25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 几何图形问题 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦用一元二次方程解决几何图形面积问题，通过矩形截小正方形的情景导入，衔接已学方程解法，搭建从具体图形到抽象模型的学习支架，引导学生发现面积等量关系。 资料亮点在于融合数学核心素养，以矩形耕地修道路等例题，引导学生用数学眼光观察图形，通过整体平移法体现数学思维，建立方程模型表达问题。助力学生提升几何直观与建模能力，为教师提供清晰教学流程和分层训练素材。

25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　几何图形问题 教学目标 1.会根据具体问题，找到面积问题中的等量关系，列出一元二次方程并求解. 2.根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题. 3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，进一步体会数学中的建模思想. 重点难点 重点：列一元二次方程解有关面积的应用题. 难点：在实际问题中找到等量关系，根据实际意义检验结果是否符合题意. 教学过程 情景导入 如图，在长为10cm、宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％.你能求出所截去小正方形的边长吗？ 新知探究 探究点　利用一元二次方程解决图形面积问题 类型一　利用面积构造一元二次方程模型 【例1】如图，有一块矩形空地ABCD，其中AB＝20m，BC＝15m，空地外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246m2，求小路的宽度. 【解析】设小路的宽度是xm，那么加上小路后的矩形的长为（20＋2x）m，宽为（15＋2x）m，以面积作为等量关系可列方程求解. 【解】设小路的宽度是xm. 依题意，得（20＋2x）（15＋2x）＝246＋20×15， 整理得2x2＋35x－123＝0， 解得x1＝3，x2＝－20.5（舍去）. 答：小路的宽度是3m. 【方法总结】要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积.解题的关键是找出等量关系，列出符合题意的方程，再求解即可. 类型二　整体法构造一元二次方程模型 【例2】如图所示的是宽为20m、长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地.要使试验地的面积为570m2，则道路宽多少米？ 【解析】解法一：由图①得出试验地的面积＝矩形耕地的面积－三条道路的面积＋道路重叠部分的两个小正方形的面积，设道路宽xm，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的x的值舍去即可.解法二：设道路宽xm，从图②可看出剩下的耕地面积可平移成矩形，且能表示出长和宽，从而根据相等关系（试验地的面积＝试验地的长×宽）列出方程. 【解】解法一：设道路宽xm. 由题意，得20×32－2×20x－32x＋2x2＝570， 整理得x2－36x＋35＝0， 解得x1＝1，x2＝35. ∵x2＝35＞32，不合题意，舍去， ∴x＝1. 答：道路宽1m. 解法二：设道路宽xm. 由题意，得（32－2x）（20－x）＝570， 即x2－36x＋35＝0， 解得x1＝1，x2＝35. ∵x2＝35＞32，不合题意，舍去， ∴x＝1. 答：道路宽1m. 【方法总结】整体面积＝各部分面积之和；剩余面积＝原面积－截去的面积.解决不规则图形面积的思路：将不规则图形分割或组合成规则图形，再找出各部分面积之间的关系，运用规则图形的面积公式列方程.在解决类似问题时，灵活运用“平移变换”利于对分离的图形的面积进行“整体表示”，使问题简化. 课堂训练 1.如图，用28m长的木板靠墙（墙足够长）建一个面积为100m2的矩形仓库，并在与墙平行的一边开一道宽1m的门.设仓库的宽为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A.x（28－2x）＝100 B.x（28－2x＋1）＝100 C.x（28－x）＝100 D.x（28－x＋1）＝100 2.学校为了美化校园环境，计划在一块长16m、宽10m的矩形空地上，修建一个矩形花坛，要求在花坛中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（如图），剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为126m2，那么小道进出口的宽度应为多少米（注：所有小道进出口的宽度相等，且横向弯折的每段小道均为平行四边形）？ 　　3.小淇准备利用38m长的篱笆，在屋外的空地上围成三个相连且面积相等的矩形花园（CF＝BF），围成的花园的形状是如图所示的矩形CDEF、矩形AEHG和矩形BFHG.若整个矩形花园ABCD（AB＞BC）的面积是30m2，求HG的长. 板书设计 第1课时　几何图形问题 1.图形面积问题. 2.整体法的应用. 本节课我们学习了列一元二次方程解决几何图形面积问题，进一步体会数学中的建模思想. 教学反思 　　通过本节课的学习，学生知道与几何图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积之间的等量关系列出方程并求解.对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好. 答案 课堂训练 1.B 2.解：设小道进出口的宽度应为xm.由平行四边形的面积＝底×高可将两个平行四边形的面积转化为矩形的面积，将图中小道移到边上可得出剩余部分是长为（16－2x）m、宽为（10－x）m的矩形. 依题意，得（16－2x）（10－x）＝126， 整理，得x2－18x＋17＝0， 解得x1＝1，x2＝17（不合题意，舍去）. 答：小道进出口的宽度应为1m. 3.解：设HG的长为xm，则BC的长为xm，AB的长为m. 由题意得x·＝30， 解得x1＝2，x2＝7.5. ∵AB＞BC，∴x2＝7.5不合题意，舍去. 答：HG的长为2m. 学科网（北京）股份有限公司 $