北京市2026-2027学年高三上学期期中备考专题强化练习 万有引力与宇宙航行

**基本信息** 以我国航天成就为情境载体，系统整合万有引力定律应用、开普勒定律、宇宙速度等核心内容，通过问题链构建“概念辨析-综合应用-理论推导”三阶训练体系，突出科学思维中的模型建构与科学推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|8单选|公式推导（万有引力提供向心力）、比例法比较物理量|从万有引力定律出发，建立“周期-速度-加速度”与轨道半径的定量关系| |综合应用|3多选+5解答|变轨分析（能量变化）、椭圆轨道机械能守恒|结合开普勒定律，实现圆周运动模型向椭圆轨道的迁移| |理论推导|4解答|曲率半径应用、开普勒定律证明|通过推导第一宇宙速度、论证开普勒第三定律，深化运动与相互作用观念|

北京市2027届高三上学期期中备考专题强化练习 万有引力与宇宙航行 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设想将来发射一颗人造行星，能在地球绕太阳运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该行星与地球相比，一定相同的物理量是（    ） A．线速度 B．环绕周期 C．向心力 D．动能 2．某科学卫星在赤道平面内自西向东绕地球做匀速圆周运动，对该卫星监测发现，该卫星的轨道半径是地球同步卫星轨道半径的一半。则下列说法正确的是（　　） A．该科学卫星的速度小于地球同步卫星的速度 B．该科学卫星在轨运行周期为 C．该科学卫星在轨运行线速度是地球同步卫星在轨运行线速度的倍 D．该科学卫星和地球同步卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积相等 3．2021年5月15日“天问一号”探测器成功在火星软着陆，“祝融号”火星车开始开展巡视探测等工作。我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。已知火星的直径约为地球的50%，质量约为地球的10%，请通过估算判断以下说法正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度大于9.8m/s2 B．“祝融号”火星车在火星表面所受重力大于在地球表面所受重力 C．探测器在火星表面附近的环绕速度大于7.9km/s D．火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度 4．截至2020年11月，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）已取得一系列重大科学成果，发现脉冲星数量超过240颗。脉冲星就是旋转的中子星，每自转一周，就向外发射一次电磁脉冲信号，因此而得名。若观测到某个中子星发射电磁脉冲信号的周期为，该中子星的半径为，已知万有引力常量为，中子星可视为匀质球体，由以上物理量可以求出（　　） A．该中子星的质量 B．该中子星的第一宇宙速度 C．该中子星赤道表面的重力加速度 D．该中子星赤道上的物体随中子星转动的向心加速度 5．仅考虑月球受地球引力作用时，其运动规律同样遵从开普勒行星运动定律。月球受地球的引力在一个周期内随时间的变化规律如图所示。下列说法正确的是（　　） A．内月球的运行速度不断增大 B．内月球的加速度先变大后变小 C．月球和地球距离的最小值与最大值之比为 D．与时刻月球和地球系统的机械能之比为 6．如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球静止卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是（　　） A．a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力 B．周期关系为Ta>Tb>Tc C．线速度的大小关系为 D．向心加速度的大小关系为 7．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同 B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同 C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度 D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量 8．如图所示，中国自行研制、具有完全知识产权的“神舟”飞船某次发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，在B点通过变轨进入预定圆轨道。则（　　） A．飞船在B点通过加速从椭圆轨道进入预定圆轨道 B．在B点变轨后，飞船的机械能减小 C．在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的加速度比B点的小 D．在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的速度比B点的小 二、多选题 9．一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v。引力常数为G，则下列说法正确的是（　　） A．恒星的质量为 B．行星的质量为 C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为 10．2023年5月10日，天舟六号货运飞船进入预定轨道，次日经点火沿运动方向加速，变轨后与中国空间站组合体完成交会对接，在距地球表面约的空间站轨道运行。若在预定轨道和空间站轨道上天舟六号均绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（    ） A．天舟六号的预定轨道高度大于 B．天舟六号在预定轨道上运行时的速度大于 C．天舟六号在预定轨道上做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度 D．天舟六号在预定轨道上的运行周期小于其在空间站轨道上的运行周期 11．飞天揽月，奔月取壤，嫦娥五号完成了中国航天史上一次壮举。如图所示为嫦娥五号着陆月球前部分轨道的简化示意图，Ⅰ是地月转移轨道，Ⅱ、Ⅲ是绕月球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕月球运行的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅱ的远月点和近月点。下列说法正确的是（　　） A．在Ⅱ轨道上稳定运行时经过P点的加速度大于经过Q点的加速度 B．在Ⅳ轨道上绕月运行经过Q点的加速度等于在III轨道上运行时经过Q点的加速度 C．在Ⅳ轨道上绕月运行的周期小于在III轨道上绕月运行的周期 D．由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需在P处向前喷气，由Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道需在Q处向后喷气 三、解答题 12．2024年5月3日，我国自行研制的嫦娥六号探测器顺利发射。如图所示，该探测器于5月8日实施近月制动，顺利进入半径为r的环月轨道。可将探测器的环月轨道飞行视为角速度为的匀速圆周运动。6月2日，着陆器脱离探测器，并成功着陆月球背面，其着陆过程简化为如下过程：让着陆器先在距离预选着陆点约百米高度处悬停，接着发动机提供恒定向上的推力F，使着陆器开始以恒定的加速度竖直下降，经时间t后在月球表面实现“软着陆”。已知着陆器质量为m，月球半径为R，万有引力常量为G。则： (1)求月球的平均密度； (2)着陆器从环月轨道降至悬停处过程，机械能是否守恒，为什么？ (3)求着陆器“软着陆”时的速度v大小。 13．我国的航天事业取得了巨大成就，发射了不同用途的人造地球卫星，它们在不同的轨道上绕地球运行。若一颗质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星到地面的距离为h。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R。 (1)推导地球的第一宇宙速度大小； (2)推导该卫星运行时动能的表达式； (3)开普勒通过大量的观测数据得出所有行星椭圆轨道的半长轴a的立方跟它的公转周期T的平方之比等于一个常量，请你论证对于围绕地球做匀速圆周运动的卫星同样满足类似的规律。 14．已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的影响，求： （1）地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比； （2）地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比； （3）靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比； （4）地球的平均密度与月球的平均密度之比； 15．19世纪末，有科学家提出了太空电梯的构想：在赤道上建设一座直到地球静止卫星轨道的高塔，并在塔内架设电梯。这种电梯可用于发射人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯缓慢地提升到预定轨道高度处，然后再启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去，使其直接进入预定圆轨道。已知地球质量为、半径为、自转周期为，万有引力常量为。 （1）求高塔的高度； （2）若某次通过太空电梯发射质量为的卫星时，预定其轨道高度为； ①若该卫星上升到预定轨道高度时与太空电梯脱离，脱离时卫星相对太空电梯的速度可视为零，试分析说明卫星刚脱离太空电梯后相对地心，将做加速直线运动、圆周运动、近心运动还是离心运动？ ②太空电梯把卫星运送到预定轨道高度后，需用推进装置将卫星在预定轨道处发射进入预定轨道做匀速圆周运动，以地心为参考系，求推进装置需要做的功。 16．天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量为。 (1)某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，、两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心点的距离分别为和。已知太阳和彗星的质量分别为和，不考虑其他天体的影响。 a.求彗星运动至近日点时的加速度大小。 b.在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，质量分别为和、距离为的两个质点间的引力势能。求彗星在椭圆轨道上点处的机械能。 (2)航天工程师可以通过改变卫星的速度来调整其运动轨道，完成复杂的太空任务。当卫星绕地球运动到图所示半径为的圆轨道的某点时，短时间启动卫星发动机，使卫星再获得一个背离地心、大小为其切向速度一半的径向速度，卫星将沿以为焦点的椭圆轨道绕地球运动。不考虑卫星质量的变化。在（1）b研究的基础上，论证椭圆轨道的半长轴与的关系。 17．20世纪人类最伟大的创举之一是实现了在太空翱翔的梦想。如图1所示，在地球表面水平抛射物体时，随着抛射速度的增大，物体被抛射的越来越远。如果没有空气阻力，且不考虑地球自转的影响，当抛射速度达到某一值时，它将绕地球做匀速圆周运动。抛射速度再大，轨道将变成椭圆。已知质量为和，距离为r的两个质点间的引力势能，G为引力常量。 (1)卫星沿圆周轨道运动的情况较为简单。已知地球质量为M，某卫星P质量为m，请推导该卫星在半径为r的圆周轨道上运行时的机械能E； (2)卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂。 a.卫星沿椭圆轨道运动时，它与地心的连线在相等的时间内扫过的面积相等。当卫星运行到椭圆轨道的近地点时，与地心的距离为，速度大小为；当卫星运行到远地点时，与地心的距离为，速度大小为。请推导证明； b.卫星沿椭圆轨道运动时，它的机械能守恒。如图2所示，轨道1、轨道2、轨道3均为椭圆且半长轴均为a，该卫星在三个轨道上运行时的机械能分别为、、。小明同学通过类比（1）问猜想、、相等，请你推理论证他的猜想是否正确。 18．如图所示，横截面积为A、质量为m的柱状飞行器沿半径为R的圆形轨道在高空绕地球做无动力运行。将地球看作质量为M的均匀球体。万有引力常量为G。 （1）求飞行器在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期； （2）在飞行器运行轨道附近范围内有密度为（恒量）的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞行器碰撞后具有与飞行器相同的速度，且碰撞时间很短。频繁碰撞会对飞行器产生持续阻力，飞行器的轨道高度会逐渐降低。观察发现飞行器绕地球运行很多圈之后，其轨道高度下降了。由于，可将飞行器绕地球运动的每一圈运动均视为匀速圆周运动。已知当飞行器到地球球心距离为r时，飞行器与地球组成的系统具有的引力势能。请根据上述条件推导： ①飞行器在半径为R轨道上运行时，所受空气阻力大小F的表达式； ②飞行器由半径为R的轨道下降的过程中，飞行器绕地球运动圈数n的表达式。 19．开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，分别于1609年和1619年发表了下列定律： 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即，k是一个对所有行里都相同的常量。 （1）在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为r的圆轨道。 a．如图所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小v，并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：扇形面积=×半径×弧长） b．请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比。 （2）牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒定律。已知太阳质量为MS、行星质量为MP、太阳和行星间距离为L、引力常量为G，不考虑其它天体的影响。 a．通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量k的表达式； b．实际上太阳并非保持静止不动，如图所示，太阳和行星绕二者连线上的O点做周期均为T0的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为。请推导k′的表达式（用MS、MP、L、G和其它常数表示），并说明k′≈k需满足的条件。 试卷第4页（共8页） 试卷第5页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年9月5日高中物理作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D C D B A ACD CD 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】A．行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，有 得 该行星与地球绕太阳运行轨道相同，所以线速度大小相同，但方向不同，所以线速度不同，故A错误； B．根据 得 该行星与地球绕太阳运行轨道相同，所以环绕周期一定相同，故B正确； C．万有引力充当向心力 该行星与地球质量不一定相等，所以向心力不一定相等，故C错误； D．根据 得 该行星与地球质量不一定相等，所以动能不一定相等，故D错误。 故选B。 2．B 【详解】AC．万有引力提供卫星圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得 解得 结合题意可知 因此科学卫星的速度与地球同步卫星的速度之比为 即该科学卫星在轨运行线速度是地球同步卫星在轨运行线速度的倍，故AC错误； B．根据开普勒第三定律可得 结合题意可知， 联立解得，故B正确； D．科学卫星与地心连线在时间内扫过的面积为 地球同步卫星与地心连线在时间内扫过的面积 二者之比为，故D错误。 故选B。 3．D 【详解】AB．探测器在星球表面受到重力等于万有引力 解得星球表面重力加速度 已知火星的直径约为地球的50%，质量约为地球的10%，地球的重力加速度 则火星表面的重力加速度 可得“祝融号”火星车在火星表面所受重力小于在地球表面所受重力，故AB错误； CD．探测器在星球表面，绕星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 得第一宇宙速度 探测器在地球表面飞行的速度即第一宇宙速度为7.9km/s，则探测器在火星表面附近的环绕速度即火星表面的第一宇宙速度为 故C错误D正确。 故选D。 4．D 【详解】A．电磁脉冲信号的周期即为中子星的自转周期，所以中子星的静止卫星的周期为，根据牛顿第二定律得 因为静止卫星的高度未知，所以中子星的质量无法求解。A错误； BC．该中子星的近地卫星速度即为第一宇宙速度，有 因为中子星质量未知，所以中子星的重力加速度或第一宇宙速度无法求解。BC错误； D．该中子星赤道上的物体随中子星转动的向心加速度 D正确。 故选D。 5．C 【详解】A．根据图像可知，在内月球受地球的引力在不断减小，根据万有引力公式 可知月球离地球的距离在不断增大，则月球的运行速度不断减小，故A错误； B．根据牛顿第二定律有 可得 因月球离地球的距离在不断增大，故内月球的加速度不断减小，故B错误； C．设月球与地球之间的最小距离为，最大距离为，根据万有引力公式 并结合图像，可知距离最小时万有引力最大为 距离最大时万有引力最小为 联立解得，故C正确； D．月球在同一轨道运动，月球和地球系统的机械能守恒，故D错误。 故选C。 6．D 【详解】A．b、c围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，a为地球赤道上的物体，由万有引力的一个分力提供向心力。故A错误； B．c为地球静止卫星，a为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期相等，根据 解得 由图可知 可得 Ta=Tc>Tb 故B错误； C．c为地球静止卫星，根据 a、c角速度相等，a的轨道半径小一些，则有 根据 解得 c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的线速度小于b的线速度，则有 故C错误； D．c为地球静止卫星，根据 a、c角速度相等，a的轨道半径小一些，则有 根据 解得 由于c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的加速度小于b的加速度，则有 故D正确。 故选D。 7．B 【详解】A．从轨道1变轨到轨道2，需要加速，故在轨道2上经过P点速度更大，故A错误； B．根据公式，可得 故只要到地心距离相同，加速度就相同，故不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同，B正确； C．卫星在椭圆轨道1绕地球E运行，到地心距离变化，运动过程中的加速度在变化， C错误； D．卫星在轨道2做匀速圆周运动，运动过程中的速度方向时刻在变，所以动量方向不同，D错误。 故选B。 8．A 【详解】A．椭圆轨道相对于预定圆轨道是低轨道，由低轨道变轨到高轨道，需要在切点位置向后喷气加速，即飞船在B点通过加速从椭圆轨道进入预定圆轨道，A正确； B．根据上述，在B点需要向后喷气加速才能变轨到预定轨道，喷气过程中，气体对飞船做正功，则飞船的机械能增大，B错误； C．根据 解得 A点为近地点，B点为远地点，A点到地心的间距小于B点到地心的间距，则在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的加速度比B点的大，C错误； D．在椭圆轨道上运行时，当飞船由A点运动到B点过程中，飞船到地心之间的间距逐渐增大，则引力做负功，势能增大，动能减小，即速度减小，即在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的速度比B点的大，D错误。 故选A。 9．ACD 【详解】AB．根据万有引力提供向心力 解得 故A正确，B错误； C．根据线速度和角速度关系有 故C正确； D．根据向心加速度公式 故D正确。 故选ACD。 10．CD 【详解】A．天舟六号要想与空间站对接，必须在低轨道上加速才能完成，可知天舟六号的预定轨道高度小于，选项A错误； B．7.9km/s是所有环绕地球做圆周运动卫星的最大速度，可知天舟六号在预定轨道上运行时的速度小于，选项B错误； C．根据 可知 可知，天舟六号在预定轨道上做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，选项C正确； D．根据 因天舟六号的轨道半径小于空间站的轨道半径，可知天舟六号在预定轨道上的运行周期小于其在空间站轨道上的运行周期，选项D正确。 故选CD。 11．BC 【详解】A．根据 可知，在Ⅱ轨道上稳定运行时经过P点的加速度小于经过Q点的加速度，选项A错误； B．根据 可知，在Ⅳ轨道上绕月运行经过Q点的加速度等于在III轨道上运行时经过Q点的加速度，选项B正确； C．根据开普勒第三定律 可知，在Ⅳ轨道上绕月运行的周期小于在III轨道上绕月运行的周期，选项C正确； D．由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需减速制动，则需在P处向前喷气；由Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道需在Q处减速，则也需向前喷气，选项D错误。 故选BC。 12．(1) (2)不守恒，因为燃气对着陆器的推力做负功 (3) 【详解】（1）对探测器，根据牛顿第二定律有 故月球密度 解得 （2）着陆器从环月轨道降至悬停处过程，需要向前喷气减速，即燃气对着陆器的推力做负功，使着陆器的机械能减小，故着陆器从环月轨道降至悬停处过程，机械能不守恒。 （3）对着陆器，根据动量定理有 解得 13．(1) (2) (3) 【详解】（1）万有引力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得 解得地球的第一宇宙速度 （2）根据万有引力提供圆周运动的向心力，则有 根据动能的公式 联立解得卫星的动能表达式 （3）根据万有引力提供向心力，则有 根据周期的公式 联立可得 解得 即围绕地球做匀速圆周运动的卫星同样满足类似的规律。 14．（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）物体在星球表面受到的万有引力等于重力，则有 可得 则有 （2）星球的第一宇宙速度等于卫星在该星球表面绕星球做匀速圆周运动时的线速度，则有 解得 则有 （3）根据万有引力提供向心力可得 解得 则有 （4）根据 解得 则有 15．（1）；（2）①万有引力超过所需向心力，卫星脱离后做近心运动；② 【详解】（1）塔高为静止卫星的轨道高度，设静止卫星质量为，由万有引力提供向心力有 可得 （2）①由于卫星脱离太空电梯时的角速度和静止卫星角速度相同，均为，而轨道高度为的圆轨道卫星角速度，由于 万有引力超过所需向心力，卫星脱离后做近心运动。 ②卫星被缓慢运送至高处时的速度大小为 高处的圆轨道卫星速度为，则由 可得 推进装置需要做的功 16．(1)a.；b. (2) 【详解】（1）a.彗星运动至近日点时，根据牛顿第二定律有 解得 b.设彗星在点处的速度大小为，则有 结合题中信息，得彗星在点处的机械能为 其中，联立解得 （2）设地球质量为卫星质量为，卫星经过圆轨道某点时的速度大小为。卫星在圆轨道上圆周运动时，万有引力提供向心力有 启动发动机后，卫星的合速度为 根据已知条件，则卫星沿椭圆轨道运行的机械能为 设卫星在椭圆轨道的机械能为，根据（1）b的结论，有 所以 17．(1) (2)a. 在很短时间内，卫星与地心的连线扫过的面积为，把它近似看成三角形面积，对于近地点 对于远地点 且 由速度定义有， 联立解得 b. 他的猜想正确，推理论证如下： 卫星沿椭圆轨道运动时的机械能守恒，近地点时的机械能 远地点时的机械能 根据（2）a问中的结论 结合几何关系 联立可得 由上式说明，当卫星椭圆轨道的半长轴相等时，机械能不变，即三个轨道上的机械能相等，猜想正确。 【详解】（1）对于圆轨道运行的卫星 根据机械能的定义 联立可得 （2）a.略； b.略。 18．（1）；（2）①；② 【详解】（1）飞行器在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动，根据万有引力提供向心力，并结合牛顿第二定律可知 解得 （2）①横截面积为A的飞行器，经过时间运动到虚线位置，该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为 以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们获得的速度为v，设飞行器给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力为，取飞行器运动方向为正方向，对部分稀薄空气颗粒，根据动量定理可知 对飞行器研究，根据万有引力定律和牛顿第二定律可知 解得 根据牛顿第三定律，飞行器所受所受空气阻力大小F的大小为 ②设飞行器在R轨道运行时的速度为v，动能为，势能为，机械能为，根据牛顿第二定律和万有引力定律可知 飞行器的动能为 势能为 则机械能为 飞行器高度下降，在半径的轨道运行，且 同理可得机械能为 飞行器高度下降，其机械能改变量为 飞行器机械能减少是因为克服空气阻力做功，设飞行器在沿半径为R的轨道运行一周过程中，稀薄空气颗粒作用于飞行器的阻力做功为，利用微小量积累的方法可知 上式表明飞行器在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是恒量，与轨道半径无关，则 解得 19．（1）a．根据扇形面积公式可得时间内行星扫过的扇形面积满足 解得 根据开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，即为常量，则行星绕太阳运动的线速度的大小v也为常量，所以行星做匀速圆周运动； b．设行星质量为m，根据题意可知行星的圆周运动由太阳对行星的引力F提供向心力，则根据牛顿第二定律有 根据开普勒第三定律可得 即 联立以上两式可得 其中为常量，则太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比； （2）a．；b．，行星质量远小于太阳质量 【详解】（1）a．略； b．略； （2）a．行星绕太阳做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有 解得 b．设行星做匀速圆周运动的轨道半径为r，太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，则有 行星做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有 太阳做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有 将以上两式相加可得 解得 则若要使k′≈k，即 需要行星的质量远小于太阳的质量。 答案第12页（共13页） 答案第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $