3.3幂函数教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦幂函数的概念及y=x、y=x²等五个基本幂函数的图象与性质，通过买菜、面积计算等五个实例导入，衔接函数概念及单调性等知识，为指数、对数函数学习提供“定义域→图象→性质”的研究路径支架。 此资料以实例生成概念培养数学眼光，通过学生动手画图归纳性质发展数学思维，例题中分子有理化教学强化运算能力，分层设计满足不同学生需求。帮助学生夯实函数研究方法，助力教师精准突破重难点，提升课堂效率。

3.3　幂函数 教案 人教A版必修第一册　第三章　教材第 89—91 页　课时：1 课时（45 分钟） 一、教材分析 本节是人教A版必修第一册第三章 3.3 节，教材第 89—91 页，安排 1 个课时。教材开头就交代了本节的定位：前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质，本节我们利用这些知识研究一类新的函数。所以这一节有两条线，一条是内容线——认识幂函数的概念，掌握 y＝x、y＝x²、y＝x³、y＝、y＝ 这五个具体函数的图象与性质；另一条是方法线——走一遍"先求定义域、画出图象，再利用图象和解析式讨论值域、单调性、奇偶性"的研究路径，这条路径第四章研究指数函数、对数函数时还要照搬。 教材的展开很紧凑：五个实例（买菜、正方形面积、立方体体积、正方形边长、平均速度）→ 观察共同特征 → 幂函数定义 → 思考"应该如何研究" → 同一坐标系画五个图象 → 填表 3.3－1 → 归纳四条结论 → 例题（用定义证明 是增函数）→ 练习三题。要教好的关键点有三个：判断幂函数的三个条件（底数是 x、系数为 1、只有一项），"都过 (1，1) 但不一定过 (0，0)"，以及例题里的分子有理化——这是 3.2 第一课时"变形"那一步没练过的新招式。 二、学情分析 学生初中学过正比例函数、反比例函数、二次函数，会画这三类图象；3.1、3.2 刚学完函数的概念与三个基本性质，会用定义证明单调性、判断奇偶性。起点是够的。困难有四处。第一，对"系数必须为 1"没有感觉，见到 y＝2x⁵、y＝(2x)³ 都会当成幂函数。第二，把"都过 (1，1)"记成"都过 (0，0)"，或者把"不过第四象限"说成"不过第二、四象限"——y＝x² 就在第二象限。第三，把"图象关于原点对称"直接当成"是增函数"，忘了 y＝ 这个反例。第四，例题的分子有理化想不到，作差写到 － 就卡住。对策：第一处在概念给出后立刻用一组四选一当场辨；第二、三处靠画图，五个函数必须让学生自己画在同一坐标系里，画完再看结论；第四处教师板演，把"乘共轭式"这个动作单独讲一遍。优生班加做偶函数型的幂函数不等式；普通班只做 x³ 型的直接脱 f。 三、教学目标 1．通过五个实例，能说出幂函数的定义，并会用"底数是 x、系数为 1、只有一项"三条判断一个函数是不是幂函数。 2．能在同一坐标系中画出五个基本幂函数的图象，填出定义域、值域、奇偶性、单调性表。 3．能说出四条共同特征，特别是"都过 (1，1)"与"都不过第四象限"，并能举反例说明"都过 (0，0)""都不过第二象限"是错的。 4．会用待定系数法由一个点求幂函数的解析式；会用幂函数的单调性比较大小。 5．能用定义（分子有理化）证明 f(x)＝ 是增函数。 四、教学重难点 重点：幂函数的概念与判断；五个基本幂函数的图象与性质。 难点：由图象归纳共同特征时对"过 (1，1) 不一定过 (0，0)""不过第四象限"的准确表述；例题中差式的分子有理化。 五、教学方法与教具准备 实例归纳出概念，动手画图得到性质，例题师生共做。教具：课件 28 页（其中 13 页带答案浮入动画），学案（附参考答案）人手一份，课时作业分 A、B 两组。学生每人准备一张坐标纸或在学案上的坐标系里画图。板书主张：黑板中间画一个大坐标系，五个函数的图象由教师随学生进度逐条添上，整节课不擦；右侧写研究路径"定义域 → 图象 → 值域、单调性、奇偶性"；例题的有理化过程在黑板上一步步写，不用课件代替。 六、教学过程 环节一　五个实例与概念的生成（约 10 分钟） 问题1　看教材第 89 页的五个实例，把每一个的函数解析式写出来。 师生活动：学生独立写 2 分钟，教师板书汇总：p＝w，S＝a²，V＝b³，c＝，v＝。教师提醒第四个可以写成 ，第五个 可以写成 。 问题2　这五个解析式有什么共同特征？ 师生活动：小组讨论 1 分钟，指名回答。教师引导从三个角度看：都是幂的形式；自变量在什么位置；指数是什么。 明确：（板书）都具有幂的形式；都以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是 1，2，3，，－1。它们都是形如 y＝ 的函数。 讲授并板书（教材第 89 页定义）：一般地，函数 y＝ 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数。 问题3　下列函数中哪个是幂函数？A．y＝(2x)²　B．y＝　C．y＝－　D．y＝2ˣ 师生活动：全班举手表决，再逐项说理由。 明确：选 B。A 化简为 4x²，系数不是 1；C 的系数是 －1；D 的自变量在指数位置，是下一章的指数函数。判断三看——底数是不是 x 本身、系数是不是 1、是不是只有一项。（板书三条，标★） 预设：会有学生认为 y＝(2x)² 是幂函数，因为"长得像"。让他把括号展开，8 个字：展开看系数。 说明：教材声明只研究 α＝1，2，3，，－1 这五种情形。指数取其他实数时幂也有各自的含义，后面学习。 环节二　研究路径与画图（约 12 分钟） 问题4　结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这五个函数？ 师生活动：指名两生说，教师归纳。 明确：（板书在黑板右侧，整节课不擦）先根据解析式求定义域，画出图象；再利用图象和解析式讨论值域、单调性、奇偶性。这条路子后面研究指数函数、对数函数还要用。 问题5　在同一坐标系中画出这五个函数的图象。 师生活动：学生在学案的坐标系里画，限时 6 分钟，教师巡视。教师在黑板的大坐标系上同步画，画完一条问一句定义域。 预设：三处集中错误。一是 y＝ 画到了 y 轴左边——它的定义域是 [0，＋∞)；二是 y＝ 画成连通的一条线——在原点处断开，第一、三象限各一支；三是 y＝x³ 在原点附近画得太"直"，要提醒它在原点两侧较平缓。 问题6　对照图象与解析式，把表 3.3－1 填完整。 师生活动：学生填学案上的表，限时 4 分钟，然后逐列口答核对。 明确：y＝x：R，R，奇，增；y＝x²：R，[0，＋∞)，偶，[0，＋∞) 增、(－∞，0] 减；y＝x³：R，R，奇，增；y＝：[0，＋∞)，[0，＋∞)，非奇非偶，增；y＝：{x｜x0}，{y｜y0}，奇，(0，＋∞) 减、(－∞，0) 减。 预设：两处要盯。一是 y＝ 的奇偶性，多数人会答"奇"或"偶"，其实定义域不关于原点对称，非奇非偶；二是 y＝ 的单调性，一定有人写成"在定义域上是减函数"或用并集连接，这一条 3.2 第一课时讲过，要再纠一次。 环节三　归纳四条共同特征（约 6 分钟） 问题7　这些函数的图象有公共点吗？还能看出什么共同特征？ 师生活动：学生看自己画的图回答，教师在黑板的坐标系上把 (1，1) 圈出来。 明确：（板书教材第 90 页四条结论）（1）五个函数的图象都通过点 (1，1)；（2）y＝x，y＝x³，y＝ 是奇函数，y＝x² 是偶函数；（3）在区间 (0，＋∞) 上，y＝x，y＝x²，y＝x³，y＝ 单调递增，y＝ 单调递减；（4）在第一象限内，y＝ 的图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。 问题8　有同学说"幂函数的图象都过 (0，0)""幂函数的图象都不过第二、四象限"，对吗？ 师生活动：让学生自己在图上找反例。 明确：都错。y＝ 的图象不过原点（x＝0 无意义），所以"都过 (0，0)"不成立，都过的是 (1，1)；y＝x² 的图象在第二象限有一支，所以"不过第二象限"不成立。正确的说法是：幂函数的图象都不经过第四象限（x＞0 时函数值恒为正）。（板书标★） 追问："图象关于原点对称的幂函数一定是增函数"，对吗？ 明确：不对。y＝ 是奇函数，图象关于原点对称，但它在 (0，＋∞) 上是减函数。 环节四　教材例题与练习（约 12 分钟） 例（教材第 90 页）　证明幂函数 f(x)＝ 是增函数。 师生活动：教师先让学生按 3.2 的五步起笔，写到作差处停下来，投屏展示"f(x₁)－f(x₂)＝－"，问："这个差的符号看得出来吗？"学生答看不出。教师再问："3.2 里变形有哪些招式？"学生答通分、提公因式。教师："今天补第三招——分子有理化。" 证明：函数的定义域是 [0，＋∞)。 　　∀x₁，x₂[0，＋∞)，且 x₁＜x₂，有 　　f(x₁)－f(x₂)＝－＝＝。 　　因为 x₁－x₂＜0，＋＞0， 　　所以 f(x₁)＜f(x₂)，即幂函数 f(x)＝ 是增函数。 明确：（板书）作差变形的三招——通分、提公因式、分子有理化。带根号的差，一律先乘共轭式。 预设：有学生问 ＋ 会不会等于 0。回答：只有 x₁＝x₂＝0 时才为 0，而题设 x₁＜x₂，两个不能同时为 0，所以分母恒为正。 练习1（教材第 91 页）　已知幂函数 y＝f(x) 的图象过点 (2，)，求这个函数的解析式。 师生活动：学生独立完成，一生板演。 明确：设 f(x)＝（幂函数的系数就是 1，不设 k），由 ＝＝，得 α＝，所以 f(x)＝。 练习2　比较大小：（1）(－1.5)³ 与 (－1.4)³；（2） 与 。 明确：（1）y＝x³ 在 R 上递增，－1.5＜－1.4，所以 (－1.5)³＜(－1.4)³。（2）这两个数是 y＝ 在 －1.5 与 －1.4 处的函数值，该函数在 (－∞，0) 上递减，所以 ＞。 预设：第（2）问会有学生直接用"递减"却没注意两个自变量都在同一段上。要强调：用单调性之前，先确认两个自变量落在同一个单调区间内。 ★拔高探究（优生班）　已知幂函数 f(x)＝(a²－a－1) 是偶函数，解不等式 f(x＋1)＞f(2x－1)。 师生活动：教师引导两步：先由"是幂函数"得 a²－a－1＝1，解出 a＝－1 或 a＝2；再由"偶函数"筛掉 a＝－1（那时 f(x)＝ 是奇函数），得 f(x)＝x²。然后用 3.2 第四课时的套绝对值：｜x＋1｜＞｜2x－1｜，平方整理得 x²－2x＜0，解集为 (0，2)。 （普通班替代）：改做"若 f(x)＝x³ 且 f(a＋2)＜f(2a)，求 a 的取值范围"，直接用 R 上递增脱 f，得 a＞2。 环节五　当堂检测（约 4 分钟） 师生活动：完成学案"当堂检测"4 题，限时 4 分钟，独立完成，之后逐题订正。 检测1　下列函数中属于幂函数的是（　）A．y＝(2x)²　B．y＝　C．y＝－　D．y＝2ˣ 检测2　已知幂函数 y＝f(x) 的图象经过点 (4，)，则 f(2)＝（　）A．　B．2　C．　D． 检测3　y＝ 的单调区间是＿＿＿＿＿。 检测4　判断正误：（1）幂函数的图象必过 (0，0) 和 (1，1)；（2）幂函数的图象都不过第二、四象限。 明确：1．B；2．A；3．(0，＋∞) 和 (－∞，0)，两段不能合并；4．（1）错误（y＝ 不过原点），（2）错误（y＝x² 过第二象限）。 环节六　课堂小结与作业布置（约 1 分钟） 归纳：（对照板书）今天三件事：幂函数的概念与三个判断条件；五个基本幂函数的图象与性质表；四条共同特征——都过 (1，1)、都不过第四象限、(0，＋∞) 上只有 递减、 的图象与两坐标轴无限接近。研究路径是定义域 → 图象 → 值域、单调性、奇偶性。 布置：课时作业 A 组 8 题全体必做；B 组 3 题优生班必做、普通班选做。含参题必须先用"是幂函数"把系数配成 1，再用其他条件筛选。预习教材第 92 页的"文献阅读与数学写作"（探究 y＝x＋ 的图象与性质），下节课 3.4 函数的应用（一）。 七、板书设计 3.3　幂函数 一、定义　y＝（x 自变量，α 常数）│　（中间：五个函数的大坐标系，圈出 (1，1)） ★三看：底数是 x／系数为 1／只有一项　　　　│ 二、四条特征　　　　　　　　　　　　　　　　│　三、研究路径 　1 都过 (1，1)（不一定过 (0，0)）　　　　　│　　定义域 → 图象 → 　2 x、x³、x⁻¹ 奇，x² 偶　　　　　　　　　　│　　值域、单调性、奇偶性 　3 (0，＋∞) 上只有 x⁻¹ 递减　　　　　　　　│ 　4 x⁻¹ 在第一象限与两轴无限接近　　　　　　│　四、作差三招 ★都不过第四象限（第二象限可能过：x²）　　　│　　通分／提公因式／分子有理化 八、附：课堂预设 1．把 y＝(2x)²、y＝2x⁵ 当成幂函数。——展开看系数。 2．y＝ 画到 y 轴左边。——先问定义域再落笔。 3．y＝ 画成连通的曲线。——原点处断开，两支分别在第一、三象限。 4．把 y＝ 的奇偶性答成奇或偶。——定义域 [0，＋∞) 不关于原点对称。 5．把 的两段减区间合并。——3.2 第一课时的老问题，再纠一次。 6．说"都过 (0，0)""不过第二、四象限"。——让学生自己在图上找反例。 7．例题作差后卡在 －。——提示乘共轭式，把根号搬到分母。 8．待定系数时设成 f(x)＝k。——幂函数的系数就是 1。 九、备教手记（课后填写） 课后核对四件事。第一，五个函数自己画对几条，画错最多的是哪一条，如果 和 错得多，下节课开头补两分钟。第二，当堂检测第 4 题两小题的正确率，这两句话是本节最容易记岔的表述。第三，例题的有理化，独立想到的有几个，没想到的是不知道乘共轭式还是不会算。第四，优生班的偶函数型不等式，第一步"系数配成 1"有没有人漏掉。另外记一下画图环节的实际用时，如果超过 12 分钟，环节四的练习 2 可以挪到作业里讲。 学科网（北京）股份有限公司 $