专题微课 离散型随机变量及其分布列-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量及其分布列，系统梳理分布列、均值、方差等概念及二项分布、超几何分布模型，通过建构知识体系衔接前后知识点，以题型为学习支架引导从概念理解到综合应用。 其亮点在于融通学科素养，结合产品抽样、猜歌名游戏等实例，渗透直观想象、数据分析、数学建模等核心素养，采用题型分类与思维建模总结方法，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供系统教学资源与实践案例。

离散型随机变量及其分布列 专题微课 建构知识体系 融通学科素养 1.浸润的核心素养 (1)通过解决统计图表与随机变量的均值、方差的综合问题，重点提升直观想象、数据分析的核心素养. (2)在学习超几何分布与二项分布的区别过程中，重点提升数学建模、数据分析、数学运算的核心素养. 2.渗透的数学思想 (1)涉及数形结合的题目主要是统计图表和随机变量的分布列的综合问题，要仔细观察统计图表，以便从中提取信息用以后续计算. (2)在涉及概率问题的计算时，要注意转化为古典概型问题或相互独立事件的概率问题，体现了化归的思想方法. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　超几何分布与二项分布的区别 题型(二)　与互斥、独立事件 有关的分布列的均值与方差 题型(三)　与统计有关的分布列的均值 4 课时检测 题型(一)　超几何分布与 二项分布的区别 01 [例1]　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表： 分组区间 (单位：克) [490，495] (495，500] (500，505] (505，510] (510，515] 产品件数 3 4 7 5 1 包装质量在(495，510]克的产品为一等品，其余为二等品. (1)估计从该流水线上任取一件产品为一等品的概率； 解：样本中的产品件数为3+4+7+5+1=20，包装质量在(495，510]克的产品件数为4+7+5=16，故从该流水线上任取一件产品为一等品的概率P==. (2)从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列； 解：依题意，得X的可能取值为0，1，2， P(X=2)==，P(X=1)==， P(X=0)==.故X的分布列为 X 0 1 2 P (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望EX与期望EY的大小.(结论不要求证明) 解：由(2)可得EX=0×+1×+2×=， 依题意得Y~B，且Y的可能取值为0，1，2， 则P(Y=2)==，P(Y=1)=××=，P(Y=0)==. 故Y的分布列为 Y 0 1 2 P 所以EY=2×=，EY=EX. 　|思|维|建|模|　二项分布与超几何分布的辨别方法   二项分布 超几何分布 特点 在n重伯努利试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品 概率公式 P(X=k)=·pk(1-p)n-k， k=0，1，2，…，n P(X=k)=，k=0，1，2， …，m(m=min{n，M}，且n≤N， M≤N，n，M，N∈N+)   二项分布 超几何分布 期望、方差公式 EX=np， DX=np(1-p)   EX=， DX= 当N→+∞时，超几何分布近似为二项分布 针对训练 1.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值； 解：法一　由题意知X的可能取值为0，1，2. P(X=0)==；P(X=1)==； P(X=2)==. ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×+1×+2×=. 法二　由题意知P(X=k)=(k=0，1，2)， ∴随机变量X服从超几何分布，n=3，M=2，N=10，∴EX===. (2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差. 解：由题意知抽取1次取到次品的概率为=， 随机变量Y服从二项分布B， ∴EY=3×=，DY=3××=. 2.某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为p(0<p<1)，且每道题答对与否互不影响. (1)分别求小张，小王答对题目数的分布列； 解：设小张答对的题目数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为1，2，3，4.有P(X=1)===， P(X=2)===， P(X=3)===， P(X=4)===， 故小张答对的题目数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 设小王答对的题目数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y~B(4，p)，Y的取值分别为0，1，2，3，4， 有P(Y=0)=(1-p)4， P(Y=1)=(1-p)3p=4p(1-p)3， P(Y=2)=(1-p)2p2=6p2(1-p)2， P(Y=3)=(1-p)p3=4p3(1-p)， P(Y=4)=p4. 故小王答对的题目数Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P (1-p)4 4p(1-p)3 6p2(1-p)2 4p3(1-p) p4 (2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求p的取值范围. 解：由(1)可知EX=1×+2×+3×+4×=，而Y~B， 所以EY=4p， 若预测小张答对的题目数多于小王答对的题目数， 则EX>EY，即>4p，可得0<p<. 故p的取值范围是. 题型(二)　与互斥、独立事件 有关的分布列的均值与方差 02 [例2]　猜歌名游戏根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了A，B两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从A，B两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对A组中每首歌曲的歌名的概率均是，猜对B组中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜对每首歌曲的歌名相互独立. (1)求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率； 解：该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜对的概率P1=×=； 该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率P2=×××+×××=. 故该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率P=1-P1-P2=. (2)若嘉宾猜对一首A组歌曲的歌名得1分，猜对一首B组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为X，求X的分布列与均值. 解：由题意可得X的所有可能取值分别是0，1，2，3，4，5，6. 没有猜对A组中每首歌曲的歌名的概率为1-=，没有猜对B组中每首歌曲的歌名的概率是1-=， 则P(X=0)=×=， P(X=1)=×××=， P(X=2)=×+×××=， P(X=3)=×××××=， P(X=4)=×××+×=， P(X=5)=×××=， P(X=6)=×=. X 0 1 2 3 4 5 6 P 故EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=. 故X的分布列为 |思|维|建|模| 　　若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求解时，可以利用分布列的性质求其概率. 针对训练 3.为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的A，B，C三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1 000积分，且甲兑换A，B，C三种商品的概率分别为，乙兑换A，B，C三种商品的概率分别为，且他们兑换何种商品相互独立. (1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； 解：由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为×+×+×=. (2)记X为两人兑换商品后的积分总余额，求X的分布列与均值. 解：由题意知，兑换A，B，C三种商品所需的积分分别为800，900，1 000， 则X的取值可能为0，100，200，300，400， P(X=0)=×=， P(X=100)=×+×=， P(X=200)=×+×+×=， P(X=300)=×+×=， P(X=400)=×=， 则X的分布列为 X 0 100 200 300 400 P EX=0×+100×+200×+300×+400×=250. 题型(三)　与统计有关的分布列的均值 03 [例3]　某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间(单位：h)，将样本数据分成[3，4)，[4，5)，[5，6)，[6，7)，[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数； 解：由甲班频率分布直方图知，甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为(0.500+0.250+0.050)×1=0.8.故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为0.8×600=480. (2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为X，求X的分布列和均值； 解：甲班每天学习时间不足4小时的人数约为40×0.050×1=2，乙班每天学习时间不足4小时的人数约为40×0.100×1=4， 所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人.从中随机抽取3人，则抽到的甲班学生人数X的可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布， 则P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 法一　EX=0×+1×+2×=1. 法二　EX==1. (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，试比较与的大小.(只需写出结论) 解：从甲、乙两个班级学生每天的学习时间的频率分布直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故<. |思|维|建|模| 　　求与统计有关的分布列问题，常借助题设条件运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解，或借助题设条件运用频率分布直方图和分布列求解. 针对训练 4.某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； 解：在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1， 则(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1，解得a=0.025. (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用X表示抽到的评分在90分以上的人数，求X的分布列及均值EX. 解：因为评分在90分以上的市民所占的频率为0.025×10=0.25， 由题意可知，X~B， 所以P(X=0)==， P(X=1)=··=， P(X=2)=··=， P(X=3)=··=， P(X=4)==， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以EX=4×=1. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是 (　　) A.np(1-p) B.np C.n D.p(1-p) √ 解析：∵用电单位的个数X~B(n，p)， ∴EX=np. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.若随机变量X的分布列如下表所示，则EX等于 (　　) √ X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. B. C. D. 解析：因为2x+3x+7x+2x+3x+x=18x=1，所以x=，因此EX=0× 2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示： 使用时间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60 个数 10 40 80 50 20 若以频率视为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为=，则所求概率为××+=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.已知离散型随机变量X的分布列为 √ X 0 1 2 P m 则DX的值为 (　　) A. B. C. D.1 解析：由分布列的性质，知+m+=1，∴m=.∴EX=0×+1×+2×=1，DX=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.已知X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1<x2，若EX=，DX=，则x1+x2的值为(　　) A. B. C.3 D. √ 解析：∵EX=x1+x2=，∴x2=4-2x1，又DX=×+ ×=，x1<x2，∴x1=1，x2=2，∴x1+x2=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.已知随机变量ξ的分布列如下表，若D(ξ-1)=，则E(ξ-1)=(　　) √ ξ -1 0 1 P a c A. B.- C.-或- D.或- 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由题意得，a+c=，a∈，Eξ=-2a+.若D(ξ-1)=，则Dξ=， 所以a++·=， 整理得，12a2-8a+1=0，解得a=或a=，所以Eξ=-2a+=-或， E(ξ-1)=Eξ-1=-或-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.[多选]某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位数中ak(k=1，2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X=a1+a2+a3+a4+a5，则当程序运行一次时(　　) A.X服从超几何分布 B.P(X=1)= C.X的均值EX= D.X的方差DX= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1且每个数位上的数字互不影响，故X的可能取值有0，1，2，3，4，5，且X的取值表示1出现的次数，由二项分布的定义，可得X~B，故A错误；故P(X=1)==，故B正确；因为X~B，所以EX=5×=，DX=5××=，故C、D正确.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)李明参加某大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为_____.  解析：设所选3题中李明能答对的题数为X，则X服从参数为N=10，M=6，n=3的超几何分布，且P(X=k)=(k=0，1，2，3)，故所求概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)某校为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》PK赛(共4局)，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为____.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有三种， 第一种：A队全胜，概率为=. 第二种：A队三胜一负，概率为××=， 第三种：A队胜第三局，另外三局一胜二负，概率为×××=. 所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为++=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(5分)六一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数(单位：人)超过1 100人的概率不低于0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最少为_______.  解析：由题意可知旅客人数X超过1 100人的概率不低于0.2，即P(X>1 100)≥0.2，所以这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最少为P=×0.22×(1-0.2)+×0.23×(1-0.2)0=0.104. 0.104 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(10分)某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的考核，每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的考核(即淘汰).若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响，该生不放弃每一次考核的机会.用X表示其参加补考的次数，求随机变量X的均值与方差. 解：X的可能取值为0，1，2. 设“该学生第一次、第二次身体体能考核合格”分别为事件A1，A2，“第一次、第二次外语考核合格”分别为事件B1，B2， 则P(X=0)=P(A1B1)=×=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 P(X=2)=P(A2B2)+P(A2) =×××+×××=. 根据分布列的性质，可知P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=. X 0 1 2 P EX=0×+1×+2×=，DX=×+×+×=. 所以X的分布列为 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(15分)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]分成6组，并整理得到如下频率分布直方图. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (1)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(5分) 解：由频率分布直方图可知，100份样本数据的平均值为 =(35×0.005+45×0.010+55×0.010+65×0.020+75×0.032+85×0.023)×10=68.3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于60分，则被认定为成绩合格，低于60分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取5人，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列及均值.(10分) 解：竞赛成绩不低于60分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75=， 低于60分的频率为(0.005+0.010+0.010)×10=0.25=. 由题意可知X~B， P(X=0)==， P(X=1)=××=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 P(X=2)=×==， P(X=3)=×==， P(X=4)=×=， P(X=5)==， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P EX=5×=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $