6.2.1 随机变量-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“随机变量”核心知识点，通过扑克牌取牌、袋中取球等具体实例导入，衔接随机试验基础，搭建从具体现象到抽象概念的学习支架，系统梳理随机变量的概念、取值及事件表示。 其亮点在于采用“逐点清”分模块教学，通过多选、判断、解答题等微点练明，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理取值逻辑，如用符号表示“取球次数”“数字之和”等事件。学生能深化理解，教师可通过分层练习提升教学效率。

§2 离散型随机变量及其分布列 2.1 随机变量 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 通过具体实例，了解随机变量的概念，了解随机变量与函数的区别与联系.能列出随机变量的取值所表示的事件. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　随机变量的概念 逐点清(二)　列举随机现象的结果 逐点清(三)　用随机变量表示事件 4 课时检测 逐点清(一)　随机变量的概念 01 多维理解 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的______表示.在这个对应关系下，______随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为__________.随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示. 数值 数值 随机变量 微点练明 1.[多选]一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌(大王和小王)，从中任取4张，则随机变量可能为 (　　) A.所取牌数 B.所取正牌和大王的总数 C.这副牌中正牌数 D.取出的副牌的个数 √ 解析：所取牌数为4，是一个常数，不是随机变量，所以A错误；4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以B正确；这副牌中正牌数为52，是一个常数，不是随机变量，所以C错误；4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，所以是随机变量，所以D正确.故选BD. √ 2.袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是 (　　) A.至少取到1个黑球 B.取到黑球的个数 C.至多取到1个黑球 D.取到的球的个数 √ 解析：根据随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项， 其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2，为确定值.故选B. 3.判断下列各个量是不是随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数； 解：被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量. (2)抛两枚骰子，出现的点数之和； 解：抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种结果，出现哪种结果都是随机的，因此是随机变量. (3)体积为8 cm3的正方体的棱长. 解：正方体的棱长为定值，不是随机变量. 逐点清(二)　列举随机现象的结果 02 1.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为 (　　) A.1，2，…，6 B.1，2，…，7 C.1，2，…，11 D.1，2，3，… 解析：从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出白球，也有可能取完6个红球后才取出白球. √ 2.[多选]已知8件产品中有1件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量ξ，那么ξ的可能取值为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.8 √ √ 3.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为 (　　) A.25 B.10 C.7 D.6 解析：X的可能取值为1+2=3，1+3=4，1+4=5=2+3，1+5=6=4+2，2+5=7=3+4，3+5=8，4+5=9，共7个. √ 4.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 √ 解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果.相应得分为300分，100分，-100分，-300分，因此甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值有4个. 逐点清(三)　用随机变量表示事件 03 [典例]　写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； 解：设所需的取球次数为X，则X=1，2，3，4，…，11，{X=i}表示“前(i-1)次取到的均是红球，第i次取到白球”，这里i=1，2，3，4，…，11. (2)从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和. 解：设所取卡片上的数字之和为X，则X=3，4，5，6，7. {X=3}表示“取出标有1，2的两张卡片”； {X=4}表示“取出标有1，3的两张卡片”； {X=5}表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”； {X=6}表示“取出标有2，4的两张卡片”； {X=7}表示“取出标有3，4的两张卡片”. [变式拓展] 若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，请问Y有哪些取值?其中Y=2表示什么含义? 解：Y的所有可能取值有1，2，3. {Y=2}表示“取出标有1，3或2，4的两张卡片”. 针对训练 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ； 解：ξ可取0，1，2， {ξ=0}表示“取出的3个球中有0个白球，3个黑球”； {ξ=1}表示“取出的3个球中有1个白球，2个黑球”； {ξ=2}表示“取出的3个球中有2个白球，1个黑球”. (2)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋中随机取出3个球，被取出的最大号码数ξ. 解：ξ可取3，4，5， {ξ=3}表示“取出的3个球的编号为1，2，3”； {ξ=4}表示“取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4”； {ξ=5}表示“取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5”. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.[多选]给出下列四个命题正确的是 (　　) A.某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第10题的人数是随机变量 B.黄河每年的最大流量是随机变量 C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量 D.方程x2-2x-3=0根的个数是随机变量 √ 解析：选项A、B、C对应的量都是随机的实数，故正确；选项D中方程x2-2x-3=0的根有2个是确定的，不是随机变量. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.袋中装有5个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回3个红球”事件的是 (　　) A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 √ 解析：依题意“放回3个红球”表示前3次摸到黑球，第4次摸到红球，故ξ=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则{ξ=3}表示 (　　) A.甲赢三局 B.甲赢一局 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 √ 解析：由题意知甲得3分有两种情况：甲赢一局输两局，甲得分为3分；甲、乙平局三次，甲得分为3分.所以{ξ=3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么{ξ=4}表示的随机试验结果是 (　　) A.2枚都是4点 B.1枚是1点，另1枚是3点 C.2枚都是2点 D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 √ 解析：A表示的是随机试验中ξ=8的其中一个结果，B、C中表示的是随机试验中ξ=4的部分结果，而D是代表随机试验中ξ=4的所有试验结果. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值之和是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：若甲抢到一题但答错，乙抢到两题都答错，则X=-1；若甲没抢到题，乙抢到三题但答错两题或全错、甲抢到两题，一对一错，乙抢到一题但答错，则X=0；若甲抢到一题并答对，乙抢到两题一对一错或全错、甲抢到三题，两对一错，则X=1；若甲抢到两题且答对，则X=2；若甲抢到三题且答对，则X=3，∴X所有可能取值之和为-1+0+1+2+3=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ=k表示的试验结果为 (　　) A.第k-1次检测到正品，而第k次检测到次品 B.第k次检测到正品，而第k+1次检测到次品 C.前k-1次检测到正品，而第k次检测到次品 D.前k次检测到正品，而第k+1次检测到次品 √ 解析：由题意ξ=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k+1次检测的是一件次品. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.(5分)已知X，Y均为随机变量，且X=2Y，若X的所有可能取值为0，2，4，则Y的所有可能取值为___________.  解析：因为X=2Y，所以Y=X，又因为X∈{0，2，4}，所以Y∈{0，1，2}. 0，1，2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)将4把串在一起的钥匙逐一试开1把锁，其中只有1把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为_____.  解析：由于是依次试验，可能前3次都打不开锁，则剩下一把一定能打开锁，所以试验次数X的最大可能取值为3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)小王钱包中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张用来买晚餐，用X表示这两张金额之和，则X的可能取值为________________________.  解析：由题意，随机变量X的可能取值为6，11，15，21，25，30. 其中，{X=6}表示“抽到的是1元和5元”； {X=11}表示“抽到的是1元和10元”； {X=15}表示“抽到的是5元和10元”； {X=21}表示“抽到的是1元和20元”； {X=25}表示“抽到的是5元和20元”； {X=30}表示“抽到的是10元和20元”. 6，11，15，21，25，30 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(5分)一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(都大于5且两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有______种.  解析：因为后三位数字两两不同，且都大于5，所以只能是6，7，8，9中的三个数字，所以有=24种. 24 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(10分)写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；(4分) 解：X可取0，1，2，3. {X=0}表示“取5个球全是红球”； {X=1}表示“取1个白球，4个红球”； {X=2}表示“取2个白球，3个红球”； {X=3}表示“取3个白球，2个红球”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果.(6分) 解：根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7. {X=4}表示“共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局”； {X=5}表示“在前4局中有1人输了一局，后一局此人胜出”； {X=6}表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”； {X=7}表示“在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(10分)小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功.每过一关可获得价值分别为1 000元，2 000元，3 000元的奖品(奖品重复设立)，小王对三关中每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果. 解：X的可能取值为0，1 000，3 000，6 000， {X=0}表示“第一关就没有通过”； {X=1 000}表示“第一关通过，而第二关没有通过”； {X=3 000}表示“第一、二关通过，而第三关没有通过”； {X=6 000}表示“三关都通过”. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $