2.3 有理数的乘方讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方的意义（n个相同因数的积的运算）、幂的底数与指数、符号规律（负数奇次幂负、偶次幂正等）、混合运算顺序（先乘方再乘除后加减）及科学记数法（a×10^n，1≤a<10），搭建从有理数乘法到复杂运算的学习支架。 资料以“学练结合”为特色，知识梳理通过关键词提示强化抽象能力，课内探究对比(-2)^3与-2^3培养运算能力，巩固练习融入地球与太阳距离等实例发展应用意识。课中辅助教师突破符号规律等重难点，课后借助易错自查和自测建议帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

人教版数学七年级上册 · 第二章 有理数运算 · 2.3 有理数的乘方（学生用书·配套学案） 人教版 · 七年级数学 上册 · 2026—2027学年 2.3 有理数的乘方 学 生 用 书（配套学案） 配套教师讲义：《2.3 有理数的乘方 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册》 新授课 · 七年级 · 建议 2 课时 ▌ 一、学习目标 ✓ 理解乘方的意义，能指出幂的底数、指数，会读、会写 a^n。 ✓ 掌握幂的符号规律，会计算有理数的乘方，并能辨析 (−a)^n 与 −a^n。 ✓ 掌握含乘方的有理数混合运算顺序，初步会用科学记数法表示大数。 ▌ 二、知识梳理（请在横线上填空） 1. 求 n 个相同______的______的运算叫做乘方，它的结果叫做______。 2. 在 a^n 中，a 叫做______，n 叫做______，a^n 读作 a 的______或 a 的______； 读作 a 的______， 读作 a 的______。 3. 负数的奇次幂是______，负数的偶次幂是______；正数的任何正整数次幂都是______；0 的任何正整数次幂都是______。 4. 有理数混合运算顺序：先______，再______，最后______；同级运算从______到______；有括号先算______。 5. 用科学记数法表示大于 10 的数：写成______×10^n 的形式，其中 1≤______<10，n 为______整数。 提示：填空时圈出关键词：乘方看"相同因数连乘"；符号看"负数底 + 指数奇偶"；混合运算把"先乘方"放在第一位；科学记数法盯住 a 的范围 1≤a<10。 ▌ 三、课内探究（先想再填） 把 3×3×3×3 写成幂：______，底数是______，指数是______。 把 (−2)×(−2)×(−2) 写成幂：______，底数是______，指数是______。 观察并填： =______，=______，=______，=______。你发现的规律是：____________________________________。 比较 与 −：=______，−=______，它们______（相等 / 不等）。 计算 ×3 时，应先算______，再算______，结果是______。 易错自查：小组互查：重点看"括号有没有写对底数"—— 的底数是 −2，而 − 的底数是 2、负号在幂外。 ▌ 四、典型例题（先自己算，再对照末尾答案） 【例1】计算：； ； 。 思路提示：先看底数符号与指数奇偶定符号，再把绝对值相乘（或乘方）。 【例2】计算：×3； −×3； +。 思路提示：先乘方，后乘除、加减；×3 与 −×3 结果不同，注意括号。 【例3】用科学记数法表示：920 000 000； 6 400 000； 25 800。 思路提示：令 a 落在 [1,10)，n = 原数整数位数 − 1（或小数点左移的位数）。 【例4】用四舍五入法取近似数：0.0247（精确到 0.001）；3.14159（精确到 0.01）。 思路提示：看"精确位的下一位"，满 5 进 1，不足 5 舍去。 ▌ 五、巩固练习（独立完成，末尾自测） 请在下列每题下方的作答区写出过程与结果（本题为原创，与教师课堂例题不重复）。 题号 题目 1 计算：； ； ； 。 2 填空：若底数是 、指数是 2，这个幂写作______，结果是______。 3 填空：负数的______次幂是负数，______次幂是正数；0 的正整数次幂是______。 4 比较大小（写出过程）： 与 −； 与 −。 5 计算：×3； −×3； +。 6 用科学记数法表示：920 000 000； 6 400 000； 25 800。 7 探究：当 n 为正整数时，(−1)^n + (−1)^(n+1) 等于多少？举例说明。 8 地球与太阳的平均距离约为 149 600 000 km，用科学记数法表示为多少 km？（写出过程） 自测建议：对照末尾答案自测：算错的题，用红笔在题号旁标注错因（括号漏写 / 奇偶符号错 / 先乘方顺序错 / a的范围错）。 ▌ 六、课堂小结（填一填） 1. 乘方是求______个相同因数的______的运算。 2. 负数的奇次幂______，偶次幂______；正数的任何正整数次幂都______。 3. 混合运算顺序：先______，再______，最后______。 4. 科学记数法 a×10^n 中，1≤a<10，n 等于原数的______位数减 1。 ▌ 七、参考答案 典型例题 例题 参考答案 例1 25；−27； = 。 例2 12；−12；−7（=1，=−8，1+(−8)=−7）。 例3 9.2×；6.4×；2.58×。 例4 0.025（千分位，万分位7进1）；3.14（百分位，千分位1舍去）。 巩固练习 题号 参考答案 1 25；−27；；−1。 2 ；。 3 奇；偶；0。 4 =16，−=−16，故 > −；=9，−=−9，故 > −。 5 12；−12；1（=−8，=9，−8+9=1）。 6 9.2×；6.4×；2.58×。 7 0（相邻奇偶，一正一负抵消）。例：n=1 时 −1+1=0；n=2 时 1+(−1)=0。 8 149 600 000 = 1.496×（km）。 说明：乘方先定符号（负数底看指数奇偶）再算绝对值；混合运算先乘方、后乘除加减；科学记数法 a×10^n 且 1≤a<10。 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学七年级上册 · 第二章 有理数运算 · 2.3 有理数的乘方（教学详案） 2.3 有理数的乘方 —————————————————— 教 学 讲 义（教师用） 人教版（2024）· 七年级数学 · 上册 · 第二章 有理数运算 · 建议 2 课时 · 新授课 一、教学导航 教材分析　本节是有理数运算的收官与升华：从"相同因数的积"自然引入乘方，建立幂的概念（底数、指数、幂），归纳符号规律；进而学习含乘方的有理数混合运算顺序，并延伸出科学记数法与近似数。上承有理数乘除，下启整式及其加减、实数，是运算能力从"线性"走向"幂次"的关键一步。 学情分析　学生已掌握有理数乘除。主要困难有四：①幂的符号与括号位置混淆，典型如 与 −；②负数的奇偶次幂符号规律易记反；③含乘方的混合运算顺序（先乘方）常漏，与"先乘除后加减"混为一谈；④科学记数法中 a 的范围（1≤a<10）与指数 n 的确定易错。 教学目标　①理解乘方意义，能指出底数、指数、幂，会读会写；能按符号规律计算幂；掌握含乘方的有理数混合运算顺序；了解科学记数法与近似数。②经历"细胞分裂/折纸→n个相同因数积→乘方"的抽象过程，体会从特殊到一般、数形结合与转化思想。③养成"先定符号、再算值""先乘方、后乘除加减"的运算规范。 教学重点　乘方意义与幂的符号规律；含乘方的有理数混合运算顺序。 教学难点　(−a)^n 与 −a^n 的区别（括号改变底数）；负数奇偶次幂符号；科学记数法中 a 与 n 的确定。 教学策略　情境引入—操作抽象—归纳法则—错例辨析—混合运算—实际应用（科学记数法）；以"括号改变底数"为突破点，以"运算顺序"为落脚点。 课时建议　建议分 2 课时：第1课时 乘方意义、符号规律、易错辨析；第2课时 混合运算顺序、科学记数法与近似数。本详案按"三幕"组织，可拆分使用。 教学准备　多媒体课件（细胞分裂动画、折纸层数图、乘方符号规律表）；课堂学习单；红蓝两色粉笔（标注底数与幂的符号）。 二、教学过程 第一幕　乘方概念与符号规律（第1课时） 环节一　情境引入（约5分钟） 【情境】 ①细胞分裂：1个→2个→4个→8个→16个……每次都是"乘2"，第 n 次分裂后是几个？②折纸：对折1次2层、2次4层、3次8层……对折 n 次多少层？③正方形面积：边长 a，面积是 a·a；正方体体积是 a·a·a。这些式子有什么共同特征？ 【教师活动】 板书"2，2×2，2×2×2，2×2×2×2"，追问："它们都在做同一件事——几个相同的数相乘。能不能用一个简便写法表示'n个2相乘'？" 【学生活动】 口述：2×2 是两个2、2×2×2 是三个2……尝试用"2^n""2的n次方"表示"n个2相乘"。 【预设与对策】 若学生写成"2n"或"2·n"，立即追问："这是2加n次，还是2乘n次？"——厘清"相加"与"连乘"的本质区别，自然引出乘方记法。 【归纳引入】 这种"求n个相同因数的积的运算"就是乘方。今天我们研究有理数的乘方。 环节二　乘方定义与幂（约10分钟） 【探究】 给出一般形式 a^n = a·a·…·a（n个a相乘）。请用自己的话说说：这里的 a 和 n 各表示什么？结果叫什么？ 【教师活动】 用方框在黑板上标注 a^n：下方写"底数 a"、右上角写"指数 n"、整体写"幂"；强调"指数写在上角（上标），不是 a×n"。 【学生活动】 把 2×2×2×2 写成 ，并指出底数2、指数4、幂16；把 (−3)×(−3)×(−3) 写成 ，指出底数−3、指数3、幂−27。 【归纳·读法】 a^n 读作"a的n次方"或"a的n次幂"； 读作"a的平方"， 读作"a的立方"。如 读"负2的3次方"，− 读"2的3次方的相反数"。 【板演】 书写示范：、、（注意 的底数是 ，不是 2）。 【找错活动】 板演故意把 (−3)×(−3)×(−3) 写成 −，请学生纠错：应加括号写作 ；− 表示 的相反数，底数是3而不是−3。 环节三　例题教学·乘方计算（约8分钟） 例1　计算：(1) ；(2) ；(3) 。 【板演规范】 按"先定符号、再算绝对值"三步书写： (1) 两个 −4 相乘得正，4×4=16，得 16。 (2) 三个 −2 相乘，负因数奇数个→负，2×2×2=8，得 −8。 (3) 四个 相乘，负因数偶数个→正，=，得 。 【易错点·找错】 投影错例：把 算成 −16，说"带负号平方就为负"。纠正：偶数个相同负数相乘结果为正，=16。 符号规律　判断幂的符号，关键看"底数的符号"和"指数的奇偶"：负数底、指数偶→正，指数奇→负；正数底任何次幂都正；0的正整数次幂为0。与"负因数个数"不同——这里是同一个负数连乘。 环节四　归纳符号规律（约6分钟） 例2　计算并观察底数符号与幂的正负： =100，=1000，=10000；=100，=−1000，=10000。 【学生活动】 填写观察表：正底（10）的幂全为正；负底（−10）的幂随指数奇偶正负交替。 【归纳·法则】 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何正整数次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 【口诀】 "负底看指数：奇负偶正"。背的时候一定带上"负数"二字——正数的幂永远为正，不分奇偶。 环节五　易错辨析　(−a)^n 与 −a^n（约8分钟） 【情境·辨析】 比较两组：① 与 −；② 与 −。它们相等吗？ 【教师活动】 用颜色粉笔区分"底数"：带括号时，底数是整个括号里的数；不带括号时，指数只作用于它前面的那个数，负号在幂的外面。 【学生活动】 分别计算： = 16，− = −() = −16　→ 二者不同！ = 9，− = −() = −9　→ 二者不同！ 【找错活动】 投影 = −9（错），问："平方是'负负得正'，怎么会是负的？"学生指出：底数是−3，两个−3相乘应为+9。 ⚠ 易错　括号改变底数！(−a)^n 的底数是 −a；−a^n 的底数是 a、幂外带负号。只有当 n 为偶数时，二者符号才相反（如 =16 而 −=−16）；当 n 为奇数时二者恰好相等（如 =−8，−=−8）。务必先看清括号再下笔。 第二幕　混合运算顺序与科学记数法（第2课时） 环节六　有理数混合运算顺序（约8分钟） 【复习】 小学混合运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号里的。现在加入了"乘方"，顺序要升级。 例3　计算：(1) ×2；(2) −×2；(3) +。 【板演】 (1) 先乘方：=9，再 9×2=18。 (2) 先乘方：=9，再 −9×2=−18（注意 −=−()）。 (3) 先乘方：=−8，=9，再 −8+9=1。 【归纳·运算顺序】 ①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算从左到右；③有括号先算括号内（先小括号、再中括号、后大括号）。 【呼应】 把 (1)(2) 两个结果并排写：18 与 −18，正好呼应环节五" 与 − 不同"，学生印象最深。 环节七　科学记数法（约8分钟，2.3.2） 【情境】 光的传播速度约 300 000 000 ；地球半径约 6 400 000 m；第五次全国人口普查约 1 300 000 000 人。这些数读写都不方便，怎么简写？ 【教师活动】 板书定义：把一个大于10的数写成 a×10^n 的形式，其中 1≤a<10，n 为正整数。如 300 000 000 = 3×。 例4　用科学记数法表示：(1) 1 000 000；(2) 57 000 000；(3) 123 000 000 000。 【板演】 (1) 1 000 000 = （或 1×）；(2) 57 000 000 = 5.7×；(3) 123 000 000 000 = 1.23×。 【方法】 n = 原数整数位数 − 1；或把小数点左移到使 a 落在 [1,10)，移动的位数即 n。 ⚠ 易错　两个常错点：①a 必须满足 1≤a<10，57 000 000 不能写成 57×（应 5.7×）；②n 是正整数，且与小数点移动位数一致，别少移或多数一位。 环节八　近似数（简要衔接，2.3.3） 【教师活动】 实际测量往往得不到准确值，需要近似。介绍四舍五入法与有效数字：从左边第一个非0数字起，到精确到的数位止，所有数字都是有效数字。 例5　用四舍五入法取近似数：(1) 0.0158（精确到0.001）；(2) 1.8935（精确到0.01）。 【板演】 (1) 0.0158 千分位是5、万分位8→进1，得 0.016；(2) 1.8935 百分位是9、千分位3<5→舍去，得 1.89。0.0158 有3个有效数字（1,5,8）。 衔接说明　近似数放在乘方/科学记数法之后讲，是因为"大数近似"常先用科学记数法表示再谈精确位。本环节点到即止，下节课再系统训练有效数字与精确位。 环节九　巩固训练（课堂检测，约10分钟） 独立完成下列各题（学习单），教师据班情选用。 A组·基础（直接计算与概念） 1 计算：； ； ； 。 2 写出下列各幂的底数和指数：； ； 。 3 填空：正数的任何正整数次幂都是____；负数的奇次幂是____，偶次幂是____。 B组·提高（辨析与混合） 4 不计算，直接判断符号并填空： ____ 0； ____ 0； ____ 0。 5 计算：×2； −×2； −。 6 用科学记数法表示：300 000 000； 1 300 000 000； 73 000。 C组·拓展（规律与综合） 7 化简：n； (−1)^(2n+1)（n为正整数）。 8 若 + |b+3| = 0，求 a^b 的值（写出过程）。 【要求】 学生独立完成，4人小组互评；教师巡视，重点看"括号是否加对底数""奇偶次幂符号""混合运算先乘方""科学记数法 a 的范围"，收集典型错例用于下节课前纠错。 三、课堂小结（约3分钟） 【学生说】 请两位学生各用一句话概括"什么是乘方""负数幂的符号怎么定"。 【教师补】 口诀：相同因数连乘积，乘方记法 a 的 n 次方；负底看指数，奇负偶正；括号定底数，(−a)^n 与 −a^n 偶数幂不同；混合运算先乘方、后乘除加减；大数用科学记数法 a×10^n（1≤a<10）。 四、板书设计（真实分区） 主板书（左侧，随教学推进顺序书写）： 2.3 有理数的乘方 一、定义　求n个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂。a^n：a底数，n指数（上标）；读作a的n次方/次幂。 二、符号规律　负数奇次幂负、偶次幂正；正数任何次幂正；0的正整数次幂为0。口诀"负底看指数，奇负偶正"。 三、辨析　(−a)^n 与 −a^n（偶数幂不同！=16，−=−16；奇数幂相等） 四、运算顺序　先乘方，再乘除，最后加减；同级左到右；有括号先括号内。 五、科学记数法　a×10^n（1≤a<10，n正整数）　例 300 000 000=3×；1.3× 例：例1 =16；=−8；=。例3 ×2=18；−×2=−18。 副板书（右侧）：①细胞分裂/折纸情境图；②(−10)^n 符号观察表（学生填）；③错例 −=−9（非9）、≠−9；④有效数字示例 0.0158→3位。 五、作业布置（具体、可操作） 必做： 1. 课本本节"练习"第1～3题（乘方计算、符号判断），直接写在书上。 2. 课本《习题2.3》第1题（乘方计算）、第2题（符号判断）、第3题（含乘方的混合运算）各选做若干；第5题（科学记数法）做前两问。 3. 错题整理：把今天"括号漏写/奇偶次幂符号错/先乘方顺序错"的题各抄1道，写明正确过程。 选做（学有余力）： 4. 用科学记数法表示你所在城市的人口数与面积；自编一道"非负数和为0求幂"的综合题（参考课堂例8）。 5. 用"折纸折n次层数2^n"或"拉面对折"解释乘方的现实意义，写一段不少于3句的话。 （注：具体题号以所用课本实际页码为准，教师可据班情调整。） 六、教学反思 本课本着"情境—抽象—归纳—辨析—应用"的线索，以"细胞分裂/折纸"贯穿乘方，突出"(−a)^n 与 −a^n 括号定底数"的辨析与"先乘方"的运算顺序。预设待改进： ⚠ 易错　①"负底奇偶"仍易记反，下节课前可加" (−1)^n 奇偶交替"的口头速答小练。 ⚠ 易错　②括号漏写（把 写成 −）是高频错，应在学习单设计"找错改错"专项。 ⚠ 易错　③科学记数法 a 的范围（1≤a<10）与 n 的位数易错，需板演"移小数点"步骤强化。 （本栏供教师课后填写课堂生成与改进设想。） 七、参考答案（巩固训练） 说明：乘方先定符号（负数底看指数奇偶）再算绝对值；混合运算先乘方、后乘除加减；科学记数法 a×10^n 且 1≤a<10。 A组·基础 1 36；−32；；1。 2 底数5、指数3； 底数−4、指数2； 底数、指数2。 3 正数；负数；正数。 B组·提高 4 <；>；<（ 负、 正、=−1）。 5 18；−18；24（=16，=−8，16−(−8)=24）。 6 3×；1.3×；7.3×。 C组·拓展 7 1；−1。 8 由非负性：a−2=0 且 b+3=0 → a=2，b=−3；a^b=2^(−3)=。 — 2026—2027学年 · 教师用 · 2.3 详案 — 学科网（北京）股份有限公司 $