3.1.3函数的奇偶性（第1课时）（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的定义及判断，通过观察f(x)=x²等函数图像、填写表格导入，衔接函数概念与单调性，引导学生发现对称特征，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察图像对称，“数学思维”推导定义与判断步骤，“数学语言”规范符号表述。通过对比表、典例（分段函数、抽象函数）及小结“定义-步骤-注意”，培养学生推理与表达能力，助力教师高效教学。

第三章 函数 3.1.3函数的奇偶性（1） 3.1函数的概念与性质 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 准确理解函数奇偶性的定义，明确奇函数、偶函数的核心概念，掌握函数奇偶性的定义域对称性前提、对应函数值满足的数量关系两大关键要素，厘清定义的文字表述与符号表述。 熟练掌握定义法判断函数奇偶性的完整步骤，能够规范完成“看定义域、验关系式、下结论”的解题流程，可独立判断常见一次、二次、简单分式及根式函数的奇偶性。 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 同学们，在之前的学习中，我们已经掌握了函数的概念、定义域、值域以及函数的单调性，能够通过解析式和图像研究函数的变化趋势。今天我们继续探究函数的重要性质——奇偶性。 首先，请大家观察两个熟悉的函数：f(x)=和 f(x)=。大家快速画出它们的简易图像，思考两个问题：第一，两个函数的图像分别具备什么对称特征？第二，我们能否用精准的数学语言描述这种对称性？ 3 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 填写下表，观察指定函数的自变量 x 互为相反数时，函数值之间具有什么关系， 并分别说出函数图象应具有的特征． x …-3 -2 -1 0 1 2 3… … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … … -1 0 1 2 1 0 -1 … 初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道， 在平面直角坐标系中，点 (x, y) 关于 y 轴的对称点为 (-x, y) 当自变量取互为相反数的两个值 x 与 -x 时，对应的函数值相等，即 f(-x)===f(x) ) f(-x)=2-|-x| =2-|x| =f(x) ) 4 目标一：偶函数 偶函数的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有 -x∈D，且 f(-x)=f(x)，则称 y=f(x) 为 偶函数。(图象关于 y 轴对称) 从图像上可以看出关于y轴对称，那么一般的偶函数的 图象是否都具有这一特点呢？ 我们知道，点P(x,f(x))与Q(-x,f(-x))都是函数 y=f(x)图象上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以 写成Q(-x,f(x))，因此点P和点Q关于y轴对称. 结论： 偶函数的图象关于y轴对称（即偶函数图象关于直线x=0对称）；反之，结论也成立，即图象关于y轴对称的函数一定是偶函数． 6 目标二：奇函数 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果. 初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道， 在平面直角坐标系中，（x，y)关于原点的对称点为 (-x, -y).关于原点的对称点为 8 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果. … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -1 无意义 1 … 可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值f(x) 也是一对相反数. 9 奇函数的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地, 设函数f(x)的定义域为I, 如果∀x∈I, 都有-x∈I, 且 f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)就叫做奇函数.(图象关于原点对称) 从图像上可以看出关于原点对称，那么一般的奇函数的 图象是否都具有这一特点呢？ 奇函数的图象特征也可按照下述方式得到：点P(x,f(x))与Q(-x,f(-x))都是函数y=f(x)图象上的点， 如果y=f(x)是奇函数，则点Q又可以写成Q(-x,-f(x))，因此点P和点Q关于原点对称． 结论： 奇函数的图象关于原点对称；反之，结论也成立，即图象关于原点对称的函数一定是奇函数． 10 奇、偶函数对比 知识讲解 互动探究 新课引入   偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且 一般地，设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且 结论 则称为偶函数 则称为奇函数 定义域特征 定义域关于原点对称   等价形式 说明▶若一个函数是偶函数或奇函数，则称这个函数具有奇偶性；若一个函数既不是奇函数又不是偶函数，则称为非奇非偶函数。 11 下列命题为真命题 的是 A.已知:的定义域关于原点对称,:是偶函数,则是的充要条件 B.已知:是偶函数,:,则是的充分不必要条件 C.已知:既是奇函数又是偶函数,:,则是的充要条件 D.若是定义域为的奇函数,则 对点体验 解析▸对于A,若f(x)是偶函数,则f(x)的定义域一定关于原点对称,反过来,只有f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)时,f(x)才是偶函数,所以p是q的必要不充分条件,故A为假命题. 下列命题为真命题 的是 A.已知:的定义域关于原点对称,:是偶函数,则是的充要条件 B.已知:是偶函数,:,则是的充分不必要条件 C.已知:既是奇函数又是偶函数,:,则是的充要条件 D.若是定义域为的奇函数,则 对点体验 对于 B,对任意的 x∈R,满足f(-x)=f(x)时,f(x)(x∈R)才是偶函数,仅凭两个特殊的函数值相等不足以判定函数的奇偶性,但若f(x)(x∈R)是偶函数,可以得出对任意的 x∈R,都有f(-x)=f(x)成立,所以p是q的充分不必要条件,故 B 为真命题. 下列命题为真命题 的是 A.已知:的定义域关于原点对称,:是偶函数,则是的充要条件 B.已知:是偶函数,:,则是的充分不必要条件 C.已知:既是奇函数又是偶函数,:,则是的充要条件 D.若是定义域为的奇函数,则 对点体验 对于 C,f(x)=0,定义域为[-1,1]时,该函数既是奇函数又是偶函数,因此p⇏q. 由f(x)=0,x∈A,只要A关于原点对称,都可以得到f(x)既是奇函数又是偶函数,所以p是q的必要不充分条件,故"C" 为假命题. 下列命题为真命题 的是 A.已知:的定义域关于原点对称,:是偶函数,则是的充要条件 B.已知:是偶函数,:,则是的充分不必要条件 C.已知:既是奇函数又是偶函数,:,则是的充要条件 D.若是定义域为的奇函数,则 对点体验 对于"D" ,由于f(x)是奇函数,且定义域为R,所以对任意的x∈R都有f(-x)=-f(x),令x=0,则f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故"D" 为真命题. 答案 ⊳ ▭BD 常见函数的奇偶性 (1)一次函数y=kx+b(k≠0):当b=0时是奇函数;当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数. (2)反比例函数y= (a≠0):奇函数. (3)二次函数y=a+bx+c (a≠0):当b=0时是偶函数;当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数. 目标三：典型例题 题型1 定义法判断一般函数奇偶性 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： (1) f(x)=x++； (2) f(x)=+1； (3) f(x)=x+1； (4) f(x)=, x∈[-1, 3]. 典例分析 牛刀小试 解: (1) 因为函数的定义域为，所以时，. 又因为 所以函数是函数. 题型1 定义法判断一般函数奇偶性 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： (1) f(x)=x++； (2) f(x)=+1； (3) f(x)=x+1； (4) f(x)=, x∈[-1, 3]. 典例分析 牛刀小试   解: (2) 因为函数的定义域为，所以时，. 又因为 , 所以函数是函数 题型1 定义法判断一般函数奇偶性 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： (1) f(x)=x++； (2) f(x)=+1； (3) f(x)=x+1； (4) f(x)=, x∈[-1, 3]. 典例分析 牛刀小试  解：(3) 因为函数的定义域为，所以时， 又因为，，所以 且， 因此函数既不是奇函数也不是偶函数（也可说成 是非奇非偶函数）  题型1 定义法判断一般函数奇偶性 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： (1) f(x)=x++； (2) f(x)=+1； (3) f(x)=x+1； (4) f(x)=, x∈[-1, 3]. 典例分析 牛刀小试  解：(4) 因为函数的定义域为， 而， 但， 所以函数， 说明，设函数f(x)的定义域为D， 如果存在x_0∈D， 但-x_0∉D，即函数 f(x)的定义域不关于原点对称， 则f(x) 既不是奇函数也不是偶函数. 题型1 定义法判断一般函数奇偶性 例2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x； (2)f(x)=； (3)f(x)=+ (x≠0,a∈R)； (4)f(x 典例分析 牛刀小试  解析 (1) 函数的定义域是, (定义域优先,不能直接化简)不关于坐标原点对称, 既不是奇函数也不是偶函数. (2) 函数的定义域为,关于坐标原点对称 (此处定义域并非区间,而是点集) ,且, 既是奇函数也是偶函数. 题型1 定义法判断一般函数奇偶性 例2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x； (2)f(x)=； (3)f(x)=+ (x≠0,a∈R)； (4)f(x 典例分析 牛刀小试  (3)①当 时,,对任意 ,,则函数为偶函数; ②当 时,,取 ,得 ,取 ,得,则 ,,即, ,则函数既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述,当 时,函数既不是奇函数也不是是 偶函数;当 时,函数为偶函数 题型1 定义法判断一般函数奇偶性 例2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x； (2)f(x)=； (3)f(x)=+ (x≠0,a∈R)； (4)f(x 典例分析 牛刀小试 (4)的定义域为. 方法1 为奇函数. 题型1 定义法判断一般函数奇偶性 例2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x； (2)f(x)=； (3)f(x)=+ (x≠0,a∈R)； (4)f(x 典例分析 牛刀小试 （切勿忽略对的讨论） 当时,,此时 为奇函数. 定义判奇偶性步骤 第一步看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f(-x)与 f(x)的关系：对定义域内任一x都有f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数； 对定义域内任一x都有f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数． 若存在一个x_0∈D，有-x_0∈D，但f(-x_0 )≠-f(x_0 )且f(-x_0 )≠f(x_0 )， 则f(x)是非奇非偶函数． 题型2 用定义判断分段函数奇偶性 例3 判断函数f(x的奇偶性. 典例分析 牛刀小试 方法1（定义法） 第一步:判断函数的定义域是否关于原点对称. f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于坐标原点对称. 第二步:分段讨论 当时,,则; 当时,,则 综上所述,对于任意不为的都有成立,故为奇函数. 题型2 用定义判断分段函数奇偶性 例3 判断函数f(x的奇偶性. 典例分析 牛刀小试 方法2（图象法） 作出函数f(x)的图象,看其对称性.用定义法时，必须分段验证f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立，而不能只验证某一段的解析式，而图象法则可以回避这些烦琐的运算过程. 作出函数𝑓(𝑥)的图象，如图所示. 由图可知，该函数为奇函数. 判断分段函数奇偶性的方法 一般用定义法分段处理. 判断分段函数的奇偶性时应分段说明f(-x)与f(x)的关系. 要特别注意:若x∈[a,b],则-x∈[-b,-a],在求f(-x)时,需代入区间[-b,-a]对应的函数解析式. 分段函数的奇偶性也可以通过函数图象的对称性加以判断. 题型3 抽象函数奇偶性的判断 第一 例4 第二 (1)已知函数f(x),x∈R,若∀a,b∈R, 都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇 函数. (2)已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x， h(x)=,试判断g(x)与h(x)的 奇偶性;根据g(x),h(x)与f(x)的关系,你能 猜想出什么样的结论? 典例分析 牛刀小试 解析▸(1)令,则, 令,则, (对，适当赋值，使所给的式子出现及 ，从而可寻找其关系) 是奇函数. 题型3 抽象函数奇偶性的判断 第一 例4 第二 (1)已知函数f(x),x∈R,若∀a,b∈R, 都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇 函数. (2)已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x， h(x)=,试判断g(x)与h(x)的 奇偶性;根据g(x),h(x)与f(x)的关系,你能 猜想出什么样的结论? 典例分析 牛刀小试 (2), , 是偶函数,是奇函数. ,由此可得一般结论:如果一个函数的定义域关于原点对称,那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 判断抽象函数奇偶性的方法 解题通法 判断或证明抽象函数的奇偶性，需利用奇、偶函数的定义，找准方向，巧妙赋值(常用的有1,-1,0)，合理、灵活地变形配凑，找出f(x)与f(-x)的关系。 目标四：针对训练 举一反三  1、已知是偶函数，当，时，，则 A. B. C. D. 解析：令，则，得，又因是偶函数， 故.  2.已知是定义在上的函数，且满足；则的值为( ) A. B. C. D. 解析：令，则，因为是奇函数，所以.因为，所以，所以，所以. 举一反三 3.已知函数，且是偶函数，则() A. B. C. D. 解析： 将代入，可得 ，则，于是， 显然其对称轴，而是偶函数即曲线关于对称 故得.故选:C. 举一反三 4.是为奇函数的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：因为奇函数的定义域关于原点对称，时的定义域不一定关于原点对称，所以不是为奇函数的充分条件； 如果为奇函数在处有定义时有，在处没有定义时没有，所以不是为奇函数的必要条件； 综上，是为奇函数的既不充分也不必要条件.故选:D.  举一反三  5.已知函数的定义域为，若与都是奇函数，则一定有() A. B. C. D. 解析：因为是奇函数，所以.因为是奇函数，所以 ，可得.因此，从而 ，.由得，于是一定有 .    举一反三 6.已知函数为奇函数，当时，，则___. 解析：由函数为奇函数，得：，令，得： ，，又因为当时，，得 ，因此. 目标五：小结 学海拾贝 本节课我们核心学习了函数奇偶性的定义与定义法判断方法，整体内容可以总结为一个定义、一套步骤、两个注意。 第一，精准掌握奇偶性的核心定义。对于函数y=f(x)，定义域关于原点对称是判断奇偶性的前提条件。若对定义域内任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数，图像关于y轴对称；若对定义域内任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数，图像关于原点对称。同时明确，存在函数既不是奇函数也不是偶函数。 学海拾贝 第二，熟练牢记定义法判断奇偶性的标准步骤。 第一步：求函数定义域，验证定义域是否关于原点对称，若不对称，直接判定非奇非偶； 第二步：计算f(-x)的解析式； 第三步：对比f(-x)与f(x)、-f(x)的关系；第四步：规范书写奇偶性结论。 学海拾贝 第三，厘清两个核心注意点。 一是奇偶性是函数的整体性质，区别于单调性的局部性质，需要满足定义域内所有自变量的规律，不能通过个别数值判定； 二是判断奇偶性必须优先验证定义域，这是最容易遗漏的关键步骤，定义域不对称的函数一定不具备奇偶性。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $