2.2 从立体图形到平面图形 课时作业 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学第一章“从立体图形到平面图形”同步练，分层设计清晰，知识巩固从单一概念到综合应用递进，培养空间观念与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|几何体展开图、正方体展开图等基础知识点|选择填空直接考查概念，解答题训练基本技能| |B组|截面形状判断、三视图还原综合应用|变式训练（如移动小正方形构展开图）提升推理能力| |C组|跨知识点（展开图与相对面、长方体表面路径）|结合实际情境（蚂蚁爬行路径）培养创新意识|

北师大版数学七年级上册 第一章 2 从立体图形到平面图形 课时作业 第一章 丰富的图形世界 2 从立体图形到平面图形 课 时 作 业 班级：____________ 姓名：____________ 得分：__________ 用时：________分钟 学习目标 1. 会把常见几何体展开成平面图形，认识正方体的 11 种展开图，并能判断一个平面图形能否折成正方体；2. 知道用一个平面去截几何体所得截面的形状；3. 会画简单几何体（由小正方体搭成）的主视图、左视图和俯视图，并能由三视图还原几何体。 一、知识梳理 知识点 1 几何体的表面展开图 把一个立体图形的表面沿某些棱（或母线）剪开，展开成一个平面图形，这个平面图形叫做该立体图形的表面展开图。 图 2-1 圆柱与圆锥的表面展开图 几何体 侧面展开后的形状 底面 圆柱 长方形（宽等于圆柱的高，长等于底面圆的周长） 2 个大小相同的圆 圆锥 扇形 1 个圆 n 棱柱 n 个长方形拼成的大长方形 2 个全等的 n 边形 n 棱锥 n 个三角形 1 个 n 边形 球 不能展开成平面图形 — 图 2-2 三棱柱与四棱柱的表面展开图 注意 同一个几何体，沿不同的棱剪开，可以得到不同的展开图；球面无法展开成平面图形，这就是绘制世界地图时总会产生变形的原因。 知识点 2 正方体的 11 种展开图 把正方体沿棱剪开展平，共可以得到 11 种不同的平面图形（不考虑旋转和翻折得到的重复图形）。按每行小正方形的个数，可以归纳为四种类型。 图 2-3 正方体的 11 种表面展开图 类型 种数 特征 一四一型 6 种 中间一行 4 个，上、下各 1 个 二三一型 3 种 三行分别是 2 个、3 个、1 个 二二二型 1 种 三行各 2 个，呈阶梯状 三三型 1 种 两行各 3 个，错开一格 口诀 一四一、二三一，一在同层可任意；二二二成阶梯，三三只有连一起；凡是"田"字与"凹"字，或有"日"字都不行。 判断"相对面"的常用方法：在展开图中， （1）同一行（或同一列）中，中间隔一个小正方形的两个面，是相对的面； （2）呈"Z"字形（或"品"字形错开）排列的两端的两个面，是相对的面。 知识点 3 截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面的形状与几何体的形状以及截面的方向、位置都有关系。 图 2-4 用平面截正方体所得的截面 用一个平面去截正方体，截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形，但不可能是七边形（因为正方体只有 6 个面，截面最多与 6 个面相交）。 图 2-5 用平面截圆柱、圆锥和球 几何体 可能得到的截面形状 正方体 三角形、四边形（长方形、正方形、梯形等）、五边形、六边形 圆柱 圆（横截）、长方形（纵截）、椭圆（斜截） 圆锥 圆（横截）、三角形（过顶点纵截）、椭圆等（斜截） 球 圆（无论怎样截，截面都是圆） 知识点 4 从三个方向看物体的形状 从正面看到的图形叫做主视图；从左面看到的图形叫做左视图；从上面看到的图形叫做俯视图。它们合称三视图。 图 2-6 由小正方体搭成的几何体及其三视图 画法要点 ① 主视图反映物体的长和高；② 左视图反映物体的宽和高；③ 俯视图反映物体的长和宽；④ 主视图与俯视图长度相等（长对正），主视图与左视图高度相等（高平齐），左视图与俯视图宽度相等（宽相等）。 若在俯视图的每个小方格中标出数字，表示该位置上小正方体的个数，就能唯一确定这个几何体。 图 2-7 在俯视图上标数字表示小正方体的个数 二、典例精析 例 1 判断能否折成正方体 下列四个平面图形中，哪些能沿虚线折叠成一个正方体？ 图 2-8 例 1 用图 【解】②④能折成正方体，①③不能。 【解析】②是"二二二型"（阶梯状），④是"一四一型"，都属于正方体的 11 种展开图； ①中出现了"田"字形的一部分，折叠后会有两个面重合，不能围成正方体； ③是"田"字形（2 行 3 列），折叠时必然有面重叠，也不能围成正方体。 例 2 确定相对的面 如图 2-9，将下列展开图折成正方体，回答问题。 图 2-9 例 2 用图 （1）在图（2）中，与面 A 相对的是哪个面？ （2）在图（3）中，与面 1 相对的是哪个面？ （3）在图（4）中，与"数"字相对的是哪个字？ 【解】（1）与 A 相对的是 D；（2）与 1 相对的是 3；（3）与"数"相对的是"意"。 【解析】图（2）是"二二二型"阶梯状展开图。在阶梯型展开图中，沿阶梯方向每隔两个的两个面互为对面，故 A 与 D 相对，B 与 E 相对，C 与 F 相对。 图（3）中，1、2、3、4 在同一行。同一行中间隔一个面的两个面互为对面，所以 1 与 3 相对、2 与 4 相对，剩下的 5 与 6 相对。 图（4）中，"学""真""有""意"在同一行，间隔一个的两面相对，所以"学"与"有"相对、"真"与"意"相对； 　　剩下的"数"与"思"互为对面。也可以这样看："数—真—有—思"四格恰好排成一个"Z"字形，"Z"字形两端的两个面互为对面，故"数"与"思"相对。 例 3 由三视图还原几何体 用小正方体搭成一个几何体，其俯视图及每个位置上小正方体的个数如图 2-7 所示，请画出它的主视图和左视图，并求出小正方体的总个数。 【解】主视图共 3 列，从左到右各列的高度依次是 3 层、2 层、2 层； 左视图共 2 列，从前到后各列的高度依次是 3 层、2 层； 小正方体的总个数为 3 + 1 + 2 + 1 + 2 = 9（个）。 【解析】主视图的每一列的高度，等于俯视图中该列所有数字的最大值；左视图的每一列的高度，等于俯视图中该行所有数字的最大值。 三、课时作业 A 组 基础巩固 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 下列几何体中，表面不能展开成平面图形的是（　　） 　　A. 圆柱　　　B. 圆锥　　　C. 三棱柱　　　D. 球 2. 圆柱的侧面展开图是（　　） 　　A. 圆　　　B. 长方形　　　C. 扇形　　　D. 三角形 3. 正方体的表面展开图共有（　　） 　　A. 6 种　　　B. 8 种　　　C. 11 种　　　D. 无数种 4. 用一个平面去截一个球，得到的截面形状一定是（　　） 　　A. 圆　　　B. 椭圆　　　C. 长方形　　　D. 三角形 5. 用一个平面去截正方体，下列图形中不可能是截面形状的是（　　） 　　A. 三角形　　　B. 五边形　　　C. 六边形　　　D. 七边形 6. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是圆，则这个几何体是（　　） 　　A. 圆柱　　　B. 圆锥　　　C. 球　　　D. 正方体 7. 一个几何体的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，则这个几何体是（　　） 　　A. 球　　　B. 圆柱　　　C. 圆锥　　　D. 长方体 8. 用一个平面去截圆锥，若截面经过圆锥的顶点，则截面形状是（　　） 　　A. 圆　　　B. 椭圆　　　C. 三角形　　　D. 长方形 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 9. 三棱柱的表面展开图中，有______个长方形和______个三角形。 10. 一个圆柱的底面半径为 3 cm，高为 5 cm，则它的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的一边长为______cm（用含 π 的式子表示），另一边长为______cm。 11. 用一个平面去截一个圆柱，若截面与底面平行，则截面是______；若截面与底面垂直，则截面是______。 12. 一个几何体的三视图都是正方形，则这个几何体是____________。 13. 正方体的展开图中，"一四一型"共有______种，"二三一型"共有______种。 14. 把一个正方体的六个面分别标上 1，2，3，4，5，6，且 1 与 3 相对，2 与 5 相对，则与 4 相对的数是______。 15. 一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，它的主视图和左视图都是 2 行 2 列的正方形，则搭成这个几何体最少需要______个小正方体，最多需要______个小正方体。 三、解答题（共 28 分） 16.（8 分）如图 2-9（1）所示的展开图，折成正方体后："前"面的对面是哪一面？"左"面的对面是哪一面？"上"面的对面是哪一面？ 17.（10 分）如图 2-6，用 5 个大小相同的小正方体搭成一个几何体。 　　（1）分别画出它的主视图、左视图和俯视图（可在下面的方格中画）； 　　（2）若在这个几何体上再添加 1 个小正方体（放在地面上或已有正方体的正上方），使它的主视图和左视图都不改变，有几种不同的添加方法？ 18.（10 分）小明用一块长方形的纸片做一个圆柱形纸筒的侧面，纸片的长为 25.12 cm，宽为 10 cm（π 取 3.14）。 　　（1）若以长为底面圆的周长，求这个圆柱的底面半径和高； 　　（2）若以宽为底面圆的周长，求这个圆柱的底面半径和高。 B 组 能力提升 19.（8 分）如图 2-8 中的图形①，请在它的基础上移动其中一个小正方形的位置，使新图形能折成一个正方体。请写出至少两种不同的移法（可用文字描述，也可画图说明）。 20.（8 分）用一个平面去截一个正方体。 　　（1）要使截面是三角形，应怎样截？这个三角形可能是等边三角形吗？ 　　（2）要使截面是正六边形，应怎样截？ 　　（3）截面能是圆吗？为什么？ 21.（8 分）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其俯视图如下（方格中的数字表示该位置小正方体的个数）： 图 2-10 第 21 题用图 　　（1）这个几何体共由多少个小正方体搭成？ 　　（2）画出它的主视图和左视图； 　　（3）在不改变主视图、左视图和俯视图形状（即不占用新的方格）的前提下，最多还能再添加多少个小正方体？ C 组 拓展探究 22.（10 分）一个正方体的六个面上分别写着 1，2，3，4，5，6 这六个数字。把它放在桌面上，从三个不同的角度观察（每次都能看到相邻的三个面），结果如下表： 观察次序 上面 前面 右面 第一次 1 2 3 第二次 5 1 3 第三次 6 2 1 　　请分别求出与 1、2、3 相对的面上的数字，并简要说明理由。 23.（8 分）一个长方体的长、宽、高分别为 6 cm、4 cm、3 cm。 　　（1）它的表面展开图的面积是多少？ 　　（2）一只蚂蚁从长方体的一个顶点沿表面爬到相对的顶点，它可以沿着展开图走直线。请你把长方体展开，比较不同展开方式下路程的长短（只需列出需要比较的三个数值的表达式，不必求出最后结果）。 四、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1. D　2. B　3. C　4. A　5. D　6. C　7. B　8. C 详解： 1. 球面是一个封闭的曲面，无法展开成平面图形，选 D。 2. 沿一条母线剪开，圆柱的侧面展开后是长方形，选 B。 3. 正方体的表面展开图共 11 种，选 C。 4. 无论用什么方向的平面去截球，截面都是圆，选 A。 5. 正方体只有 6 个面，截面最多与 6 个面相交，因此最多是六边形，不可能是七边形，选 D。 6. 三视图都是圆的几何体只有球，选 C。 7. 俯视图是圆说明底面是圆，主视图和左视图是长方形说明是柱体，所以是圆柱，选 B。 8. 过圆锥顶点的截面与底面圆交于一条弦，截面是以该弦为底、以顶点为顶的三角形，选 C。 二、填空题 9. 3；2 三棱柱有 3 个侧面（都是长方形）和 2 个底面（都是三角形）。 10. 6π；5 侧面展开成长方形，它的一边等于底面圆的周长 2πr = 2 × π × 3 = 6π（cm），另一边等于圆柱的高 5 cm。 11. 圆；长方形 12. 正方体 13. 6；3 14. 6 六个面两两相对，共 3 组。已知 1 与 3 相对、2 与 5 相对，剩下 4 与 6，所以与 4 相对的是 6。 15. 4；8 主视图与左视图都是 2 行 2 列，说明这个几何体的长、宽、高都是 2 个小正方体。 最少时：底层放 2 个（分别在左前、右后），上层放 2 个（在其正上方），共 4 个即可满足； 最多时：把 2 × 2 × 2 的空间全部填满，共 8 个。 三、解答题 16.“前”的对面是“后”；“左”的对面是“右”；“上”的对面是“下”。 图 2-9（1）是标准的"一四一型"十字展开图。中间一行依次是"左""前""右""后"，同一行中间隔一个面的两个面相对，所以"左"与"右"相对、"前"与"后"相对；剩下上、下两个面相对。 17.（1）见解析　（2）2 种 （1）主视图：底层 3 个小正方形（左、中、右），第二层在最左边 1 个； 　　左视图：底层 2 个小正方形（前、后），第二层在前面 1 个； 　　俯视图：底层一行 3 个，另在最左边的后方再加 1 个。 （2）要使主视图和左视图都不变，新添加的小正方体必须被原有的正方体"挡住"。 　　把俯视图的方格记为：前排从左到右为甲、乙、丙，后排最左为丁。 　　经逐一检验，只能把新正方体放在后排的中间格或后排的右边格（即乙、丙两格的正后方，且都放在地面上）， 　　共有 2 种不同的添加方法。 18.（1）底面半径 4 cm，高 10 cm　（2）底面半径 约 1.59 cm，高 25.12 cm （1）由 2πr = 25.12，得 2 × 3.14 × r = 25.12，6.28r = 25.12，所以 r = 25.12 ÷ 6.28 = 4（cm）。 　　此时圆柱的高就是纸片的宽，即 10 cm。 （2）由 2πr = 10，得 6.28r = 10，所以 r = 10 ÷ 6.28 ≈ 1.59（cm）。 　　此时圆柱的高就是纸片的长，即 25.12 cm。 　　可见同一张纸片，卷法不同，得到的圆柱也不同。 B 组 能力提升 19. 答案不唯一，下面给出两种移法。 图形①是"田"字形的 4 个小正方形再加 2 个，折叠时"田"字部分必然重叠。 移法一：把右上角的那个小正方形移到最左边一列的下方，使图形变成"一四一型"，即可折成正方体； 移法二：把最上面的小正方形移到最下面一行的右端，使图形变成"二三一型"，也可折成正方体。 检验方法：看新图形是否属于"一四一、二三一、二二二、三三"这四种类型，且不含"田"字或"凹"字结构。 20.（1）见解析，可能是等边三角形　（2）过六条棱的中点截　（3）不能 （1）用一个平面去截正方体的一个角，使截面与从同一顶点出发的三条棱都相交，截面就是三角形。 　　若这三个交点到公共顶点的距离都相等，则截得的三角形的三条边都是相等的斜边，所以是等边三角形。 （2）取正方体六条棱的中点（这六条棱不经过同一个顶点，且首尾相接），过这六个点的平面截正方体， 　　所得截面就是一个正六边形。 （3）不能。因为正方体的每个面都是平面，平面与平面相交只能得到线段（直的）， 　　所以截面的每条边都是线段，它是一个多边形，不可能是圆。 21.（1）9 个　（2）见解析　（3）2 个 （1）把俯视图中的数字相加：3 + 1 + 2 + 1 + 2 = 9（个）。 （2）主视图各列的高度取俯视图中对应列数字的最大值： 　　左列 max(3, 1) = 3，中列 max(1, 2) = 2，右列 max(2) = 2，故主视图是"3、2、2"的阶梯形； 　　左视图各列的高度取俯视图中对应行数字的最大值： 　　前行 max(3, 1, 2) = 3，后行 max(1, 2) = 2，故左视图是"3、2"的阶梯形。 （3）在不改变主视图和左视图的条件下，每个方格中小正方体的个数最多只能增加到 　　"该列在主视图中的高度"与"该行在左视图中的高度"两者中的较小者。 　　各列高度为 3、2、2，各行高度为 3、2，逐格计算上限： 　　左列前格上限 min(3, 3) = 3，现有 3，可加 0 个；中列前格上限 min(2, 3) = 2，现有 1，可加 1 个； 　　右列前格上限 min(2, 3) = 2，现有 2，可加 0 个；左列后格上限 min(3, 2) = 2，现有 1，可加 1 个； 　　中列后格上限 min(2, 2) = 2，现有 2，可加 0 个。 　　所以最多还能再添加 1 + 1 = 2（个）小正方体。 C 组 拓展探究 22. 与 1 相对的是 4，与 2 相对的是 5，与 3 相对的是 6。 每一次观察看到的三个面都是两两相邻的面，因此可以逐步找出与每个数字相邻的所有数字。 第一次看到 1、2、3，说明 1 与 2 相邻、1 与 3 相邻、2 与 3 相邻； 第二次看到 5、1、3，说明 1 与 5 相邻、1 与 3 相邻、3 与 5 相邻； 第三次看到 6、2、1，说明 1 与 6 相邻、1 与 2 相邻、2 与 6 相邻。 汇总可知：与 1 相邻的有 2、3、5、6 共 4 个面，而正方体每个面恰好与 4 个面相邻， 　　所以剩下的 4 就是 1 的对面，即 1 与 4 相对。 再看 2：与 2 相邻的有 1、3、6，所以 2 的对面只可能是 4 或 5； 　　但 4 已经确定与 1 相对，故 2 的对面是 5，即 2 与 5 相对。 最后剩下 3 与 6，所以 3 与 6 相对。 检验：三组对面为 1—4、2—5、3—6，与三次观察的结果都不矛盾，答案正确。 23.（1）108 cm²　（2）见解析 （1）长方体的表面积 = 2 × (6 × 4 + 6 × 3 + 4 × 3) = 2 × (24 + 18 + 12) = 2 × 54 = 108（cm²）。 　　表面展开图的面积就等于表面积，为 108 cm²。 （2）把长方体展开成平面后，蚂蚁走的最短路线是连接两点的线段，有三种展开方式： 　　方式一：路程的平方为 (6 + 4)² + 3² = 100 + 9 = 109； 　　方式二：路程的平方为 (6 + 3)² + 4² = 81 + 16 = 97； 　　方式三：路程的平方为 (4 + 3)² + 6² = 49 + 36 = 85。 　　比较 109、97、85 可知，第三种展开方式对应的路程最短。 　　（说明：本题只需比较三个式子的大小，具体求值将在后续学习中完成。） 本课时小结 （1）展开图问题：先判断类型（一四一、二三一、二二二、三三），再用"隔一相对""Z 形两端相对"确定对面；（2）截面问题：截面的边数不会超过几何体的面数；平面截平面得线段，截曲面才可能得到曲线；（3）三视图问题：牢记"长对正、高平齐、宽相等"，俯视图标数字法是还原几何体的利器。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $