2.2.1 双曲线及其标准方程-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学双曲线及其标准方程核心知识点，系统梳理双曲线定义（含2a与|F1F2|关系的轨迹分类）、标准方程（焦点在x轴和y轴上的形式及a,b,c关系），构建“定义-方程-应用”的学习支架，衔接定义细化、方程推导到问题解决的脉络。 该资料采用梯度进阶式教学，通过定义中不同条件下轨迹的分类讨论培养数学眼光（抽象能力），例题多种解法及思维建模提升数学思维（推理能力），表格对比和“焦点跟着正项走”等口诀强化数学语言（模型意识）。课中助教师分层教学，课后学生可通过例题解析和练习查漏补缺，强化知识应用。

§2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　　　　　　　 　[课时目标] 1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法). 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 双曲线的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距 |微|点|助|解| (1)在双曲线定义中，若|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|)，即“去掉绝对值符号”，则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2). (2)2a的大小与点M的轨迹如下表所示. 条件 结论 0<2a<|F1F2| 动点M的轨迹是双曲线 2a=|F1F2| 动点M的轨迹是分别以F1，F2为端点，指向F1，F2所在直线两侧的射线 2a>|F1F2| 动点M不存在，因而轨迹不存在 2a=0 动点M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1 (a>0，b>0) -=1 (a>0，b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|=2c a，b，c 的关系 c2=a2+b2 |微|点|助|解| (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴. (2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上;若y2的系数为正，则焦点在y轴上. (3)参数a，b，c的几何意义:在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2=a2+b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示. 基础落实训练 1.已知点F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是 (　　) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 解析:选D　依题意得|F1F2|=10，当a=3时，因为|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时，2a=10=|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线. 2.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围为 (　　) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.(1，2) D.(-∞，1)∪(2，+∞) 解析:选A　由方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则解得k<1，故选A. 3.以F1(-，0)，F2(，0)为焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是 (　　) A.-y2=1 B.-y2=1 C.-y2=1 D.x2-=1 解析:选A　由题意得双曲线焦点在x轴上且c=，设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，则有a2+b2=c2=3，-=1，解得a2=2，b2=1，故所求双曲线的标准方程为-y2=1，故选A. 题型(一)　双曲线的标准方程 [例1]　根据下列条件，分别求双曲线的标准方程. (1)经过点P，Q; (2)c=，经过点(-5，2)，焦点在x轴上. 解:(1)法一　若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，由于点P和Q在双曲线上，∴ 解得 (舍去). 若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. 综上，双曲线的标准方程为-=1. 法二　设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)， ∵P，Q两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为-=1. (2)法一　依题意可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0).则有解得 ∴所求双曲线的标准方程为-y2=1. 法二　∵焦点在x轴上，c=， ∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6). ∵双曲线经过点(-5，2)，∴-=1， ∴λ=5或λ=30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是-y2=1. |思|维|建|模| 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 　[提醒]　求双曲线的标准方程时，焦点不确定可设方程为mx2-ny2=1(mn>0)或mx2+ny2=1(mn<0). 　　[针对训练] 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2); (2)经过A(-7，-6)，B(2，3)两点; (3)过点P(-，2)，且与椭圆+=1有相同焦点. 解:(1)因为a=2，且双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)，将点A(-5，2)的坐标代入双曲线的方程得-=1，解得b2=16，因此，双曲线的标准方程为-=1. (2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0)，将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m=，n=-，因此双曲线的标准方程为-=1. (3)由题意知，椭圆+=1的焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)，所以可设双曲线标准方程为-=1，其中a2+b2=5，代入点P(-，2)可得-=1，联立解得a2=1，b2=4，所以双曲线的标准方程为x2-=1. 题型(二)　与双曲线有关的轨迹问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　已知A(0，7)，B(0，-7)，C(12，2)，以C为焦点的椭圆过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为 (　　) A.y2-=1(y≤-1) 　B.y2-=1(y≥1) C.-x2=1(y≤-4) 　D.-x2=1(y≥4) 解析:选A　因为A(0，7)，B(0，-7)，C(12，2)， 所以|AC|==13，|BC|==15，|AB|=14， 因为A，B 都在椭圆上，所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14， 故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支，又2c=|AB|=14，2a=|AF|-|BF|=2，即c=7，a=1，所以b2=48，因此F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1). |思|维|建|模| 　　求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种: (1)列出等量关系，化简得到方程; (2)寻找几何关系，由双曲线的定义得出对应的方程. 　[提醒]　①双曲线的焦点所在的坐标轴; ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. [针对训练] 2.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(-3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x=2上，则顶点C的轨迹方程为 (　　) A.-=1(x>2) B.-=1(x>3) C.+=1(0<x<2) D.+=1(0<x<3) 解析:选A　如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|=|AE|=5，|BF|=|BE|=1，|CD|=|CF|，所以|CA|-|CB|=5-1=4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，2a=4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c=3，a=2，又c2=a2+b2，所以b2=5，所以方程为-=1(x>2). 题型(三)　双曲线的定义及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 题点1　确定有关几何量的值 [例3]　已知M是双曲线-=1上一点，点F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|MF1|=5，则|MF2|= (　　) A.9或1 B.1 C.9 D.9或2 解析:选C　因为M是双曲线-=1上一点，所以所以 由双曲线定义可知||MF1|-|MF2||=2a=4， 所以|MF2|=1或|MF2|=9，又|MF2|≥c-a=2，所以|MF2|=9，故选C. 题点2　焦点三角形问题 [例4]　已知F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|=32，求△F1PF2的面积. 解:由题意，得a=3，b=4，c==5， 所以2a=6，2c=10. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|-|PF1|=6，两边平方，得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100. 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2===0，所以∠F1PF2=90°， 所以=|PF1|·|PF2|=×32=16. [变式拓展] 1.若本例中双曲线的方程不变，且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离. 解:由双曲线方程-=1，得a=3，b=4，c=5. 由双曲线的定义，得||PF1|-|PF2||=2a=6， 所以|10-|PF2||=6，解得|PF2|=4或|PF2|=16. 2.若本例中的条件“|PF1|·|PF2|=32”变成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积. 解:由双曲线方程-=1，得a=3，b=4，c=5. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|-|PF1|=6.又|PF1|∶|PF2|=2∶5，所以|PF2|=10，|PF1|=4.因为|F1F2|=2c=10，所以△PF1F2是等腰三角形.易得PF1边上的高为4，所以=×4×4=8. 题点3　最值问题 [例5]　已知P为双曲线x2-=1右支上一点，M，N分别是(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为　　　　.  解析:双曲线的两个焦点F1(-4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1=2，r2=1，易知|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-1，故|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5. 答案:5 |思|维|建|模| 与双曲线定义有关问题的解决策略 (1)设F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，若点P满足|PF1|-|PF2|=2a，则点P在双曲线的右支上;若点P满足|PF2|-|PF1|=2a，则点P在双曲线的左支上.如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意动点的横坐标x的取值范围. (2)解与焦点三角形有关的问题，常利用双曲线的定义，并注意与三角形的知识相结合，如正弦定理、余弦定理、勾股定理等，同时要注意整体运算思想的应用. 　　[针对训练] 3.已知双曲线-=1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18，N是线段MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|等于 (　　) A.4 B.2 C.1 D. 解析:选A　因为双曲线-=1左支上的点M到右焦点F1的距离为18，所以M到左焦点F2的距离|MF2|=18-10=8，N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以|ON|=|MF2|=4. 4.已知F1，F2为双曲线C:-=1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1F2P= (　　) A.- B. C. D. 解析:选A　由双曲线方程可知a=4，b=3，c==5，根据双曲线的几何意义可得|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|=2c，又|PF1|=2|PF2|，解得|PF1|=16，|PF2|=8，|F1F2|=10，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1F2P===-，故选A. 5.已知F1，F2分别为双曲线-=1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|+|AF2|的最小值为　　　　.  解析:因为|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2，所以要求|AP|+|AF2|的最小值，只需求|AP|+|AF1|的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|+|AF1|最小，最小值为|PF1|==.故|AP|+|AF2|的最小值为-2. 答案:-2 [课时检测] 　　　　　　　　　　　 　　　　　 1.若方程-=1表示双曲线，则m的取值范围是 (　　) A.(-2，2) B.(0，+∞) C.[0，+∞) D.(-∞，-2]∪[2，+∞) 解析:选A　∵已知方程表示双曲线， ∴(2+m)(2-m)>0.∴-2<m<2. 2.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值为 (　　) A.1 B.1或-2 C.1或 D. 解析:选A　由题意知解得a=1. 3.过点(1，1)，且=的双曲线的标准方程是 (　　) A.-y2=1 B.-x2=1 C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1 解析:选D　由=，知b2=2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为-=1，将点(1，1)代入可得a2=，则双曲线方程为-y2=1.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为-x2=1. 4.已知点M(2，0)，N(-2，0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=2，则动点P的轨迹方程为 (　　) A.-y2=1(x≥) B.-y2=1(x≤-) C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1(x≤-1) 解析:选D　因为M(2，0)，N(-2，0)，所以|MN|=4，动点P满足|PM|-|PN|=2<|MN|，由双曲线的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，则有c=2，a=1，b==，所以动点P的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). 5.设F1，F2是双曲线C:x2-=1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，当|PF1|=6时，△PF1F2的面积为 (　　) A.4 B.3 C. D.6 解析:选B　∵双曲线C:x2-=1，∴a=1，b=，c=2，又点P在双曲线C的右支上，|PF1|=6，∴|PF1|-|PF2|=2a，6-|PF2|=2，即|PF2|=4，又|F1F2|=2c=4，∴△PF1F2的面积为×6× =3. 6.[多选]关于x，y的方程+=1(其中m2≠4)表示的曲线可能是 (　　) A.焦点在y轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.长轴长为2的椭圆 解析:选BC　若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2+2<0，无解，A错误;若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则m2+2=4-m2，解得m=±1，B正确;若曲线表示焦点在x轴上的双曲线，则4-m2<0，所以m>2或m<-2，C正确;若曲线表示长轴长为2的椭圆，则2a=2，a=，则或无解，D错误.故选BC. 7.在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点A(4，0)，分别过点M(-5，0)，N(5，0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为 (　　) A.-=1(x>4) B.-=1(x<-4) C.-=1(x>4或x<-4) D.-=1 解析:选A　设PM，PN分别与圆C相切于点S，T，则|PS|=|PT|，|MS|=|MA|，|NA|=|NT|，所以|PM|-|PN|=|MA|-|NA|=9-1=8，且8<|MN|=10，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴交点)， 这里2a=8，a=4，c=5，则b===3，故点P的轨迹方程为-=1(x>4). 8.设椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1+d2=2①， |d1-d2|=2②， ①2+②2，得+=18.①2-②2，得2d1d2=6. 而c=2，∴cos∠F1PF2===. 9.已知A(7，3)，双曲线C:-=1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则|PF|-|PA|的最大值是 (　　) A.-1 　B.2 C. D.9 解析:选D　若F'为双曲线右焦点F'(3，0)，则|PF|-|PF'|=2a=4，|AF'|=5，而|PA|≥|PF'|-|AF'|，当且仅当P，F'，A共线且A在P，F'之间时等号成立，所以|PF|-|PA|≤|PF|-|PF'|+|AF'|=4+5=9，当P，F'，A共线且A在P，F'之间时等号成立. 10.(5分)已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于　　　　.  解析:根据题意可知，双曲线的标准方程为-=1.由其焦距为4，得c=2，则有c2=2-a+3-a=4，解得a=. 答案: 11.(5分)双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　　　.  解析:由题意知双曲线右焦点的坐标为(3，0)，则右焦点到直线x+2y-8=0的距离d==. 答案: 12.(5分)若方程+=1表示双曲线，则实数m的取值范围为　　　　　　　　.  解析:依题意有或解得-3<m<2或m>3. 所以实数m的取值范围是(-3，2)∪(3，+∞). 答案:(-3，2)∪(3，+∞) 13.(10分)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-5，0)，(5，0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8; (2)双曲线的一个焦点坐标是(0，-6)，且双曲线经过点A(-5，6); (3)a=4，经过点A; (4)与双曲线-=1有相同的焦点，且经过点(3，2). 解:(1)由已知得c=5，2a=8.因此a=4，且b2=c2-a2=52-42=9. 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是-=1. (2)由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c=6，所以另一个焦点坐标为(0，6). 因为点A(-5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 2a=|-|=|13-5|=8，因此a=4，从而b2=62-42=20. 因此，所求双曲线的标准方程是-=1. (3)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为-=1(b>0)，把点A的坐标代入，可得b2=-×<0，不符合题意;当焦点在y轴上时，设所求标准方程为-=1(b>0)，把A点的坐标代入，可得b2=9， 故所求双曲线的标准方程为-=1. (4)设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16)，因为双曲线过点(3，2)，所以-=1，解得λ=4或λ=-14 (舍去).所以双曲线的标准方程为-=1. 14.(15分)已知双曲线过点(3，-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程;(5分) (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|+|MF2|=6，试判断△MF1F2的形状.(10分) 解:(1)椭圆方程可化为+=1，焦点在x轴上，且c==， 故设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， 则有解得a2=3，b2=2， 所以双曲线的标准方程为-=1. (2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|-|MF2|=2，又|MF1|+|MF2|=6，故解得|MF1|=4，|MF2|=2，又|F1F2|=2， 因此在△MF1F2中，MF1边最长， 而cos∠MF2F1=<0，所以∠MF2F1为钝角. 故△MF1F2为钝角三角形. 15.(15分)已知定点A(-，0)，B(，0)，动点P到两定点A，B距离之差的绝对值为2. (1)求动点P对应曲线C的轨迹方程;(5分) (2)过点Q(1，1)作直线与曲线C交于M，N两点，若点Q恰为MN的中点，求直线MN的方程.(10分) 解:(1)由题意知，||PA|-|PB||=2<|AB|=2，故动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且a=，c=， ∴b==1，故曲线C的方程为-y2=1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，满足 两式相减得=-，即=(y1-y2)(y1+y2)， ∵点Q为MN的中点，故 ∴=，即直线MN的斜率为，又过点Q，故直线MN的方程为y-1=(x-1)， 即x-2y+1=0. 学科网（北京）股份有限公司 $