数列中常见的不等式放缩问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列不等式放缩核心考点，涵盖常规裂项抵消、不等式性质、二项式定理、等比放缩等七大类型，按方法逻辑分层构建知识体系。通过考点梳理明确放缩技巧，方法指导解析典型例题，真题训练强化应用能力，帮助学生系统突破数列不等式证明难点。 讲义突出方法归类与素养导向，创新采用“类型+技巧+应用”三阶教学模式。如常规裂项中通过“裂项抵消”培养推理能力，切线不等式结合导数证明发展逻辑思维，设置基础到综合的分层练习。精准对接高考命题规律，助力学生高效掌握放缩策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升学生数学表达与问题解决能力。

数列中常见的不等式放缩问题 (原卷) 一、常规裂项抵消放缩 1.求证： V1x2 2x3 n(n+ijsn (neN): 1 1 1 1 2.求证： 3 1x3+2×4+3x5++nn+面< 1 3.求证： 1 1 1 2x3+4×5+6×7+…+ 2n(2n+1)<3; 1 1 1 1 n 4.求证：1+1+2+1+3++…+m+1≥n+1: 111 12n-1 5.求证：立+京+3+…+ 2 n· 111 1 6.求证： 京+京+7++(2n+1<4 <2Vn (neN) 1 7.求证：+2 1 1 1 8.求证： 1x2x3+2x3×4+3×4x5+…+nn+1jn+2 9.已知数列{a,满足a,=, 且an+1=Van(n∈N）, （1)证明：0<a2-a 1 2)若数列小满。二设数列的前n项和为s 证明：S<星 10.等差数列a,}中，a3=4,a+a=15, (1)求数列am}的通项公式； (2)设h=n2a,数列，的前n项和为，求证：5<： (3)设cn=an×4°，求数列{cn}的前n项和Tm; 11.已知数列am}是递增的等比数列，a=8,a4-3a2=4, (1)求数列a,}的通项公式； (2)=log2an+log2an1+logza+....+log2a, 记数列去的前n项和为s,求证：长S<号： 二、利用不等式的性质放缩 12.求证：1×2+2x3+3x4++nn+1<n+ 2 13.求证： Vn2(/1n4-/2)+Vn3(/1n5-3)+…+Vnn(/1n(n+2-Vnn)kln(n+1); 14求证：(1+)(1+号2）(1+号）…(1+2）>2m* 15求证：<2名 ..2n+1</2n+1. 2n 16求证：吾…29。。 1 2n 9/2n+1 三、利用二项式定理放缩 17.求证：（停n+1n*2 (n∈N,n>2) 27+2六+2t+2<2品 1 18.求证： 1 (n∈N) 四、利用等比放缩 2 19.数列am}中，a=31(n∈N) 求证：a孕： 1 20.数列a,}中，a,=3+2,s为数列a,}的前n项和， 求证：言<5<： 21.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2+1(n∈N ),且a1,a2+5,a成等差数列.求证： (1)求数列a,+2}是等比数列； (2》对切正整数n,有+。+女++<2。 五、利用切线不等式放缩 2.求证：言+吉+方++2n3<n2n-3)neN, n≥3)； 23.求证：++2++京>nn(new); 24.己知数列an}满足a=1,且am+1=an+n(1+am). (1)求证：an≤2”-1 (2)若bn=nan,数列{bn}的前n项和为Sn,证明：Sn≤（n-1)×2 +1. 六、利用飘带不等式放缩 25.求证： 71×22×3+2026×2027>n2027. 26.求证：号+专+号++ 2n<号nn*1j(neN); 1 七、利用糖水不等式放缩 27.已知n∈N,n≥2，求证： l0g43-10g32+l0gs4-10g43 10g65-10g54+......+logn-2(n+1)-logn-in log3 1og54 log5 1og+2(n+1) <log23-1; 28数列a,中，=(neN), 求证： 29.数列an}的前n项和为Sm,且Sn=2a-2”1,n∈N。 (1)求数列a}的通项公式： 《2)令0品·，记（言）的前n项和为，求证：I号 数列中常见的不等式放缩问题 (解析) 一、常规裂项抵消放缩 从通项入手，利用等式或不等式放缩将通项变形为nn+k? 0等形式，然后通过裂项抵消，完成个等式的证明。 常用的等式或不等式放缩： 1=1-1；1=1(1-1)月 n(n+1)nn+1 n(n+k)k nn+k 1=1·1new,n22);=1·1 n2 n(n-1)n-1 n n2 n(n+1)nn+1 1=4<4=2(1-1): 74n74n2-12n-12n+1 2n+1=1-1; n2(n+12n2(n+12 1 Vn+1+Vn n+1n3 1 =1-1； nn+1+n*1n可 i Un+l nni回naln上片2 1=1[1 -1 ]； n=1-1; (n+1)！n!(n+1)! 11=1<1=11(new,n≥2： nn+1 n(n+1)n2 n(n-1)n-1 n 2” =1-1; (2”-1)(2*1-1)2”-12*1-1 n+2=1- 1; n(n+1)2”n-2"-（n+12m 1.证明：方法一： ..n+i-8n-n+i+n 1 <Vn+Vn-1 =n-Vn-1, 当n24,n∈N时， Vn+Vn+1=1+1<1+1=2<1, Vn(n+1)nn+1)n Vn n 1 .nn+7<n+i+9n=n+1-n<n-n-1(n≥4)； 1南于，应点号+当g 2 1 1+1=2+6+3<2+22+3=52+3<3' 1x22x33x42+662 6666 1 1 .当n=1,2,3时，1×22×3 nn+i<n成立； (2)当n≥4，n∈N时， 1 1 1 1 V1x22×33×4V4x5 < n(n+1) V3+V4-3+5V4+...+Vnn-1 =n(n24); 1 1 1 综上所述：1x22x3++nn+<n(neN)； 方法二： (1)当1时，女<i显然成立： 1十 (2)假设：当n=k时不等式成立，得*…+ 1 1 k(k+1) <服， 则当n=k+1时， 1 1 1+1 1x22x3…+ k(k+1k+1)(k+2】 1 <8k+k+1k+2' ∴.要证当n=k+1时原不等式成立， 1 只需证k+k+k+2<k+1成立即可， 即证吸+1.版k+10k+2, 1 1 1 即证k+1+派广k+1k+2? 也就是Vk+1+VK<(k+1(k+2, 即证k+3k+2>k+1+2Vk+1Vk+k 即证k2+k+1>2Vk+1V贩， ·.k2+k+1-2Vk+1K=(k-Vk+1>0, ∴.kK2+k+1>2Vk+1k成立， 从而当n=k+1时原不等式成立； 1 由(1)(2)得x2+2x3+.+ nn+i<n(neN)成立。 1 2.证明：(1)当n=2k(k∈N)时， 左边=3+女+5++22水2 1 11 1 1 1 =[1×3+3×5+…+2k-12k+1]+[2×4+4×6++2k2k+2] =1片与++水2水片 1 1 格吉+++ 224462k2k+222k+1 =异h+2k+2k: (2)当n=2k-1(k∈N)时， 左边-=3+2女4+35++2k-2k+ 1,1 1 司+3女写+…+2-2k++2女4+4女6++2k-22 1 1 1写+片目++水欢+ 11 1(1-1+1·1+…+1-1F1(1-1+1(1-1) 22446 2k-22k22k+1222k =异+水 综上所述：原不等式成立。 3.证明：左边<2女3+3+写7+…+2n-2nn .1 1 故原不等式成立。 4证明：“产片 1 左边≥-++++1 n*7 故原不等式成立。 5证明：当n2时，京<=·日， 边是1吃*42日2 故原不等式成立。 6证明：：2a1<2n1r2nm22-日-， 1 1 1 11 1 “左边=3+3+京+…+2n+1 故原不等式成立。 7.i证明：“-n<号=2a.n 2 ·左边<2(1-o)+2(2-1)+2(3-2)+…+2(n-n-1) =2Vn; 故原不等式成立。 8,i述明：“nnin2-lnin*2】 =片川中2 左边=片支（克青+数吃房H言京刀 +哈H》++片川nn2刀 -33-号)+吃-3号-+（传-4H是-号） 十 +哈点（点中2川 =*吃专+哈子+…*哈点】 -方专州专+州子号h州点n2刀 1 =好人号·2片+ 2(n+1)(n+2】 故原不等式成立。 9.证明：(1) 由a=3,且a=a,得a,>0, 号好品学i是等北数列 8a=h8ua岁号”8o安》 n-1 =),数列0，为单调递增数列： .an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an)>0, -a-a-a-a+经好， 0<a2-a,s7: (2)由(1)得。>0，>0-a≤： .an*12-a2=an-an2=a(1-a)>0,.am>0,.0n<1; b=g品ya2al） 212 an an+1 an an+1 型÷六加 an+i s5bt+b,tb++b≤0-H州+… 4a12a21 a, 点点以4六小0 4a12an+1 an+1 0<a<1,得s,<是 10.解析：（1)设{an}得公差为d,由题意得：a3=a+2d=4, a+ag=a3+a1o=4+a10=15,.a10=11,由a10=a3+(10-3)d=11, 得4+7d=11,∴d=1,a1=2,an=2+（n-1)×1=n+1, 数列a,}的通项公式为n=n+1; 1 1 11 （2)b,=n+2)a,=n+2j(n+1=n+1-n+29 5=b+bt+b=号-+-子+-+… -11 1 n+1n+2 (3)c=(n+1)×4, Tn=2×42+3×43+4×44+…+n+1）×4+1, 4Tn= 2×43+3×44+…+n×4*1+(n+1×4+2, .-3Tn=2×42-(n+1)×4"+2+43+44+……+4+1 =2×42-(n+1)×4*443-41×4 1-4 =32-n+1×42g+含× .1×4*2 =32.3n+2×4, 3 3 T,=3n+2×4*2.3 9 ； 11.解析：（1)设{a,}得公比为q(q>1),由题意得：a=a9 =8, 0,-30,a,9-3.=8q-24=4,q=2,a-2,a2, q 数列an}的通项公式为am=2”; bn=log2an+log2an+1+log2an+2+......+l0g2a2n; =n+(n+1)+(n+2)+..+2n=nn+1: 日归 s君+6叶 b =片-支)+是-号++引月-本) 号景点 0,5<号： 二、利用不等式的性质放缩 12.证明：n(n+1<n+n+1 22=n+5, 左边<(1+均)+(2+)+(3+2++(n+) =1+2+3…4n+号"n+号20 2 2； 故原不等式成立。 备注：利用均值不等式进行放缩能够达到简便、快捷的效果， 是不等式放缩的重要方法之一。 13.i证明：h均值不等式得n1nn+2水1*2,2 <n*1Y,'=nn+1j3, ..Inn.In(n+2)<In(n+1); .Inn-In(n+2)-Inn<In(n+1)-Inn, VInn(In(n+2)-Inn)<In(n+1)-Inn, Vn1(1n3-V1)+V1n2(1n4-V2)+V1n3(1n5-/3)+…+ynn(/1nn+2-1mn) <In2-In1+In3-In2+In4-In3+......+n(n+1)-Inn=In(n+1); 即n2(in4.V2)+n3(n5.V3)+…+nn(n(n+2.V1m)<lh(n+1) 故原不等式成立。 1,V2n+1 14.证明：：4n>4n2-1,2n>2n-12n+1,即1+2n->2m-, 36:2心2n2n+1 原不等式左边>弱听… 故原不等式成立。 15.证明：.4n2+4n<2n+1P,4n(n+1)<2n+12, 2/n-n+1<2n+1, 即2站 由于2n>2n-1.2n+1,:2m+1<2n+1 2n<V2n-1; 即：<2g2 异悟语…名…20 2n+1, 2n-1 8n*<经 .2n+1</2nt1: 2n 故原不等式成立。 16.证明：n+i<3.5.2 .2n+1<y2n+1: 246 2n 证明：.4n2>4n2-1, 2n>2n-12n+1,2n-1<2n-1 2n<Y2n+1; 得…2语得 .2n-1 5 1 2n+1=2n+i 故原不等式成立。 备注：不等式的放缩时，会经常用到不等式的性质及简单的不 等式的变形，如： n2>n2-1,4n2>4n2-1,4n2+4n<2n+12, 2n(2n-1)=(2n2-22n<(2n-1?等。 三、利用二项式定理放缩 17.证明：=(1+号=1+c2+c22++c2 >1+及+nm-n+1n+2+6n+1n+2 8 8 故原不等式成立。 1 1 1 2 18.证明：2-11+ir-c+c+c-1=n+nn =nn+1 2 2 n+li *2号号经号+肾号…片 2 n+1 2品： 故原不等式成立。 四、利用等比放缩 211111 常用到的等比放缩模型有：3,5+1,4-2<4， ’g2g”等等 19.证明：.3”=3×3-1=（1+2)3-=3”-+2×3-1≥1+2×3-1； 21 .3”-1≥2×3，即3-1≤3j 313 1-1 =2-2x3-<2; 3 1 1 20.证明：由题意a>0,S>a-5> 6 11 由上知：3+2<2T, 11.1 111 .S<2+2+…+2= 222n 11 1-1’=22, 2 故后<,<： 1 21.证明：（1).2n=an+1-2++1,2Sm+1=0+2-2”+2+1, 得20n+1=0*2-an+1-2+1,30n+1=0n+2-2”+1, 即a*2+2+2=3(an1+21); 由2S1=201=a2-2+1=02-3,得02=2a1+3, 由2S2=2（a1+02)=a3-2+1,得03=2a1+22+7=601+13, .a1,a2+5,a成等差数列，得2(a+5)=a1+03, .2(2a1+8）=7a1+13,得a1=1,a,=5, a2+22=9,a1+2=3,得a2+22=3（a1+21), 综上所述：数列a+2}是首项为3、公比为3的等比数列； (2)由(1)得an+2”=3”,.am=3”.2”(n∈N), .3”-1≥2”-1，2×3”-1≥2”，.3”-2”≥3-1， 点≤neN), 1 1+1+1+…+1≤1+1+1+…+1 a a2 a3 a332 -1 1- 1 33-7 =3 1 2x×3n 故原不等式成立。 五、利用切线不等式放缩 22.证明： 首先证明切线放缩不等式Inx≤x1(x>0), 令fx)=lnx-x+1(x>0), 则fx1=,x∈(0,1)，fx0,fx单调递增， x∈(1，+o),f(x)<0,f(x)单调递减，当x=1时，f(x)取得最大 值，.f(x)≤f(1)=0,即Inx≤x-1; 由ncN,n23得2n-323,1-22-1n1-22 即zgh高n器行2点n23引 1 2n-3 ln(2n-5)]; 小号*者*}+ 1 2n-3 <[ln3-n1]+ln5-ln3]+ln7-ln5]+…+ln(2n-3)Hn(2n-5 =ln(2n-3): 故原不等式成立。 23.证明： 由切线放缩不等式Inx≤x1(x>0),得x之ln(x+1),即 1>ln（1+1)=lnk+1=n(k+1-lnk,(kN）, k :.>In(n+1)-Inn, (n2)-in(n1n(n3)-(n2) … n('1-Ini, 得片+n本+n2++>nm+1)-in>lnm-nm=2Innn=ln: 1 故原不等式成立。 24.证明：(1)由切线放缩不等式lnx≤x1(x>0),得 x≥ln(x+1): 由an+1=an+ln(1+am),a1=1,得an≥1， ln(1ta,a,a-1-a+ln(1+a,a+a,=2a,得a1≤2； an 当n≥2时，a,.…a≤21，得。，≤2 a1 d an-1 当n=1时，a1=1符合上式， 即a≤2-1(n∈N). (2)由（1)得bm=nan≤n2-1, Sn=b1+b2+b+…+bn≤1×2+2×2+3×22+…+n-2n-1, 令S=1×2°+2×2'+3×2+…+n2-1, 则2S= 1×2+2×2+…+n-1)2-+n2, -5=1+2+2++2nr2--2x2n2=2-1-n2, 1-2 .S=(n-1)×2+1, 即sm≤(n-1)×2"+1. 六、利用飘带不等式放缩 25.证明：首先证明飘带不等式Inx<x)x>1), 令fx)=lnx-(x为)(x>1, 则1✉生安222-c0,网在1，+w)上单测 2x2 递减，fx)<f1)=0,得Inx<x-)(x>1): 令x=t+1,t>0,得： 2 nyui即nt+ t+1 1 令t品得n哈+1水 n n+1 -,Inn <n(n+1), 即 9 + (n+1) >In(n+1)-Inn; 1 1 小1×22×3 V2026×2027 ln2-ln1+ln3-ln2+.+ln2027-ln2026=ln2027; 故原不等式成立。 26.证明：首先证明飘带不等式nx2x x+1 (x>1), 令fx刻=lnx.2x- x+1 (x>1), 则fx片2x12X-山=-1>0，：以在1，+)上单调递 (x+12 x(x+1)2 增，f树>f-0,得1nxe2: 令x1行n+1 2(1+1-1) 2 2n+17 n()()n]: 小号+}+号+ 2n+1 <ln2-ln1]+号n3-ln2]+.+nn+1)-m=n(n+1: 故原不等式成立。 七、利用糖水不等式放缩 (1)若a>b0,m>0,则台<名品 事实上，由a>b>0,m>0得： b<b+m (a+m)<a(b+m)bm<am_b<a. aa+m (2)若a>b>1,m>0,则1ogb<loga+m(b+m); 方法(1)事实上，由a>b>1,m>0得：Ina>lnb>0, 由（1)得： Inb Inb+In(1+ 6 In(b+m) oao-inaIna+In(1+m In(a+am In(b+m)=log(b+m); b In(a+m) In(b+x 方法(2)令gx刈=log:(b+x)(x>0),则gx=na+x (x>0), _ln(a+x)-_I.ln(b+x)(a+x)In(a+x)-(b+x)m(b+x) .9(x)=b+x a+x [n(a+x)2 (a+x)(b+x)[ln(a+x)]2 >(b+x)[In(a+x)-In(b+x)]=In(a+x)-In(b+x)>0, (a+x)(b+x)[In(a+x) (a+x)[ln(a+x)]2 ∴gX)单调递增，g(x>g(0)=logb,.loga*m(b+m)>logb, 即logb<loga+m(b+m); 相关结论：logn+n<logn+(n+1)（n∈N); 27.证明：由对数糖水不等式logm+n<logm+2(n+1)(n∈N)得 logn-2(n+1)-logn-in <logn-2(n+1)-logn-in_1 ，1 log7+2(n+1) logn-in'logn-2(n+1)logn-in logn-2(n+1) 111111 1 左边<1og221oga3+1og31g4+1gg4-1ogs5+…+iog1n1 1 logn+2(n+1) =1 og(ogo31) 1 1og32 =1og23-1; 故原不等式成立。 33+11 28.证明：由糖水不等式得a=4-1≤4-1+14 1、1 29.解：(1)Sn=20-21,S-1=20n-1-2”,neN,n≥2， .an=SnSn-1=20n-20n-1-2,∴.0n=20n-1+2, 号=1，由sa,=221得a=4,小是=2， 数列a}为首项为2、公差为1的等差数列，口=2+(n-1)×1 .am=(n+1)2(n∈N,n≥2)，由于n=1时a1=4符合上式， 得数列am的通项公式为am=(n+1)2n∈N; (2)得影2名12岁+ n+1a。 b22m-122n-1+122m2 哈+++号+号+学号+岁…号+ 多>怕 学g+T1 Iut t L+u乙乙 ++子+品后++片+员