第三章 图形的相似复习讲义2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第三章 图形的相似 知识归纳与题型总结 题型01 相似多边形 一、比例线段 1. 定义：四条线段，，，中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段，，，叫作成比例线段，简称比例线段． 2. 比例的性质： （1）如果，那么； （2）如果（，，，都不等于0），那么； （3）（），那么． 二、相似多边形 1. 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形． 2. 相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比． 【典例1-1】已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 【典例1-2】如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和等边三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的性质；先根据相似三角形的性质得到角相等，再根据等边三角形的性质和外角的性质即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例1-3】如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．由截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， 即， ， 解得或（舍去）， ， 故选：B． 题型02 探索三角形相似的条件 一、相似三角形的判定 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和，若，则． 二、黄金分割 1. 定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比． 2. 黄金比：． 【典例2-1】我们把方程的正根称为黄金分割数，长期以来，一些美术家认为：如果人的上、下半身之比接近黄金分割数，那么可以增加美感，为了找出该，也可以构造，其中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则是线段（    ）的长 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由作图得，，结合勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设， 由作图得，， ， ， ， 解得， ， 解方程得， 是线段的长． 【典例2-2】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 【典例2-3】如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型03 相似三角形判定定理的证明 一、平行线分线段成比例 1. 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 二、相似三角形判定定理的证明 证明依据：平行线分线段成比例。 判定 条件 适用范围 关键注意点 AA 两组角对应相等 任意三角形 最常用，只需找两组等角 SAS 两边成比例 + 夹角相等 任意三角形 必须是夹角，侧边不行 SSS 三边全部对应成比例 任意三角形 计算边长比例证明 HL 斜边 + 一条直角边成比例 仅直角三角形 直角专用，简化计算 【典例3-1】如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. 【典例3-2】如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，．若，，，则的长为（   ）． A．9 B．7 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴． 【典例3-3】如图，是的直径，交于M、N，H为的中点，于点C，于点D，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理，平行线分线段成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵交于M、N，H为的中点， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 无法得到； 故只有选项D错误． 题型04 相似三角形的性质 1. 定理1：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2. 定理2：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 对应量 比值关系 对应角 相等 对应边、高、中线、角平分线、内外接圆半径 等于相似比 k 周长 等于相似比 k 面积、内外接圆面积 等于相似比的平方 k2 【典例4-1】已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． 【详解】（1）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 【典例4-2】如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 【典例4-3】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 【答案】(1)1或4 (2)1 【分析】（1）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）证出，利用相似三角形的性质建立方程，解方程，并结合的取值范围即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． （2）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即的值为1． 题型05 图形的位似 一、图形的位似 1. 位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP′=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点O叫作位似中心． 2. 位似图形：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫做位似图形。 3. 位似中心：所有对应顶点连线的公共交点。 4. 位似比：两个位似图形的相似比，也叫位似系数。 二、平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|． 【典例5-1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边上一点，使得； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取格点D，连接交于点P即可，根据相似三角形的判定和性质可知； （2）根据位似图形的定义作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 【典例5-2】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 【典例5-3】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据位似图形的性质，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出的周长． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∵的周长为2，相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知与相似，由得出相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与关于原点位似， ∴， ∵， ∴和的相似比是2， ∴， ∵的周长为2， ∴的周长为4． 2．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据位似的性质得到，，则可证明，，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴的周长为4． 3．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点的坐标为，即． 5．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 6．如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 7．如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将和平移，使得位似中心C与原点重合，利用位似变换公式求出此时点B的位似对应点坐标，再将和向右平移使得点C回到，此时点的横坐标可求． 【详解】解： 先将和向左平移2个单位，使得位似中心C与原点重合， 所以可知点B的横坐标变为， 在位似比不变的条件下，此时点B的位似后的对应点的横坐标为，将和向右平移2个单位，使得位似中心C回到,此时点B的位似后的对应点的横坐标为：． 8．如图，在中，，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，容易证明，则，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出，证明，得到比例式，由比例证明得到比例式求即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 10．如图，点E，点F分别在菱形的边，上，且，交于点G，延长交的延长线于H，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形求得对应边的比值关系，再根据边的比值关系，即可求得． 【详解】解：在菱形中，，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O， ∴， ∵， ∴，即． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点D，使得与是位似图形，则点D的横坐标为______． 【答案】 【分析】由题可知，，，，再根据与是位似图形，此时，则，求出可得答案． 【详解】解：由题可知，，， ∴． ∵与是位似图形，只有一种情况， 此时， ∴， ∴， 即， ∴， 所以点D的横坐标为． 13．如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为． 14．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似图形一定是相似图形，且对应边的比等于位似比，通过观察网格图确定与的长度求出位似比，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：由图可知，，， 以原点为位似中心，将放大后得到， ， ， ， ． 15．如图，在中，，，若进行以下操作，在边上从左到右依次取点、、、…；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交于、于点、；过点作、的平行线分别交于、于点、…，则______． 【答案】 【分析】由，，可得，，根据相似三角形的对应边成比例结合，，可得，，再根据，可求得，同理可得，，…，，继而可求得答案. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 同理：，，…，， ∴． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为（的对应点分别为） (2)在（1）的条件下，直接写出点的坐标，并求出的面积． 【答案】(1)解：如图，即为所求． (2)，的面积为． 【分析】（1）直接利用位似比得出对应点位置，再顺次连接即可画出图形； （2）根据（1）中作图，即可写出点的坐标，用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得点； ． 17．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【答案】(1)解：如图，则即为所求． (2) 【分析】（1）根据，原点O为位似中心，相似比是，确定，画图即可； （2）根据位似的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）根据题意，得点对应的位似点的坐标为． 18．如图，四边形中，交于点，点，分别是，的中点，平分交于点，．连接，． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明如下： ∵，点M是的中点， ∴，平分， ∴ ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形； (2)，理由如下： ∵点F，M分别是的中点， ∴，． ∵， ∴，即． 由(1)知是等腰直角三角形， ∴，即， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴ ∴． 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得到，平分，再由角平分线与三角形内角和定理求解即可； （2）先由三角形中位线定理得到，，然后证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，结合，求出， 即可求解； （2）证明四边形是平行四边形，得出，根据平行线分线段成比例可得，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 20．如图在锐角中，，，两动点，分别在，上滑动，且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为． (1)求出的边上的高． (2)如图1，当正方形的边恰好落在边上时，求的值． (3)如图2，当落在外部时，求出与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算可求出； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （3）根据相似三角形的性质列出比例式，用含的代数式表示，再根据公共部分的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， 是边上的高， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，，即， ∴，是中边上的高， ∴，即， 解得：， ∴当正方形的边恰好落在边上时，的值为； （3）如图，设交于点，交于点， 由（2）知：恰好落在边上时，， 又∵四边形是正方形，，，两动点，分别在，上滑动， ∴当落在外部时，， ，， 由（2）知：，是中边上的高， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴当落在外部时，求出与的函数关系式为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第三章 图形的相似 知识归纳与题型总结 题型01 相似多边形 一、比例线段 1. 定义：四条线段，，，中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段，，，叫作成比例线段，简称比例线段． 2. 比例的性质： （1）如果，那么； （2）如果（，，，都不等于0），那么； （3）（），那么． 二、相似多边形 1. 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形． 2. 相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比． 【典例1-1】已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【典例1-2】如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 【典例1-3】如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 题型02 探索三角形相似的条件 一、相似三角形的判定 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和，若，则． 二、黄金分割 1. 定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比． 2. 黄金比：． 【典例2-1】我们把方程的正根称为黄金分割数，长期以来，一些美术家认为：如果人的上、下半身之比接近黄金分割数，那么可以增加美感，为了找出该，也可以构造，其中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则是线段（    ）的长 A． B． C． D． 【典例2-2】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【典例2-3】如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 题型03 相似三角形判定定理的证明 一、平行线分线段成比例 1. 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 二、相似三角形判定定理的证明 证明依据：平行线分线段成比例。 判定 条件 适用范围 关键注意点 AA 两组角对应相等 任意三角形 最常用，只需找两组等角 SAS 两边成比例 + 夹角相等 任意三角形 必须是夹角，侧边不行 SSS 三边全部对应成比例 任意三角形 计算边长比例证明 HL 斜边 + 一条直角边成比例 仅直角三角形 直角专用，简化计算 【典例3-1】如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【典例3-2】如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，．若，，，则的长为（   ）． A．9 B．7 C．5 D．6 【典例3-3】如图，是的直径，交于M、N，H为的中点，于点C，于点D，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型04 相似三角形的性质 1. 定理1：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2. 定理2：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 对应量 比值关系 对应角 相等 对应边、高、中线、角平分线、内外接圆半径 等于相似比 k 周长 等于相似比 k 面积、内外接圆面积 等于相似比的平方 k2 【典例4-1】已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【典例4-2】如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【典例4-3】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 题型05 图形的位似 一、图形的位似 1. 位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP′=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点O叫作位似中心． 2. 位似图形：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫做位似图形。 3. 位似中心：所有对应顶点连线的公共交点。 4. 位似比：两个位似图形的相似比，也叫位似系数。 二、平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|． 【典例5-1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边上一点，使得； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【典例5-2】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【典例5-3】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 2．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 3．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 7．如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，则为（     ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 10．如图，点E，点F分别在菱形的边，上，且，交于点G，延长交的延长线于H，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点D，使得与是位似图形，则点D的横坐标为______． 13．如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 15．如图，在中，，，若进行以下操作，在边上从左到右依次取点、、、…；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交于、于点、；过点作、的平行线分别交于、于点、…，则______． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为（的对应点分别为） (2)在（1）的条件下，直接写出点的坐标，并求出的面积． 17．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 18．如图，四边形中，交于点，点，分别是，的中点，平分交于点，．连接，． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 19．如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 20．如图在锐角中，，，两动点，分别在，上滑动，且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为． (1)求出的边上的高． (2)如图1，当正方形的边恰好落在边上时，求的值． (3)如图2，当落在外部时，求出与的函数关系式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $