算，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）略 【经典例题二 含乘方的有理数混合运算综合问题】 9．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）对于任意有理数、，规定一种新运算法则※．a※．例如：1※2＝． (1)求2※（－5）的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义运算法则，有理数的混合运算顺序和法则，是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据新运算定义，先计算中括号内的运算，再与中括号外的运用新定义运算． 【详解】（1）解：（1） （2）解：∵※4 ； ∴ 10．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为厘米，中间有一个直径为6厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸展开后大约是多少米？（得数精确到小数点后一位小数，取） 【答案】米 【分析】本题考查了含乘方有理数的混合运算的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先各自算出大小圆的半径，代入圆的面积公式，求出其面积差，除以厚度，换算单位即可． 【详解】解：根据题意可得这卷纸展开后大约是：（厘米）， ∵厘米=米米， ∴这卷纸展开后大约是米． 11．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）一个无盖的圆柱型铁皮水桶，高24厘米，底面周长56.52厘米，底面圆的半径为a．（） (1)求a的值； (2)求做10个这样的水桶要用到铁皮多少平方厘米； (3)若用这种水桶运输水，则一次性装完至少需要多少个这样的水桶． 【答案】(1)9 (2)做10个这样的水桶要用到铁皮平方厘米； (3)一次性装完至少需要个这样的水桶． 【分析】（1）根据圆周长公式计算即可； （2）求做这个水桶要铁皮多少平方厘米，也就是求圆柱的侧面积底面面积，圆柱的侧面积底面周长高，底面积．列式解答即可； （3）求至少需要多少个这样的水桶，用运输总水量除以水桶的体积是多少，即可． 【详解】（1）解：因为底面周长56.52厘米 所以厘米， 所以； （2）解： ， 答：做10个这样的水桶要用到铁皮平方厘米； （3）解：每个铁皮水桶的容积（立方厘米） （立方厘米） 所以（个） 答：一次性装完至少需要个这样的水桶． 12．（25-26七年级上·重庆江北·期中）进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n()进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数，记作， 七进制数，记作． (1)请将以下两个数转化为十进制：______，______． (2)若一个正整数可以用三进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示． 【答案】(1)91，34 (2)7 【分析】本题考查定义新运算： （1）根据题意即可解答； （2）将和化为十进制数，令它们相等可得a、b的关系，再结合a、b的范围可得a、b的取值，从而可求得答案． 【详解】（1）解：由题可知， ， 故答案为：91，34； （2）解：由题可知，， 则，则， 由可知为大于或等于0，且小于或等于2的整数，a为大于或等于1，且小于或等于2的整数， 由可知为大于或等于1，且小于或等于4的整数，a为大于或等于0，且小于或等于4的整数， 故或2，或2， ∵， ∴， ∴这个数用十进制表示为． 13．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国年人均用纸量约为，每个初中毕业生离校时大约有废纸；用废纸造出的再生好纸所能节约的木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．如果我市初中毕业生中有5万人环保意识较强，他们离校时把自己的全部废纸送到回收站，使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？ 【答案】112.5 【分析】本题考查有理数的混合运算：先根据题意求出废纸回收量，然后再求出这些废纸相当于多少棵大树，最后算出这些大树最少占用了多少亩土地即可． 【详解】解：由题意，（亩） 答：最少可使112.5亩森林免遭砍伐． 15．（2024七年级·全国·模拟预测）某商店积压了100件某种商品，为尽快脱手，采用了如下的销售方案：先将价格提高到原来的倍，再作三次降价处理：第一次降价，标出“亏本价”；第二次降价，标出“破产价”；第三次降价，标出“跳楼价”．三次降价销售结果如下： 降价次数 一 二 三 销售件数 10 30 一抢而光 请问： (1)跳楼价占原价的百分比是多少？ (2)该商店按新方案销售与原价销售（售完），哪一种方案更盈利？ 【答案】(1) (2)新销售方案更盈利 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）把原价看做1，求出跳楼价即可得到答案； （2）把原价看做1，分别求出按原价销售和按新方案销售的销售额即可得到答案． 【详解】（1）解：跳楼价占原价的； 答：跳楼价占原价的百分比是； （2）解：假设原价为1，则按原价销售，总售价为， 按新销售方案， 总售价为， ∵， ∴按新销售方案销售利润更大． 答：新销售方案更盈利． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例如，十进制数3721表示为：（规定当，）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一．例如，二进制数10000转化为十进制数为：． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数10111转换为十进制数为______；其他进制也有类似的算法． (2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满4进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图知，他所放牧的羊的只数是多少？ 【答案】(1)23 (2)30只 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据二进制转换为十进制的方法计算即可； （2）仿照二进制转换为十进制的方法计算即可； 【详解】（1）解：将二进制数10111转换为十进制数为； （2）解：∵满4进1，图示表示的四进制数为132， ∴转化为十进制数为， 他所放牧的羊的只数是30只． 【经典例题三 有理数中的运算律巧算问题】 17．（25-26七年级上·福建福州·期末）用“⊗”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，，其中等号右边的运算律与运算法则和有理数的运算律与运算法则一致． 例如，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)21 (2)8 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）先计算乘方与乘法，再计算加减法即可； （2）再计算括号外的新定义运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下图． 利用这种运算律可以得到． (1)它的计算过程可以解释________这一运算律； (2)请你利用这种运算律计算：． 【答案】(1)乘法分配律 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律，有理数四则混合运算等知识点，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键． （1）观察分析运算过程即可直接得出答案； （2）运用有理数乘法分配律运算即可． 【详解】（1）解：， 观察分析可知，它的计算过程可以解释乘法分配律这一运算律， 故答案为：乘法分配律； （2）解： ． 19．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 20．（25-26七年级上·河北保定·期中）阅读以下内容： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1：； 例2：． 请你参考以上解法，用运算律进行简便计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数运算中的简便运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键： （1）将原式化为，进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 21．（24-25七年级上·湖南·阶段检测）在学习了有理数的乘法之后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1    ; 例2   ． (1)任务一：例1，例2都用到的运算律是______； (2)任务二：请你参照上述例1，例2，用运算律简便计算下列式子：； (3)． 【答案】(1)乘法分配律 (2) (3)0 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，主要运用了乘法的分配律． （1）观察例1，是把98写成，然后利用乘法分配律去掉括号，例2是逆用乘法分配律，提出233，由此可得答案； （2）把写成，利用乘法分配律进行计算； （3）逆用乘法分配律，提取999，进行简便计算即可． 【详解】（1）解：例1，例2都用到的运算律是乘法的分配律， 故答案为：乘法分配律； （2）解： ； （3）解： ． 22．（25-26七年级上·北京西城·期中）一种新运算定义如下： (1)计算：______； (2)计算：______；（括号内的式子先进行运算） (3)我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足交换律：______（填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足结合律：______（填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 【答案】(1)12 (2)16 (3)①是； ②否， 当时，，，两者不相等． 故该新运算不满足结合律． 【分析】此题考查了加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算计算即可； （2）根据新定义的运算计算即可； （3）①分别计算与，即可得到答案；②利用反例进行判断即可． 【详解】（1）解：， （2）， （3）①，， ∴， 故该新运算满足交换律； 故答案为：是 ②略 23．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． 请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1) 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 等于这个数的绝对值 (2) 解：加法的交换律仍然适用， 例如： 所以 故加法的交换律仍然适用． 加法的结合律不适用， 例如： 所以 故加法的结合律不适用． 【分析】（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算的运算法则； （2）对于加乘运算的交换律， 可举例进行运算后再判断，对于加乘运算的结合律，可举例 进行运算后再判断即可. 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；． 归纳可得： 两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． （2）略 【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键. 24．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）阅读下列内容，并完成相关问题： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值 (2) (3) 交换律仍然适用， 例如：， 所以， 故交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：， ， 所以结合律不适用． 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法运算，加法运算法，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）可选择加法交换律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． 【详解】（1）解：同号得正、异号得负，并把绝对值相加； 都得这个数的绝对值． （2）解；原式； （3）略 【经典例题四 有理数运算规律探究】 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）由；；；；…想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以得出什么规律？请用n（n为正整数）的等式把这一规律写出来． 【答案】等式右边幂的底数是等式左边各项幂的底数之和， 【分析】根据题意，得；；；，得到，解答即可． 本题考查了有理数的乘方，规律探索问题，熟练掌握规律的探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得；；；， 观察可得：等式右边幂的底数是等式左边各项幂的底数之和， ∴， 故． 26．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算： ；；；；…… (1)利用上述规律计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． 27．（25-26六年级上·上海青浦·期中）阅读计算下面各组题目，并找出规律．        (1)你能写出类似的算式吗？ = ； = ． (2)利用你发现的规律计算： 【答案】(1)、、、 (2) 【分析】（1）根据分子相同、后一个分数的分母比前一个分母大的数即为分子求解即可； （2）利用所得规律将原式变形为，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ； 故答案为：，，，； （2）解：原式， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律及有理数的混合运算，解题的关键是根据已知等式得出规律：分子相同、后一个分数的分母比前一个分母大的数即为分子，并加以运用． 28．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）规律探索： 有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”． (1)试计算：=？，=？，=？（要写出计算过程哦）； (2)由你发现的规律，请计算是多少？ 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了数字的规律探索，解题的关键是根据“每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数”求出数列的前几项，进而找出循环规律． （1）根据从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，依次计算； （2）通过（1）的计算结果，找出数列的循环规律，再根据循环周期计算． 【详解】（1）解：已知， 则：， ， ， （2）解：由（1）可知，数列以、、这三个数为一个周期循环． 因为，其中余数为1． 所以． 29．（25-26七年级上·广东佛山·期中）观察下列等式：；；； ；… (1)根据上述规律，可以得出 ＝ ． (2)请直接用一个含有n（n为正整数）的等式表示这个规律． (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式； （1）根据题目中的等式，可以计算出的值； （2）根据题目中的等式，可以发现结果的分母都是6，分子的第一个数字和这是第几个等式对应的数字一样，第二数字比第一个数字大1，第三个数字是(2n+1)，这里的n和第几个式子对应的数字相同，从而可以写出第n个等式； （3）根据题目中式子，可以得到，然后计算即可解答本题． 【详解】（1）， 故答案为：，． （2）解：∵；；； ；… ∴第个算式是； （3）解： ． 30．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，…① ，，，，，，…② ，，，，，，…③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是______； (2)第②③行与第①行分别有什么关系？ (3)取每行中的第个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) 第行的每个位置上的数是第行相应位置的数除以得到的，即，，，，； 第行的每个位置上的数是第行相应位置的数减得到的，即，，，，； (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）先分析第①行数字规律，得出第n个数的表达式，再代入计算． （2）通过对比第②、③行与第①行对应位置的数，总结出数量关系． （3）先根据规律分别求出每行第10个数，再将这三个数相加． 【详解】（1）解：， ， ， ， 第个数是：， 第个数是：， 故答案为：； （2）略 （3）， ， ， ， 第行第个数是：， 第行第个数是：， 第行第个数是：， 第行第个数是：， 其和为：． 31．（24-25六年级上·上海·阶段检测）小丽是个爱思考的学生，最近，她发现一些特殊的两位数乘法，如：           …… (1)根据上述算式的规律请计算：________． (2)试写出一个与上述算式具有同样特征的算式：_________． (3)为了反映上述规律，如果设其中一个因数十位上的数字为m，个位上的数字为n，那么该因数可表示为：________，另一个因数可表示为__________，计算结果可表示为_____________． 【答案】(1)9021 (2)（答案不唯一） (3)，， 【分析】此题主要考查运算规律探索与运用，有理数的乘法运算，列代数式， 认真观察算式中存在的规律，并结合它们灵活应用是解题的关键，在证明中，整式的运算法则是基础． （1）根据规律可得，其结果都等于十位数与十位数加1乘积的100倍再加上个位数的乘积，即可求解； （2）根据总结的规律即可写出； （3）把两个因数表示出，再把两数相乘即可表示． 【详解】（1）解： 根据规律可得，其结果都等于十位数与十位数加1乘积的100倍再加上个位数的乘积， 故， 故答案为：9021； （2）解：写出一个与上述算式具有同样特征的算式为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：为了反映上述规律，如果设其中一个因数十位上的数字为，个位数字为，那么该因数可表示为，另一个因数可表示为，则，故计算结果可表示为， 故答案为：，，． 32．（25-26七年级上·河南南阳·期中）经过研究人们发现：从2开始连续的偶数相加，可以得到如下表的结果： 加数的个数n 连续偶数的和（记为S） 1 2 3 4 5 (1)如果，那么S的值为_______； (2)根据表中的规律猜想：用含的代数式表示S的公式为_______； (3)运用上面的规律计算： ①； ②； ③． 【答案】(1)56 (2) (3)① 7550；②；  ③ 【分析】此题考查了规律型：数字的变化，此题注意根据所给的具体式子观察结果和数据的个数之间的关系． （1）根据表中的规律发现：第n个式子的和是，把代入求得数值即可； （2）根据特殊的式子即可发现规律； （3）结合上述规律，①只需用再减去即可计算； ②可化为减去，再利用规律计算即可； ③可化为，再利用规律计算即可． 【详解】（1）解：第n个式子的和是， 则当时，； 故答案为：56； （2）解：根据特殊的式子即可发现规律， ； 故答案为：； （3）解：① ； ② ， ， ； ③ ． 【经典例题五 有理数四则混合运算的实际应用】 33．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克? 【答案】这批苹果一共有500千克 【分析】先计算出这些苹果的原利润及降价后的利润，进而可得总售价、成本价，然后计算重量即可． 【详解】解：原来需要这些苹果获利（元）， 降价后需要这些苹果获利（元）， 价格降低，少获利（元）， 则这些苹果总售价为（元）， 成本为（元）， 这批苹果一共有（千克）， 答：这批苹果一共有500千克． 34．（2026七年级上·四川泸州·模拟预测）某班50人在一次考试后进行成绩统计：每人以80分为准，超过的分数记作正数，不足的分数记为负数（记录如下）．问全班总分是多少？全班平均分是多少分？ 记录的分数 人数 15 14 6 1 12 2 【答案】全班总分是3976分，全班平均分是79.52分． 【详解】解：， （分）， （分）， 答：全班总分是3976分，全班平均分是79.52分． 35．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 【答案】(1)王先生最后能回到出发点1楼 (2)王先生乘坐电梯期间共用时14分钟 【详解】（1）解： ， 计算结果为，表示王先生相对于出发点没有楼层变化，因此最后回到出发点1楼， 所以王先生最后能回到出发点1楼． （2）解：（秒）． （分钟）． 答：王先生乘坐电梯期间共用时14分钟． 36．（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【答案】(1) 解：达到了 理由如下： （千克）． 因为，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量． (2)元 【分析】（1）计算，与０比较，求解即可； （2）根据总收益＝周销售量乘以每千克的净利润，求解即可； 【详解】（1）略； （2）解：小明本周销售量为：（千克） 本周总收益为：（元） 答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共元． 37．（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 【答案】(1)最重的瓜比最轻的瓜重斤 (2)该班采购的个哈密瓜的总重量为斤 (3)按原价购买这个瓜需付元，此次购买省了元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）用最重的减去最轻的即可； （2）实际总重量等于10个瓜的标准质量加上10个瓜与标准质量的差的总和； （3）用总重量乘以单价可得原总价，再计算活动时的总价，两者相比较即可求出省了多少元． 【详解】（1）解：（1） 答：最重的瓜比最轻的瓜重0.85斤； （2）解： 答：该班采购的10个哈密瓜的总重量为斤； （3）活动前总价： 活动时总价： 此次购买省了： 答：按原价购买这10个瓜需付元，此次购买省了元． 38．（25-26七年级上·河北邢台·期末）为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)求这辆新能源汽车这7天行驶的总路程； (3)该汽车行驶完这7天后，求行车电脑上显示的剩余电量的百分比． 【答案】(1)，； (2)这辆新能源汽车这7天行驶的总路程为； (3)行车电脑上显示的剩余电量的百分比为． 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，解题关键是准确计算． （1）根据第三天行驶了，第六天行驶了列式求解即可； （2）根据表格中的数据列式求解即可； （3）用350减去7天行驶总路程，然后除以350即可求解． 【详解】（1）解：∵该汽车第三天行驶了，第六天行驶了 ∴，， ∴“■”处的数为，“●”处的数为； （2）解：， 答：这辆新能源汽车这7天行驶的总路程为； （3）解： ∴行车电脑上显示的剩余电量的百分比为． 39．（25-26七年级上·广东佛山·期末）某超市零食区同一排货架上放有薯片、巧克力、饼干、果冻等零食，其中薯片位于货架正中间左侧4米处，巧克力在薯片右侧7米处，饼干的位置到货架正中间的距离与巧克力到货架正中间的距离相等，且饼干在货架左侧．小明去超市买东西，他发现如果将这排货架按“左负右正”标注位置（单位：米），货架正中间作为原点，那么这些零食的位置就可以在数轴上表示出来．若薯片、巧克力、饼干、果冻分别用点，，，表示，请回答下列问题： (1)请你帮小明画出数轴，并在数轴上分别标出，，的位置及其对应的数； (2)如果果冻与饼干距离4米，那么果冻与巧克力距离多少米？ (3)如果小明从原点出发，先后拿了饼干、薯片、巧克力，且他每走2米需要3秒，他完成取货全程步行共需要多少时间? 【答案】(1) 数轴如下： 点对应，点对应，点对应 (2)2或10 (3)他完成取货全程步行共耗时秒 【分析】本题考查了数轴： （1）确定零食位置对应的数，在数轴上标出； （2）分果冻在饼干左右两侧两种情况讨论，分别计算与巧克力的距离； （3）计算小明取货的总路程，再根据速度求时间． 【详解】（1）略 （2）解：果冻与饼干距离4米， 当果冻（点）在饼干（点）的左侧，且与饼干距离4米时， 则点表示的数为， 果冻与巧克力（点）的距离为（米） 当果冻（点）在饼干（点）的右侧，且与饼干距离4米时， 则点表示的数为， 果冻与巧克力（点）的距离为（米） 故答案为：2或10． （3）解：小明从原点到饼干（点）走了3米，从饼干（点）到薯片（点）走了1米， 从薯片（点）到巧克力（点）走了米， ， 则他完成取货全程步行共耗时秒． 40．（25-26七年级上·广西防城港·阶段检测）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员一星期的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，少于50单的部分记为“”，下表是该外卖员一星期的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)该外卖员这一星期送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ (2)该外卖员这一星期一共送餐多少单？ (3)若每送一单能获得元的酬劳，请计算外卖员这一星期的收入． 【答案】(1)22单 (2)370单 (3)1554元 【分析】本题考查有理数减法和有理数混合运算的实际应用，理解题意，正确列出算式是解题关键． （1）分别找出送餐最多和最少的一天，再利用减法计算即可； （2）用每天50单的标准总和，加上每天的出入量即可得出这一周的总单数； （3）根据（2）总单数乘以每单酬劳即可． 【详解】（1）解：由题意得，单， 答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多22单； （2）解：由题意得， 单， 答：该外卖员这一星期一共送餐370单； （3）解：由题意得，元， 答：外卖小哥这一周的收入为1554元． 【经典例题六 近似数、科学记数法实际综合应用】 41．（25-26七年级上·河南周口·期中）据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于亩森林木材的造纸量．某市今年大约有名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，那么至少可使多少亩森林免遭砍伐？ 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法、有理数乘法运算等知识点，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键． 先根据毕业生人数和人均废纸量计算废纸总重量，然后将单位换算为吨；最后根据题干“至少”的要求，即乘以系数，从而计算出可使森林免遭砍伐的最小亩数，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：所有毕业生共有废纸：（吨）， （亩）． 答：至少可使森林免遭砍伐亩． 42．（26-27七年级上·全国·课后作业）中国以占世界不到的耕地，养活了占世界多的人口．其中“杂交水稻之父”袁隆平立下了汗马功劳，他一路攻坚克难，水稻亩产量从最初的300千克左右提高到500千克、700千克、800千克如今的最高纪录约是1600千克，与最初相比，如今的最高纪录提高了百分之几？（百分号前保留两位小数） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，百分数，近似数和有效数字，根据题意，水稻亩产量从最初的300公斤到如今的最高纪录是1600公斤，提高了（公斤），然后用最初的产量最后的产量即可得到提高率，解答此题的关键明白：提高率提高的数量原来的数量． 【详解】解： ， 答：如今的最高纪录整整提高了． 43．（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 【答案】(1)假设所在地区人口300万，一年需砍棵这样的大树 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树 (2)解：我们应减少一次性筷子的使用，保护森林资源，践行绿色生活（答案不唯一）． 【分析】（1）城市人口数乘以一年的天数分别除以和即可得到一年大约需要多少棵树，科学记数法的形式：，且n为整数； （2）从减少一次性筷子这方面提建议． 【详解】（1）解：假设所在地区人口约为万，一年按天计算， ， ， 所在地区一年需砍棵这样的大树； ， ， 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树． （2）略 44．（24-25七年级上·甘肃庆阳·阶段检测）某粮店有10袋玉米准备出售，称得质量如下（单位：千克）： 182，178，177，，183，184，181，185，，180． (1)若以180作为基准数，用正、负数表示这10袋玉米的质量与它的差； (2)试计算这10袋玉米的总质量是多少千克 (3)若每千克玉米的售价为元，则这10袋玉米能卖多少元（精确到1元）？ 【答案】(1)，，，，，，，，， (2)这10袋玉米的总质量是1811千克 (3)这10袋玉米能卖2898元 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，有理数乘法的实际应用，正负数的实际应用，有理数减法的实际应用： （1）把180千克作为基准数，计算出这10袋玉米的质量与180千克的差值即可； （2）把（1）中求得的数据相加，再加上10袋标准重量的玉米质量即可得到答案； （3）把（2）中求得的数据乘以，精确到1元即可得到答案． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， ∴这10袋玉米的质量分别为：，，，，，，，，，； （2）解：（千克）， ∴这10袋玉米的总质量是1811千克； （3）解：元， ∴这10袋玉米能卖2898元． 45．（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，科学记数法等知识．注意对于绝对值大于10的数，可以用科学记数法表示为形式，其中，，n为整数位数减1﹒ （1）先把14亿化为，再根据题意列式计算，最后用科学记数法表示即可求解； （2）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：14亿， （千克）． 答：一年大约能节约大米千克． （2）解：（元）． 答：可卖得人民币元． 46．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)克 (2)千克 (3)元 【分析】本题主要考查了用有理数的混合运算，科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． （1）用500粒大米的总重量除以500 ，即可求解； （2）根据题意，列出算式求解即可； （3）根据题意，列出算式求解即可． 【详解】（1）解：（克）， 答：粒大米重约克； （2）解：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：卖得人民币元． 47．（25-26六年级上·山东威海·期中）商人吴某于上周日买进某农产品10000斤，每斤2.2元．下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日的批发价格为每斤2.5元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） (1)星期四该农产品价格为每斤多少元？ (2)本周内该农产品的最高价格为每斤多少元？最低价格为每斤多少元？ (3)吴某在本周的买卖中共赚了约多少钱？（精确到百位） 【答案】(1)星期四价格为：元； (2)本周内该农产品的最高价格为每斤元，最低价格为每斤元 (3)吴某在本周的买卖中共赚了约元． 【分析】本题考查了正负数，有理数的混合运算应用，科学记数法，解题的关键是理解题意和掌握有理数的运算法则． （1）分别计算每一天的单价即可求解； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）根据销售额成本收益，即可进行计算； 【详解】（1）解： 星期一的价格为：元， 星期二的价格为：元， 星期三的价格为：元， 星期四价格为：元； 星期五的价格为：元， ∴星期四价格为：元； （2）解：由（1）得： 本周内该农产品的最高价格为每斤元，最低价格为每斤元 （3）解：解： ， ， ， 答：吴某在本周的买卖中共赚了约元． 48．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）： ，，，，， (1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？ (2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油升，当天从出发到收工共耗油多少升？若汽油价格为元升，该检修小组该天的油费是 元． (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电度，且使用充电桩充电的价格是每度电元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）． 【答案】(1)收工时在A地东边处； (2)当天从出发到收工共耗油6升， (3) 【分析】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数四则运算的实际应用． （1）把所有的行驶记录相加，然后根据正负数的意义解答； （2）用所有行驶记录的绝对值的和乘以，可得耗油量，再乘以单价可得费用； （3）由行驶耗电度，再乘以单价可得新能源汽车的费用，再利用油车的费用减去新能源汽车的费用可得答案． 【详解】（1）解： ， 答：收工时在A地东边处； （2）解： ， （升）． ∴（元）， 答：当天从出发到收工共耗油6升，该检修小组该天的油费是元； （3）解：∵该新能源汽车每行驶耗电10度， ∴行驶耗电（度）， ∴该汽车该天的耗电费用约为（元）， ∴比使用燃油汽车省（元）． 学科网（北京）股份有限公司 $