精品解析：四川省巴中市普通高中2027届高三“零诊”考试数学试题

巴中市普通高中2024级“零诊”考试 数学试题 （满分150分　　120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置． 2．答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】  ，因此的共轭复数为. 2. 单位向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 3. 若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期且在上单调递减的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项,当时,,故,在上单调递增, 所以A选项错误; 对于B选项, 的定义域为关于原点对称, 且,所以是奇函数, 所以B选项错误; 对于C选项, 定义域为R，且,所以是偶函数,且最小正周期为π; 当时,,故,在上单调递减, 所以C选项正确; 对于D选项, ,最小正周期为,所以D选项错误. 5. 若满足，当时，，则时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法结合题意可得，当时，，由，可得进而计算可解. 【详解】令得，，所以或， 当时，有，与时，矛盾，故， 当时，，则， 因为，得， 所以，即时，的取值范围为. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 B. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 【答案】C 【解析】 【详解】过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，这些直线都在过该点且与已知平面平行的平面内， 并非只有一条，故A错误； 过平面外一点，有无数个平面与该平面垂直，只需平面过该点且经过已知平面的一条垂线， 绕垂线旋转可得到无数个满足条件的平面，故B错误； 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，这是线面垂直的唯一性定理： 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，故C正确； 过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行， 只需平面包含过该点且与已知直线平行的直线，绕该平行线旋转可得到无数个满足条件的平面， 故D错误． 7. 若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（ ） A. 27 B. 54 C. 81 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】利用数列通项与前项和的关系推出数列的递推关系,结合等差中项的性质求出首项,确定等比数列的通项后计算. 【详解】已知,当时,有,两式作差得: , 整理得,即数列从第二项起为公比为3的等比数列,因此. 当时, ; 又因为是与的等差中项,所以, 整理得,又因为,解得,满足, 所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,所以因此. 8. 设，若有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数和导数的几何意义得出的范围． 【详解】令得， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 作出与的函数图象如图所示： 设直线与的图象相切，切点为， 则，解得或， 有两个不同的零点， 与的函数图象有两个交点， 或，即． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8 B. 已知一组样本数据，，…，的平均数为4，极差为6，中位数为5，则，，…，的平均数为，极差为12，中位数为 C. 若随机变量满足，则 D. 若，，，则 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：该组数据共10个，第70百分位数的位置为，所以第70百分位数是，A错误； 选项B：若原数据平均数为、中位数为、极差为，则形式的新数据平均数为、中位数为、极差为，代入，得新数据平均数为，极差为，中位数为，B正确； 选项C：根据方差性质，得，不是15，C错误； 选项D：由全概率公式，D正确. 10. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，则（ ） A. 到渐近线的距离为 B. 的最小值为5 C. 若，在左右两支上，则直线的斜率的取值范围为 D. 若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式计算可判断A；当直线斜率为时，可判断B；结合题意直线的斜率的绝对值小于，计算可判断C；结合圆的切线长定理、双曲线的定义可判断D. 【详解】由题意可得， 所以，渐近线的方程为， 对于A，到渐近线的距离为，故A正确； 对于B，当过的直线斜率为时， 此时，，故B错误； 对于C，由于双曲线渐近线方程的斜率为， 当直线的斜率的绝对值小于时，过的直线与双曲线交于，两点在左右两支上， 此时直线的斜率的取值范围为，故C正确； 对于D，设内切圆圆心为，内切圆与相切于点， 则． 因为，所以． 令的横坐标为，则， 所以若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值，故D正确. 11. 正方体的棱长为，是上底面的一个动点（含边界），，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 在平面上投影的面积为定值 B. 一只蚂蚁从点出发沿正方体表面运动到点，则其最短路程为 C. 经过，的平面截该正方体的截面不可能为梯形 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，在正方体中，作出在平面上投影即可解决问题； 选项B，蚂蚁沿正方体表面运动，只需将正方体展开成恰当的平面图形，运用两点之间线段最短即可解决问题； 选项C，因为梯形的结构特征是一组对边平行且不等，而正方体的相对侧面又互相平行，结合，是中点即可构造出符合题意的梯形； 选项D，类似于“将军饮马”问题，找到点关于平面的对称点，即可用两边之和大于第三边解决问题． 【详解】 选项A，如图，是上底面的一个动点，过作，则就是在平面上的投影，因为，所以在平面上投影的面积为定值.故A正确； 选项B，如图1，将平面和平面展平为同一平面，则蚂蚁爬行的最短路程为的长，因为； 如图2，将平面和平面展平为同一平面，则蚂蚁爬行的最短路程为的长，此时. 综上可得，蚂蚁爬行的最短路程为.故B正确； 选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意取点，则，， 因为，所以且，所以经过，的平面截该正方体的截面是梯形.故C错误； 选项D，如图，点是关于平面的对称点，点，则，所以的最小值为．故D正确. 【点睛】本题的选项A，B用几何法较为适宜，考查了三角形的投影的作法（找到点的投影即可）和立体图形的恰当展开问题（长方体的展开较之正方体的展开要难）；选项C，D用坐标法较为方便，对于选项C而言，平时学习中的积累很重要，否则这个梯形不易找到，而选项D则是经典问题“将军饮马”的立体几何版本，解法与平面几何解法几乎一模一样． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为, 令得的展开式中，的系数为. 13. 在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将“待求式”用平方差公式展开，再用将余弦转化为正弦，最后用正弦定理即可解决问题． 【详解】由可得， ， 因为，，所以， 即． 14. 已知抛物线，过点的两条直线，分别与抛物线交于，，，四点，直线交轴于点，则直线的斜率为________． 【答案】 【解析】 【分析】过定点的抛物线的弦两端点纵坐标恒满足乘积为，即，，再利用过列共线关系化简得，最后代入. 【详解】设过的直线方程为，则， 化简可得：，交抛物线、， 由韦达定理可得：，，且横坐标为，， 同理，另一条过的直线：交抛物线于、， 同理可得：，，横坐标，， 因为三点共线，所以斜率相等， ，， 所以，化简可得：， 进一步化简得：，即，同理，， 又因为，，所以，，代入得： ，又因为，所以， 即，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，某古镇民俗节庆活动吸引了大量游客，为研究气温对游客量的影响，某调研团队记录了民俗节期间30天的数据．设表示第天的平均气温（单位：），表示第天参与民俗节活动的游客人数（单位：百人），其中，，，…，．根据统计，计算得到如下数据：，，． 附：相关系数． （1）根据所给数据，计算相关系数，并判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（，则认为两个变量具有较强的线性相关性） （2）该古镇景区向参加活动的游客发放纪念品．纪念品由某厂甲，乙，丙三台机器生产，合格率分别为，，，且三台机器产量相同，产品混放．现任取一件纪念品，求其合格的概率． 【答案】（1）相关系数，，可使用线性回归模型拟合与的关系 （2）任取一件纪念品合格的概率为 【解析】 【小问1详解】 ， 因为， 所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系； 【小问2详解】 设事件为“任取一件纪念品为合格品”， 事件为“产品由甲机器生产”， 事件为“产品由乙机器生产”， 事件为“产品由丙机器生产”， 由题意得，，，， 根据全概率公式：， 答：任取一件纪念品，其合格的概率为． 16. 已知数列满足，（）． （1）设，求证数列为等比数列，并求； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）由，得， 代入 ，所以，即， 由 ，得， 所以 是以为首项，公比为的等比数列； 所以 （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造新数列，代入递推式验证，从而说明其为等比数列，再结合首项求通项； （2）由第一问得到，分别求等比数列部分和等差数列部分，相加即得前 项和． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由，得， 所以， 即 其中：， 所以： 化简得 17. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，，点是的中点，点是线段上一点． （1）求证：平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为，所以，又，点是的中点， 在中，，，所以， 因为是边长为2的等边三角形，点是的中点， 所以， 已知，在中，， 因为，所以， 因为平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形中线垂直和勾股定理证得，根据线面垂直的判定定理证得结果； （2）利用空间向量法计算线面夹角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 点是线段上一点，设,所以， ，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 因为二面角为，所以， 即，解得， 于是，，， 设直线与平面所成角为，所以 18. 已知函数，． （1）求证：；； （2）解不等式； （3）当时，求证：． 【答案】（1）由题意可得：，所以，， 所以，又因为，所以，，所以 （2） （3） 要证，转化为证​， 两边同乘2（不等号方向不变），即证， 整理得，令， 求导得： ，令，解得： ， 当时，，故， 因此，即在上单调递增， 又，因此对任意，都有， 原不等式成立 【解析】 【分析】（1）先根据、表达式求出、，再分别化简、并与、比较. （2）先对不等式进行变形，通过换元将指数不等式转化为二次不等式求解，最后回代并取对数得到原不等式的解集. （3）将不等式变形为，设求导分析单调性，结合证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】  由题意得，两边同乘得： ，即，  令，不等式变为， 因式分解得，解得， 即，取自然对数可得：， 不等式解集为. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆，焦距，离心率为． （1）求的方程； （2）为的右焦点，过点作倾斜角为的直线交于，两点． ①若，求； ②在上取5个不同的点，，，，，满足，计算的值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由焦距和离心率分别求出和，再利用求出，代入标准方程即得椭圆方程； （2）①先由斜率写直线方程，代入椭圆方程消元得关于的二次方程，利用韦达定理和弦长公式计算弦长；②设椭圆的上点坐标为，可得，整理可得，利用三角恒等变换可得，即可得结果． 【小问1详解】 因为焦距，所以，离心率，得， 又， 所以椭圆方程为：． 【小问2详解】 ①由（1）可知右焦点，直线斜率， 所以直线方程为， 联立方程 ，消去y可得， 因为，则， 所以； ②设椭圆的上点坐标为， 则，整理可得， 设点对应的参数为，且，， 可得， 因为 ， 设，因为，即， 又因为 ， 可得，整理可得， 显然，即，可得， 即，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市普通高中2024级“零诊”考试 数学试题 （满分150分　　120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置． 2．答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 单位向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期且在上单调递减的偶函数是（ ） A. B. C. D. 5. 若满足，当时，，则时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 B. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 7. 若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（ ） A. 27 B. 54 C. 81 D. 243 8. 设，若有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8 B. 已知一组样本数据，，…，的平均数为4，极差为6，中位数为5，则，，…，的平均数为，极差为12，中位数为 C. 若随机变量满足，则 D. 若，，，则 10. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，则（ ） A. 到渐近线的距离为 B. 的最小值为5 C. 若，在左右两支上，则直线的斜率的取值范围为 D. 若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值 11. 正方体的棱长为，是上底面的一个动点（含边界），，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 在平面上投影的面积为定值 B. 一只蚂蚁从点出发沿正方体表面运动到点，则其最短路程为 C. 经过，的平面截该正方体的截面不可能为梯形 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为________． 13. 在中，，，则______． 14. 已知抛物线，过点的两条直线，分别与抛物线交于，，，四点，直线交轴于点，则直线的斜率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，某古镇民俗节庆活动吸引了大量游客，为研究气温对游客量的影响，某调研团队记录了民俗节期间30天的数据．设表示第天的平均气温（单位：），表示第天参与民俗节活动的游客人数（单位：百人），其中，，，…，．根据统计，计算得到如下数据：，，． 附：相关系数． （1）根据所给数据，计算相关系数，并判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（，则认为两个变量具有较强的线性相关性） （2）该古镇景区向参加活动的游客发放纪念品．纪念品由某厂甲，乙，丙三台机器生产，合格率分别为，，，且三台机器产量相同，产品混放．现任取一件纪念品，求其合格的概率． 16. 已知数列满足，（）． （1）设，求证数列为等比数列，并求； （2）求数列的前项和． 17. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，，点是的中点，点是线段上一点． （1）求证：平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，． （1）求证：；； （2）解不等式； （3）当时，求证：． 19. 已知椭圆，焦距，离心率为． （1）求的方程； （2）为的右焦点，过点作倾斜角为的直线交于，两点． ①若，求； ②在上取5个不同的点，，，，，满足，计算的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $