6.4.1 二项分布课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

6.4.1 二项分布 北师大版（2019）选择性必修一 学习目标 1、理解独立重复试验的定义； 2、掌握二项分布的概率公式； 3、能进行一些与n次独立重复试验及二项分布有关的概率的计算 学习重点 学习难点 独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法 应用二项分布解决实际问题 新课导入 在我们做选择题的时候，经常会看见只有四个选项A,B,C,D,那么为什么选择题要设置四个选项呢，通过本节课的学习，让我们一起来研究这个问题吧. 新课学习 这样,X的分布列就可以写成如表的形式: 思考交流 在上面的问题中, 将一次射击看成做了一次试验, 思考并回答下列问题: （1）一共进行了几次试验？每次试验有几种可能的结果？ （2）如果将每次试验的两种结果分别称为"成功"(命中目标)和"失败"(没有命中目标), 那么每次试验成功的概率是多少? 它们相同吗? （3）各次试验是否相互独立？在随机变量X的分布列的计算中, 独立性具体应用在哪里? 结论 （1）4次；2种． （3）是．每次试验的条件完全相同，试验成功的概率保持不变．且每次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立． n重伯努利试验 在研究随机现象时, 经常要在相同条件下重复做大量试验来发现规律. 一般地, 在相同条件下重复做n次伯努利试验, 且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响, 称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. 二项分布 思考交流 下列随机变量X服从二项分布吗? 如果服从二项分布, 其参数n，p分别是什么? （1）拋掷n枚均勺的相同骰子，X表示"掷出的点数为 1 "的骰子数; （2） n个新生婴儿, X表示男婴的个数; （3）某产品的次品率为 X表示 n个产品中的次品的个数; （4）女性患色盲的概率为0.25%， X 表示任取n个女性中患色盲的人数. 结论 例题来了 例 1 某公司安装了 3 台报警器, 它们彼此独立工作, 且发生险情时每台报警器报警的概率均为 0.9 . 求发生险情时, 下列事件的概率: （1） 3 台都没报警; （2）恰有 1 台报警; （3）恰有 2 台报警; （4） 3 台都报警; （5）至少有 2 台报警; （6）至少有 1 台报警. 解： 解： 全班每人抛拍一枚均匀的硬币 100 次 (或利用科学计算器产生随机数进行模拟), 记录正面朝上的次数. 计算恰好得到了 50 次正面朝上的同学人数占全班同学总人数的比例. 有人给出了一个抛掷均匀硬币的模拟试验 , 试验相当于 100 个人, 每人都抛掷 100 次均匀硬币, 记录各自掷出正面朝上的次数如下: 例 3 某车间有 5 台机床, 每台机床正常工作与否彼此独立, 且正常工作的概率均为 0.2 . 设每台机床正常工作时的电功率为 10 kW , 但因电力系统发生故障现总功率只能为 30 kW , 问此时车间不能正常工作的概率有多大 (结果精确到 0.001 ). 分析：我们将每台机床是否能正常工作看成一次试验,那么一共有 5 次试验, 并且它们彼此是独立的; 在每次试验中, 把正常工作看作"成功", 不正常工作看作"失败",那么每次试验"成功"的概率都是 0.2 . 如果令X为 5 台机床中正常工作的台数, 那么X服从参数为n=5,p=0.2的二项分布. 解： 课堂巩固 C C D C B 8 总结一下 n重伯努利试验 二项分布的概念 感谢您的观看 THANK YOU FOR WATCHING 某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击命中目标的概率都为 ，且各次命中目标与否是相互独立的. 用X表示这4次射击中命中目标的次数吗，如何表示X的分布列和均值呢? 每次射击都有两种可能的结果：命中目标或没有命中目标，并且每次射击命中目标的概率都是 ，每次射击没有命中目标的概率均为 ，在4次射击中，命中目标的次数X的可能取值为0，1，2，3，4. 用事件 表示“第k次射击命中目标”，用事件 表示 “运动员进行4次射击，命中目标k次”. 当 ，即4次都没有命中目标 (事件 发生) 时，由于 ，每次射击都是独立的，从而 当X=1，即4次射击恰有1次命中目标 (事件 发生) 时，由于 ，从而 事实上，当 时，4次射击有k次命中目标，有 次没有命中目标 (事件 发生)，这包含 种情况. 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，可得 X 0 1 2 3 4 p （2） ；相同 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为 . 显然， 两点分布是二项分布在参数 时的特殊情况. （1）服从.n为“相同骰子的枚数”， （2）服从.n为“新生婴儿的个数”， （3）服从.n为“产品的个数”，p为次品率． （4）服从．n为“选取的女性的人数”，p=0.25%. 设X表示在发生险情时3台报警器中报警的台数，由题意知 ，它的分布列为 如表: （1）3台都没报警的概率为 ； （2）恰有1台报警的概率为 ; （3）恰有2台报警的概率为 ; （4）3 台都报警的概率为 ; （5）至少有 2 台报警的概率为 ; （6）至少有 1 台报警的概率为 . 例2 一批产品中，次品率为 . 现连续抽取4次，每次抽取 1 件产品，用随机变量 表示抽取的次品的件数，求 和 . 由题意知 ， 它的分布列为 如表: ； 在这100个数字中，50出现了7次，因此，"抛郑100次均匀的硬币，恰好出现50次正面朝上"的频率是 . 我们也可以从理论上计算这个概率.用X表示100次拋掷中正面朝上的次数，则易知X服从参数为 ， 的二项分布. 因此，100次拋抆中恰有50次正面朝上的概率为 人们也许存在着这样的误解，认为“抛掷100次均匀的硬币出现 50次正面朝上” 是必然的，或者说它的概率应该很大，但通过做试验和计算表明这个概率只有8%左右. 由此可见，学习概率的知识有时能够帮助我们澄清一些误解. 而题目中 “车间不能正常工作” 是指总功率超过 30 kW，即 . 设X为5台机床中正常工作的台数， 则X服从参数为 ， 的二项分布，即 于是， 由题意可得 这是一个概率很小的事件吗，几乎不会发生. 因此，如果车间不能正常工作时不会造成破坏性后果，那么在总功率只能为30 kW的情况下仍可以正常安排生产. 1.设随机变量X服从二项分布 ，则函数 存在零点的概率是( ) A. B. C. D. 解析： 函数 存在零点， ， . 随机变量X服从二项分布 ， . 2.一车间有3台车床加工同一型号的零件，且3台车床每天加工的零件数X（单位：件）均服从正态分布 .假设3台车床均能正常工作，若 ，则这3台车床中至少有一台每天加工的零件数超过35的概率为( ) A. B. C. D. 解析：设车床每天加工的零件数超过35的台数为 ，由题意知每台加工的零件数超过35的概率 ， 所以 ，则这3台车床中至少有一台每天加工的零件数超过35的概率 .故选C. 3.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止.设停止时共取了X次球，则( ) A. B. C. D. 解析：由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次取到红球，2次取到白球，由于每次取到红球的概率为 ， 由二项分布知识可知 ，故选D. 4.“锦里开芳宴，兰缸艳早年”，元宵节是中国非常重要的传统节日.某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动，福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是( ) A. B. C. D. 解析：每次抽奖中，总情况数为 种， 获奖的共有 ， ， ， 这4种，所以抽奖一次获奖的概率 . 设5人中获奖人数为X，则 ， 所以 ，故选C. 5.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次.记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为( ) A. ，5 B. ，10 C. ，5 D. ，10 解析：设10门大炮击中目标的次数为X,则根据题意可得, 10门大炮总得分的期望值为 , 6.某人在10次射击中击中目标的次数为X， .若 最大，则 ___________. 解析：在10次射击中击中目标的次数为X，且 ， 当 时对应的概率 ， 因为 的值最大，所以 即 即 解得 ，因为 且 ，所以 ，即 时的概率 最大. 7.六一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）超过1100人的概率不低于0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最小为__________. 解析：由题意可知旅客人数X超过1100人的概率不低于0.2，即 ，所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最小为 .故答案为 . $$