4.1函数课件2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕函数概念、自变量取值范围、函数值及三种表示方法展开，通过摩天轮高度与时间、物体堆放层数与总数、热力学温度与摄氏温度三个现实情境探究，引导学生填表分析变量关系，为抽象函数概念搭建学习支架。 其亮点在于以情境化探究培养数学眼光，如摩天轮图象让学生直观感受变量对应发展几何直观，通过问题链引导数学思维，如物体堆放问题推理唯一对应关系培养推理意识，多表示法对比强化数学语言，如关系式法体现模型意识。归纳总结与例题辨析帮助学生构建知识体系，学生能发展抽象能力和应用意识，教师可提升教学效率。

4.1 函数 重点 1.理解函数的相关概念，并能判断两个变量间的关系是不是函数关系. 2.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会根据自变量的值确定与之对应的函数值. 3.掌握函数的三种表示方法. 点击播放视频 当坐在摩天轮上时，随着时间的变化，离地面的高度也在不断变化.摩天轮上某一点离地面的高度 h(单位：m)与旋转时间 t(单位：min)之间存在着一种关系. 探 究1 下图反映了一个摩天轮上某一点的高度 h (单位：m) 与旋转时间 t (单位：min) 之间的关系. (1) 根据右图填表: t / min 0 1 2 3 4 5 … h / m … 3 14 36 47 36 14 (2) 对于给定的时间 t，相应的高度 h 确定吗？ 确定，对于给定的时间 t，相应的高度h随之确定 . 探 究2 圆柱形物体常常像下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ (1) 请填写下表： 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y … 1 3 6 10 15 (2) 随着层数的增加，物体的总数如何变化？ 随着层数的增加，物体总数也在不断增加. (3)给定任一层数 n，你能确定相应的物体总数 y吗？有几个 y 值和它对应？ 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y 1 3 6 10 15 … 能确定，且只有唯一一个 y 值和它对应！ 探 究3 一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到－273.15℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把－273.15℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (单位：K) 与摄氏温度 t (单位：℃) 之间有如下数量关系： T ＝ t ＋ 273.15，T ≥ 0. (1) 随着摄氏温度的增加，热力学温度如何变化? 随着摄氏温度的增加，热力学温度也在不断升高 (2) 给定一个大于－273.15℃ 的 t 值，你都能求出相应的 T 值吗？ 能确定，并且有唯一一个 T 值和它对应 思考·交流 上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点? ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T. 相同点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 不同点：变量之间关系的表示方式不同. 注意：1.函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系； 2.一个自变量x的值只能对应唯一一个y值，但一个确定的y值可以对应多个不同的x值. 归纳总结 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 例1 下列关系式中，表示 y 是 x 的函数关系的是_________. ① y ＝ 2x ＋ 3； ② y ＝ x2 ＋ 3； ③ y ＝ 2|x|； ④ ； ⑤ y2－ 3x ＝ 10. 点拨：函数需满足的两个关键点：①有两个变量；②对于变量 x 的每个值，都有唯一的变量 y 值与其对应. 一个 x 值，有两个 y 值与它对应 ①②③ 探 究3 一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到－273.15℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把－273.15℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (单位：K) 与摄氏温度 t (单位：℃) 之间有如下数量关系： T ＝ t ＋ 273.15，T ≥ 0. (3) 当t分别为－43℃，－27℃，0℃，18℃时，相应的热力学温度T是多少? 解：当 t＝－43 ℃ 时，T＝－43＋273.15＝230.15 (K)； 当 t＝－27 ℃ 时，T＝－27＋273.15＝246 .15(K)； 当 t＝0 ℃ 时，T＝0＋273.15＝273.15 (K)； 当 t＝18 ℃ 时，T＝18＋273.15＝291.15 (K). 归纳总结 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 即：如果y是x的函数，当x＝a时，y＝b，那么b叫做当 x＝a时的函数值. 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系，而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值. 尝试·思考 (1)以上三个探究问题中，都用到了什么方法来表示函数呢? 1. 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y 1 3 6 10 15 … 2. 3. T ＝ t ＋ 273.15，T ≥ 0 图象法 列表法 关系式法 尝试·思考 (2)三种表示函数的方法，有什么特点呢？ T ＝ t ＋ 273.15，T ≥ 0 (1)图象的方式更能呈现自变量和函数之间的变化关系； (2)表格能清晰地显示变量间的数量关系； (3)关系式能够准确而简洁地阐述函数的计算方法和变化规律. 尝试·思考 (3)上述的三个问题中，自变量能取哪些值？ 自变量的取值范围：t ≥ 0 探究1 摩天轮 探究2 物体堆放 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y 1 3 6 10 15 … 自变量的取值范围：n 取正整数 尝试·思考 (3)上述的三个问题中，自变量能取哪些值？ 探究3 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到－273.15℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把－273.15℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (K) 与摄氏温度 t (℃) 之间有如下数量关系： T ＝ t ＋ 273.15，T ≥ 0. 自变量的取值范围：t ≥－273.15. 例2 请求出下列函数中自变量的取值范围. (1) y ＝ 2x ＋ 3 (2) (3) (4) (5)y＝x－2 x 为任意实数. 分母不为0，所以x＋1≠0，所以x ≠－1. 根号里面大于等于0，所以2x－1≥0，所以x ≥ . 根号里面大于等于0，分母不为0，所以x＋1 >0，即x >－1. 使底数不为0；所以 x≠0. 类型 特点 举例 自变量取值范围 整式型 等式右边是关于自变量的整式 y＝2x＋3 分式型 等式右边是关于自变量的分式 根式型 等号右边是二次根式 零次幂(或负整数次幂) 等号右边是关于自变量的零次幂或负整次幂 y＝x0 y＝x－2 复合型 包含以上情况中至少两种 归纳总结 常见函数表达式中自变量取值范围的确定 全体实数 使分母不为0的实数 使底数不为0的实数 根号下大于等于0，分母不为0 使根号下式子的值大于或等于0的实数 确定函数自变量的取值范围应从两个方面考虑： (1)要使函数关系式有意义； (2)对于实际问题中函数关系，还应使实际问题有意义. 归纳总结 1.如图所示的图象中,表示y是x的函数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 2.(2025云南)函数 的自变量x的取值范围为 ( ) A. x ≠4 B. x ≠3 C. x ≠2 D. x ≠1 D 3.按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ） A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1 D 4.(跨生物学科)蛇的体温随外部环境温度的变化而变化.一条蛇在两昼夜之间的体温变化情况如图所示. (1)第一天，蛇体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？ 解:由题中图象知,第一天即横坐标在0到24 之间,在此范围内图象的最高点坐标是(16,40),最低点坐标是(4,35),故蛇体温的变化范围是 35~40 ℃,它的体温从最低上升到最高需要 16－4＝12(h). (3)y是x的函数吗？ (2)若用x表示时间(单位：h)，y表示蛇的体温(单位：℃)，将相应数据填入下表： x/h 4 12 20 28 32 40 48 y/℃ 35 39 39 35 37 40 36 解：y是x的函数. 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 概念 函数 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值. 函数表示方式 图象法、列表法、关系式法. 函数值 $