第四章数据的集中趋势和离散程度基础训练2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦数据集中趋势与离散程度，以定义理解为核心，通过阶梯式题型构建“概念-计算-图表应用”的完整方法体系，培养数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析与计算|单选10题+填空6题|四分位数定位公式、中位数排序法、方差简化计算|从集中趋势（平均数/众数/中位数）到离散程度（方差/极差），形成统计量概念链| |图表分析与应用|单选5题+填空2题|箱线图三要素读取（四分位数/中位数/极差）、数据分布比较|通过箱线图实现统计量可视化，建立“数据-图表-结论”的转化逻辑| |综合实践与迁移|解答题3题|稳定性（方差）与潜力（极值）双维度评估、数据变换规律迁移|结合实际情境（竞赛成绩/射击训练），培养用数学语言分析决策的应用意识|

第四章 数据的集中趋势和离散程度 一、单选题 1．某班级10名学生的数学成绩(单位∶分)为∶68，75，78，82，84，88，90，95，55，62．该组数据的四分位数分别是（  ） A．65，80，89 B．68，80，88 C．62，78，88 D．78，86，95 2．某汽车4S店2024年1月至10月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，24，27，19，25，25，32，37，35，40，则关于这组数据的结论错误的是（   ） A．极差为24 B．平均数为28 C．众数为25 D．中位数为25 3．关于箱线图的说法错误的是（    ） A．箱线图可以反映数据的分布情况 B．箱线图可以用来对样本数据分布的形状进行判断 C．“箱子”部分包含了样本50%的数据 D．“箱子”左右两侧的每条水平线段包含了样本50%的数据 4．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/ 人数 2 3 2 3 4 1 某同学分析上表后得出如下结论：①这些运动员成绩的平均数是；②这些运动员成绩的中位数是；③这些运动员成绩的众数是．上述结论中正确的是（   ） A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 5．某支排球队队员身高情况箱线图如图所示，则该排球队队员身高的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 6．某舞蹈班学生的身高箱线图如图所示，则该班学生身高的第三四分位数为（     ） A． B． C． D． 7．在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列说法正确的是（    ） A．在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为 B．在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数大于西安每天的最高温度的中位数 C．在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D．在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于 8．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 9．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数为（    ） A．290 B．295 C．300 D．330 10．从小到大排列的一组数据：1，2，3，5，6，7，8，9，10，14，15，18．这组数据的第一四分位数为（    ） A．3 B．4 C．10 D．12 二、填空题 11．某地10家电商6月份的销售额如下表所示，销售额的中位数为 _______万元． 销售额（万元） 1 2 3 11 电商（家） 1 4 3 2 12．如图是某班学生一周零花钱情况的箱线图，则这组数据的下四分位数是___________元． 13．数据组2，4，6，8，10，12的中位数是____________，下四分位数是____________，上四分位数是____________． 14．一组数据按从小到大排列：16，25，33，39，43，m，65，70．若这组数据的第三四分位数与第一四分位数的和是85，则m的值为________． 15．车间4名工人单日加工零件的个数分别为9，12，18，9，若将这4名工人按照完成的个数大小排序后分成两组，共有以下3种情况，分别计算组内离差平方和，可以得到表中的结果： 分组情况 组内离差平方和 和 和 和 分组情况和的组内离差平方和是________，依据以上计算结果，合理的分组情况是________． 16．如图是某两个理财团队负责的产品的收益率的箱线图，现有一笔资金想要投入理财账户中，则从总体经营效益与稳健度方面，应该选择团队______.（填“A”或“B”） 三、解答题 17．用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差： 甲组 1 2 3 4 5 乙组 100 200 300 400 500 (1)比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？ (2)如果用科学计算器计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，你能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算吗？请你试一试． 18．为强化学生圆锥曲线专题的知识解题运用，某学校组织了一场关于圆锥曲线的知识素养竞赛，该竞赛共有5题，每题满分均为12分，下面是高二（六）班甲、乙同学的答题情况． 学生甲： 题号 1 2 3 4 5 得分 12 12 12 5 1 学生乙： 题号 1 2 3 4 5 得分 8 8 10 8 8 (1)补全下列表格； 学生 平均数 众数 中位数 方差 甲 8.4 乙 8 8 0.64 (2)高二（六）班假定在学生甲、乙中派遣一人参加该素养竞赛的决赛，试从两名同学的稳定性与潜力两个角度分别确定选择派遣的同学． 19．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9    乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： (1)_____；_____；_____； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ (3)若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 数据的集中趋势和离散程度参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A A C A C B B 1．B 【分析】本题考查了统计中的中位数，四分位数，正确理解定义是解题的关键．通过计算中位数和四分位数，验证各选项的正确性即可． 【详解】解：将数据排序后为：55，62，68，75，78，82，84，88，90，95， 数据个数为10（偶数）， 中位数为， 下四分位数为：68， 上四分位数为：88， 故该组数据的四分位数分别是：68，80，88． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和极差的求法．分别求出平均数、中位数、众数和极差进行判断即可． 【详解】解：此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为： 16，19，24，25，25，27，32，35，37，40， 极差：， 平均数：， 众数：出现次数最多的数是25， 中位数：． 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了箱线图，理解箱线图的定义是解题关键． 根据箱线图的定义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、箱线图可以反映数据的分布情况，选项说法正确，不符合题意； B、箱线图可以用来对样本数据分布的形状进行判断，选项说法正确，不符合题意； C、“箱子”部分包含了样本50%的数据，选项说法正确，不符合题意； D、“箱子”左右两侧的每条水平线段包含了样本的数据，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数． 根据平均数、中位数、众数的意义求解即可． 【详解】解：①这些运动员成绩的平均数是，原说法不正确； ②这些运动员成绩的中位数是从小到大排列第8个数为，原说法正确； ③这些运动员成绩出现最多的是，则众数是，原说法正确； 故选：A． 5．A 【分析】根据箱线图中从上到下的第二个数据为第三四分位数求解即可． 【详解】解：由箱线图知，该排球队队员身高的第三四分位数是． 6．C 【分析】根据箱线图的定义，箱体的上边缘表示第三四分位数，下边缘表示第一四分位数，中间线表示中位数，直接读图即可． 【详解】解：在箱线图中，箱体的上边界线对应的数据即为第三四分位数， 由图可知，该班学生身高的第三四分位数为． 7．A 【分析】本题考查了统计中的中位数，箱线图，四分位数，正确理解定义是解题的关键．从箱线图中可获取数据的最大值、最小值和四分位数以及中位数，据此进行分析比较即可． 【详解】解：A、由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为，故该选项符合题意； B、由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数为，西安每天的最高温度的中位数为，故济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故该选项不符合题意； C、箱线图反映的是整体分布趋势，并非“每一天”的温度都严格高于，济南的最低温度可能低于西安的最低温度，但济南的最高温度也可能高于西安的最高温度，因此“都高于”的表述过于绝对，故该选项不符合题意； D、由箱线图可得西安每天的最高温度的中位数为，西安有超过一半的天数最高温度不低于，故该选项不符合题意； 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意； 9．B 【分析】本题考查了四分位数的计算，解题关键是正确排序并使用四分位数的位置公式进行计算． 要确定这组数据的第三四分位数（即上四分位数），首先需要将数据按从小到大的顺序排列，然后根据四分位数的位置公式计算出位置，再根据位置确定对应的数值． 【详解】解：首先，将这组数据从小到大排列： ， 数据共有个． 第三四分位数的位置为：． 当位置为整数时，第三四分位数为第项和第项的平均值： ． 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查四分位数的求法，掌握四分位数的求法是解题的关键． 第一四分位数是数据从小到大排列后，前半部分数据的中位数． 【详解】解：∵数据个数，是偶数， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即. ∵第一四分位数是前半部分数据（前个数据：）的中位数，且前半部分数据个数为，是偶数， ∴第一四分位数为第和第个数据的平均值，即. 故选：B． 11． 【分析】根据中位数的定义进行解答即可． 【详解】解：10家电商6月份的销售额为：1，2，2，2，2，3，3，3，11，11， 中位数为第5个数和第6个数的平均数，即中位数为（万元）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 12．13 【分析】本题主要考查了箱线图，理解箱线图和下四分位数的定义是解题关键． 四分位数是把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值．这三个关键的分割点位置上的数值分别被称为第一四分位数（，较小四分位数）、第二四分位数（，中位数）和第三四分位数（，较大四分位数）．具体来说：第一四分位数（）：等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，也称为下四分位数．第二四分位数（）：等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，即中位数．第三四分位数（）：等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，也称为上四分位数．根据箱线图和下四分位数的定义即可得解． 【详解】解：箱线图的箱体的下端竖线的对应值为13， ∴这组数据的下四分位数是13． 故答案为：13． 13． 7 4 10 【分析】本题考查中位数和四分位数的计算．对于有序数据集，中位数是中间位置的数；下四分位数是数据下半部分的中位数，上四分位数是数据上半部分的中位数． 根据中位数、四分位数的计算方法解答即可． 【详解】解：数据已排序：．数据个数． 中位数：由于为偶数，中位数为第个数据和第个数据的平均值，即． 下四分位数：数据下半部分包括前个数据，其中位数为． 上四分位数：数据上半部分包括后个数据，其中位数为． 故答案为：；；． 14． 【分析】根据四分位数计算规则得到第一四分位数和第三四分位数，再根据两者的和为列方程求解． 【详解】解：方法一：共8个数据，， 因此第一四分位数为第个和第个数据的平均数，为， ， 因此第三四分位数为第个和第个数据的平均数，为， 由题意得， 解得； 方法二：共8个数据， 因此第一四分位数为前半部分的中位数，为， 第三四分位数为后半部分的中位数，为， 由题意得， 解得． 15． 和 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算待求分组两个组的离差平方和，求和得到总组内离差平方和，再比较三个分组的组内离差平方和，组内离差平方和越小，组内数据差异越小，分组越合理． 【详解】解：分组的离差平方和：该组平均数，离差平方和为． 分组的离差平方和：该组平均数，离差平方和为． 因此该分组的总组内离差平方和为． 比较三个分组的组内离差平方和得，组内离差平方和越小，分组越合理， 因此合理分组为和． 16．B 【分析】本题考查了箱线图等知识，理解箱线图是解题关键．根据箱线图可得团队A的收益率波动更大，稳定性差；团队B的收益率波动更小，更稳健，同时收益率整体水平更高，据此即可求解． 【详解】解：由箱线图可得，团队A的收益率范围是2.02到4.89，波动更大，稳定性差；团队B的收益率范围是3.18到4.44，波动更小，更稳健，同时收益率整体水平更高，总体效益更好． 故答案为：B． 17．(1)乙组每个数据是甲组对应数据的100倍，乙组的平均数是甲组平均数的100倍，乙组方差是甲组方差的10000倍 (2)平均数为0.03，方差为0.0002． 【分析】（1）根据平均数和方差公式分别进行计算即可得出答案； （2）根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）甲组数据的平均数为（1+2+3+4+5）＝3， 方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2； 乙组数据的平均数为（100+200+300+400+500）＝300， 方差为 [（100﹣300）2+（200﹣300）2+（300﹣300）2+（400﹣300）2+（500﹣300）2]＝20000； 比较这两组数据，它们的对应关系是乙组每个数据是甲组对应数据的100倍，乙组的平均数是甲组平均数的100倍，乙组方差是甲组方差的10000倍； （2）能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算，方法如下： ∵甲组数据的平均数是2，方差为2， ∴0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数为3÷100＝0.03，方差为2÷10000＝0.0002． 【点睛】本题考查了方差和平均数，解答本题的关键通过计算平均数和方差得出规律． 18．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）根据平均数，众数，中位数，方差的计算方法分别求解； （2）由（1）可知甲乙成绩的平均分相同，从稳定性角度而言，乙的方差远小于甲的方差，故乙比甲稳定；从潜力角度而言，观察到甲前三题均为满分，但乙没有满分题目，而是每一题得分均匀集中在8分，故甲的潜力显然更大． 【详解】（1） 乙平均数：， 甲成绩中得分最多的是12分，所以甲众数为12， 将甲的成绩从高到低排序：12，12，12，5，1，处于中间第3个成绩是12，故甲中位数为12， 甲方差：． 补全表格如下： 学生 平均数 众数 中位数 方差 甲 8.4 12 12 21.04 乙 8.4 8 8 0.64 （2） 由（1）可知甲乙两人成绩的平均数相同，从稳定性角度而言，乙的方差远小于甲的方差，故乙比甲稳定；从潜力角度而言，观察到甲前三题均为满分，但乙没有满分题目，而是每一题得分均匀集中在8分，故甲的潜力显然更大．因此，从稳定性考虑，应派遣乙同学，从潜力考虑，应派遣甲同学． 【点睛】 本题考查平均数，众数，中位数，方差，掌握各个统计量的计算方法与方差的意义是解题的关键． 19．(1)8，8，9 (2) 教练选择甲参加射击比赛的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定， 答：甲的成绩较稳定． (3) 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小，理由如下： 由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差， ， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小． 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； （3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得，； 甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数； 而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数； 故答案为：8，8，9； （2）解：略； （3）解：略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $