6.3.2 离散型随机变量的方差-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差及标准差，通过课前自主学习落实概念与性质，课堂以梯度进阶式教学衔接基础计算、性质应用及实际问题，构建从定义到应用的知识支架。 其亮点是以投篮命中率、包装机质量等实例为载体，通过题型分类与思维建模步骤，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题、用数学语言表达结论的核心素养。学生能深化理解并解决实际问题，教师可依托梯度设计提升教学效率。

3.2 离散型随机变量的方差 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.离散型随机变量的方差 若离散型随机变量X的分布列如表： X X1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi-EX)2描述了xi(i=1，2，…，n)相对于均值EX的__________，而DX=E(X-EX)2=__________________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的______，其算术平方根为随机变量X的________，记作_____. 偏离程度 方差 标准差 σX |微|点|助|解| 方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散. 2.离散型随机变量方差的性质 (1)设a，b为常数，则D(aX+b)=_______. (2)Dc=____ (其中c为常数). a2DX 0 基础落实训练 1.若随机变量X的分布列如表，则X的方差DX是 (　　) X -1 0 1 P A.0 B.1 C. D. 解析：EX=-1×+0×+1×=0，则DX=×(-1-0)2+×(0-0)2+×(1-0)2=. √ 2.若随机变量X满足DX=0.8，则D(2X-3)= (　　) A.0.8 B.1.6 C.3.2 D.0.2 解析：因为DX=0.8，所以D(2X-3)=22×DX=4×0.8=3.2. √ 3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1>Dξ2，则自动包装机______的包装质量较好.  解析：均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值较集中，由题意，可得乙的包装质量较好. 乙 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　求离散型随机变量的方差 [例1]　(1)设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则DX等于 (　　) A. B. C. D. 解析：由题意知，EX=1×+2×+3×+4×=， 故DX=×+×+×+×=. √ (2)某运动员投篮命中率p=0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________.  解析：依题意知，X服从两点分布，X的分布列为 X 1 0 P 0.8 0.2 故EX=0.8，DX=(1-0.8)2×0.8+(0-0.8)2×0.2=0.16. 0.16 |思|维|建|模| 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由均值的定义求出EX； (4)根据公式计算方差. 针对训练 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX等于 (　　) A.3.36 B. C.7.8 D.3.6 √ 解析：由题知X=6，9，12. P(X=6)==，P(X=9)==， P(X=12)==.∴X的分布列为 X 6 9 12 P ∴EX=6×+9×+12×=7.8，DX=(6-7.8)2×+(9-7.8)2×+(12-7.8)2 ×=3.36. 2.袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为_____.  解析：X的分布列为 X 1 3 5 P 则EX=1×+3×+5×=，DX=. 题型(二)　离散型随机变量方差的性质 [例2]　已知X的分布列如下： X -1 0 1 P a (1)求X2的分布列； 解：由分布列的性质知++a=1，故a=.从而X 2的分布列为 X2 0 1 P (2)计算X的方差； 解：法一　由(1)知a=，所以EX=(-1)×+0×+1×=-. 故DX=×+×+×=. 法二　由(1)知a=，所以EX=(-1)×+0×+1×=-.EX2=0×+1×=， 所以DX=EX 2-(EX )2=. (3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差. 解：因为随机变量Y=4X+3， 所以EY=4EX+3=2，DY=42DX=11. |思|维|建|模| 求随机变量Y=aX+b方差的方法 求随机变量Y=aX+b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX+b)=a2DX求解. 针对训练 3.[多选]已知随机变量X满足E(2X+1)=5，D(3X-1)=9，则下列说法正确的是 (　　) A.EX=2 B.EX= C.DX=1 D.DX=3 解析：E(2X+1)=2EX+1=5， 则EX=2，故A正确，B错误； D(3X-1)=9DX=9，则DX=1， 故C正确，D错误. √ √ 4.若随机变量X的分布列如表，且EX=2，则D(2X-3)的值为 (　　) X 0 2 a P p A.9.2 B.5 C.4 D.1 解析：由题意可得+p+=1，解得p=.因为EX=2，所以0×+2× +a×=2，解得a=3.所以DX=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1.所以D(2X-3)=4DX=4. √ [例3]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； 题型(三)　离散型随机变量方差的实际应用 解：由题意得0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ的分布列为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η的分布列为 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)比较甲、乙的射击技术. 解：由(1)得Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2，Eη=10×0.3+9 ×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.所以Dξ=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+ (8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96，Dη=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2× 0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21. 由于Eξ>Eη，Dξ<Dη，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好. |思|维|建|模| 　　均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中.因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析. 5.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示. 针对训练 甲公司 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1   乙公司 职位 A B C D 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列； 解：根据题意可知，随机变量η的可能取值有0，1，2， 则P(η=0)=0.8×0.8=0.64，P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32，P(η=2)=0.2×0.2=0.04， 所以随机变量η的分布列为 η 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 (2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率； 解：小方月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2× (0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49. (3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司?请说明理由. 解：入职甲公司，月薪的均值为EX=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6， 方差DX=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1. 入职乙公司，月薪的均值为EY=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6， 方差DY=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4， 乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4， 即EX=EY，DX<DY，0.4<0.49， 即两家公司月薪的均值相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动性更大，且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大，故选甲公司. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值EX甲=EX乙，方差分别为DX甲=11，DX乙=3.4.由此可以估计 (　　) A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 √ 解析：由EX甲=EX乙，DX甲>DX乙知B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知随机变量X的方差为DX=3，则D=(　　) A.9 B.3 C. D. √ 解析：D=DX=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知随机变量X的分布列如下： X -1 0 1 P a 则DX的值是 (　　) A. B. C. D. 解析：由a++=1，解得a=，所以EX=-1×+0×+1×=，DX=×+×+×=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知随机变量ξ的分布列如下： ξ m n P a 若Eξ=2，则Dξ的最小值等于 (　　) A.0 B.2 C.1 D. 解析：由题意得a=1-=，所以Eξ=m+n=2，即m+2n=6.又Dξ=(m-2)2 +(n-2)2=(6-2n-2)2+(n-2)2=2(n-2)2，所以当n=2时，Dξ取最小值0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]随机变量X的分布列如下： √ X -1 0 1 2 P 0.1 0.1 a 0.5 则下列说法正确的是 (　　) A.a=0.2 B.P(|X|=1)=0.4 C.EX=1.2 D.DX=2.4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意得0.1+0.1+a+0.5=1，得a=0.3，所以A错误. P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.3+0.1=0.4，所以B正确.EX=-1×0.1+0 ×0.1+1×0.3+2×0.5=1.2，所以C正确.DX=0.1×(-1-1.2)2+0.1× (0-1.2)2+0.3×(1-1.2)2+0.5×(2-1.2)2=0.96，所以D错误.故选BC. 则当x在内增大时(　　) A.Eξ减小 B.Eξ增大 C.Dξ减小 D.Dξ增大 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]设0<x<，随机变量的分布列如下： √ ξ 0 1 2 P 0.5 0.5-x x 解析：0<x<，由随机变量的分布列，得Eξ=0.5-x+2x=0.5+x，Dξ=[0-(0.5+x)]2 ×0.5+[1-(0.5+x)]2×(0.5-x)+[2-(0.5+x)]2x=-(x-1)2+，所以当x在内增大时，Eξ增大，Dξ增大. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]甲、乙两名射击运动员在同样条件下进行射击比赛，甲、乙命中的环数分别是X，Y，X，Y的分布列如下表，则下列结论正确的是(　　) X(环) 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2   Y(环) 8 9 10 P 0.3 0.4 0.3 A.两人的平均成绩一样 B.甲的平均成绩比乙高 C.甲发挥比乙稳定 D.乙发挥比甲稳定 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：依题意，得EX=0.2×8+0.6×9+0.2×10=9，EY=0.3×8+0.4 ×9+0.3×10=9，DX=0.2×(8-9)2+0.6×(9-9)2+0.2×(10-9)2=0.4，DY= 0.3×(8-9)2+0.4×(9-9)2+0.3×(10-9)2=0.6，显然EX=EY，A正确，B不正确；DX<DY，甲发挥比乙稳定，C正确，D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)随机变量X的分布列如下，则D(2X-1)=_______.  X 0 1 2 P 0.3 p 0.3 解析：依题意，得p=1-0.3-0.3=0.4，于是EX=0×0.3+1×0.4+2× 0.3=1，DX=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6，所以D(2X-1) =4DX=2.4. 2.4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为 ______.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意可知，乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.则P(ξ=0)=×=，P(ξ=1)=×+×=，P(ξ=2)=×=. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 则Eξ=0×+1×+2×=， 所以Dξ=×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D等于_____.  解析：由已知得EX=1×+2×+3×+4×=，DX=×+×+×+×=， 所以D=DX=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)随机变量ξ的分布列如下表所示，则方差Dξ的取值范围是________.  ξ 0 1 2 P a b 解析：由题意可知，a+b=1-=，则0≤a≤，0≤b≤， 故Eξ=×0+a+2b=a+2b=+b， 从而Dξ= (ξi-Eξ)2，Pi=-+. 因为0≤b≤，所以由二次函数性质可知，≤Dξ≤，故方差Dξ的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)在一个袋中装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量X为取得红球的个数. (1)求X的分布列；(6分) 解：X的可能取值为0，1，2. P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求X的数学期望EX和方差DX.(4分) 解：由(1)中分布列可得EX=0×+1×+2×=，DX=×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为 甲品牌的日走时误差分布列 X -1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的日走时误差分布列 Y -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)求EX和EY；(4分) 解：由已知可得，EX=-1×0.1+0×0.8+1×0.1=0，EY=-2×0.1-1 ×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0. (2)求DX和DY，并比较两种品牌手表的性能.(6分) 解：由(1)知，EX=0，所以DX=(-1-0)2×0.1+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.1=0.2. 又EY=0，所以DY=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+ (2-0)2×0.1=1.2. 所以EX=EY，DX<DY， 所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走时更稳定. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)某公司计划在2026年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择. 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：设投资项目一、二获利分别为X，Y万元， 则X的可能取值有30，-15，且P(X=30)=， P(X=-15)=， Y的可能取值有50，-30，0，且P(Y=50)=， P(Y=-30)=，P(Y=0)=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以EX=30×+(-15)×=20，EY=50×+(-30)×+0×=20， 所以EX=EY， DX=(30-20)2×+(-15-20)2×=350， DY=(50-20)2×+(-30-20)2×+(0-20)2×=1 400，则DX<DY， 这说明虽然项目一、项目二获得利润的均值相等，但项目一更稳妥，因此，选择项目一比较好. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $